Basen, linear (un-)abhängig und Vektorraum

01.10.2009, 14:59

D@Npower

Basen, linear (un-)abhängig und Vektorraum

Salüü miteinander!

Ich hätte nur eine kleine, kurze Verständnisfrage:

Die Aufgabe lautet:
Bestimmen Sie, ob die Menge linear unabhängig sind. Handelt
es sich um eine Basis des angegebenen Vektorraumes?

{1, -2} Teilmenge von R.

Heisst dann das folgendes (um die Abhängigkeit zu prüfen)?

1*x + 0*y = 0
0*x - 2*y = 0 ?

Herzlichen Dank für die Antwort und weiterhin einen schönen Nachmittag! smile

01.10.2009, 15:06

Duedi

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Nein, dein Ansatz ist:
$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot (-1) + \mu \cdot 2 = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt (mindestens) ein Wertepaar $\begin{eqnarray*} (\lambda,\mu)\neq (0,0) \end{eqnarray*}$ findest, für das die Gleichung erfüllt ist, sind die Vektoren (-1) und 2 in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ linear abhängig.

03.10.2009, 16:04

D@Npower

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ganz andere Frage:

Wann handelt es sich genau um eine Basis eines Vektorraums?

Ich habe bis jetzt jeweils geprüft, ob die Vektoren linear unabhängig sind und dass die Vektoren nicht in die selbe (oder entgegengesetzte) Richtung gehen wie die Einheitsvektoren (1,0) und (0,1) [gilt nur in R^2] .

Gibt es sonst noch was zu beachten, in R^2 sowie R^3?

03.10.2009, 17:18

Felix

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Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

Zitat:

Ich habe bis jetzt jeweils geprüft, ob die Vektoren linear unabhängig sind und dass die Vektoren nicht in die selbe (oder entgegengesetzte) Richtung gehen wie die Einheitsvektoren (1,0) und (0,1) [gilt nur in R^2] .

(1,0) und (0,1) stehen normal aufeinander verwirrt

03.10.2009, 19:28

D@Npower

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okey..das heisst, was ist alles zu zeigen?

03.10.2009, 19:51

pablosen

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@Danpower:
$\begin{eqnarray*} \{1,-2 \} \subset R \end{eqnarray*}$

die Menge ist linear abhängig, wenn du ein x und ein y findest, dass x nicht = 0 oder y nicht = 0, damit diese Gleichung gilt:

$\begin{eqnarray*} x*1- y*2=0 \end{eqnarray*}$

Tipp: Setz mal x=4 und y=2 ein...

... also die Aufgabe fand sogar ich nicht schwierig.

03.10.2009, 20:01

D@Npower

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Hehe..stimmt Augenzwinkern

..aber meine Hauptfrage ist, ob es reicht, in R^2 bzw. R^3 zu zeigen, dass die Vektoren linear unabhängig sind, damit man sagen kann, es handle sich um eine Basis..

03.10.2009, 20:53

pablosen

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Nein, es muss auch ein Erzeugendensystem der angegebenen Vektorräume sein. (meine bescheidene Meinung). Aber wenn die Vektoren linear abhängig sind, dann musst du eh nichts mehr zeigen, dann kanns gar keine Basis sein.

03.10.2009, 21:03

Felix

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Nein das reicht nicht und zwar aus eben dem Grund den pablosen genannt hat. Der Vektor (0,1) ist ja auch linear unabhängig, da es kein $\begin{eqnarray*} k \neq 0 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt für das gilt $\begin{eqnarray*} k \cdot (0,1) = 0 \end{eqnarray*}$ . Er ist jedoch sicher keine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ da er diesen Vektorraum nicht erzeugt (es gibt z.B. kein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \cdot (0,1) = (1,0) \end{eqnarray*}$ ).

Mit Hilfe des Ausstauschsatzes und der Kenntnis, dass $\begin{eqnarray*} (e_1, e_2, ..., e_n) \end{eqnarray*}$ eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist ( $\begin{eqnarray*} e_i \end{eqnarray*}$ bezeichnet den Vektor der an i-ter Stelle eine 1 hat ansonsten nur 0len) weiß man das eine Familie(Menge) von n linear unabhängigen Vektoren aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ darstellt. Das ganze gilt übrigens auch für einen beliebigen Körper K.

04.10.2009, 13:58

Fix

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Zitat:

Original von pablosen
Nein, es muss auch ein Erzeugendensystem der angegebenen Vektorräume sein.

Wie zeigt man das denn konkret zB in der Aufgabe 2b (wo es sich ja um eine Basis handelt..)

04.10.2009, 14:09

system-agent

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Und was ist denn die Aufgabe 2b?

Du zeigst, dass eine Menge von Vektoren ein Erzeugendensystem ist indem du zeigst, dass jeder Vektor in dem Vektorraum eine Linearkombination der Vektoren aus deiner Menge ist.

04.10.2009, 14:13

Fix

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$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$

04.10.2009, 14:34

pablosen

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Zitat:

Original von Fix
$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$

Wer sagt, dass dies eine Basis ist?

Sei $\begin{eqnarray*} x := (x_1, x_2, x_3) \subset \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = (1*x_1 + 0*x_2 + 1*x_3 , 1*x_1 + 2* x_2 + 0*x_3 , 1*x_1 + 1*x_2 + 3*x_3) = (x_1 , x_2 , x_3) = (x_1+x_3 , x_1 + 2*x_2 , x_1 + x_2 + 3*x_3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ Basisvektor

04.10.2009, 15:11

Fix

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@ pablosen (unter uns)
Das heisst, in Aufgabe 2 (a-c) gibt es keine Basis?

05.10.2009, 17:26

Fix

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Frage:
Ist es nicht so, dass wenn eine Menge linear abhängig ist, dass sie dann gar keine Basis mehr sein kann?

{ (1,1) , (1,2) } ist z.B. eine Basis von R^2. (ich habe bewiesen, dass es linear unabhängig ist)

..ich weiss auch, dass es noch ein Erzeugendensystem geben muss - wie zeigt man das beispielsweise an der oben genannten Menge? (damit ich sehen kann, ob ich es für "meine" Mengen richtig gemacht habe - das hier ist nur ein Beispiel, wovon ich weiss, dass es sicher eine Basis ist (jedoch nirgends mit Beweis))

Herzlichen Dank für die Hilfe und Eliminierung meiner Unsicherheiten smile

05.10.2009, 19:22

pablosen

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Zitat:

Original von Fix
Frage:
Ist es nicht so, dass wenn eine Menge linear abhängig ist, dass sie dann gar keine Basis mehr sein kann?

{ (1,1) , (1,2) } ist z.B. eine Basis von R^2. (ich habe bewiesen, dass es linear unabhängig ist)

..ich weiss auch, dass es noch ein Erzeugendensystem geben muss - wie zeigt man das beispielsweise an der oben genannten Menge? (damit ich sehen kann, ob ich es für "meine" Mengen richtig gemacht habe - das hier ist nur ein Beispiel, wovon ich weiss, dass es sicher eine Basis ist (jedoch nirgends mit Beweis))

Herzlichen Dank für die Hilfe und Eliminierung meiner Unsicherheiten smile

Also vlt. vorab: Wenn ich hier schreibe, es sei so und so, dann kann das genauso falsch sein. Also wenn du dann anderer Meinung bist, heisst das nicht, dass die falsch ist.

Basis:
(B1): B ist Erzeugendensystem vom $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$
(B2): B ist linear unabhängig

(B2) ist ja bewiesen.

Mein Vorschlag zu (B1):
Sei $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = z_1*(1,1) + z_2*(1,2) = (z_1+z_2, z_1+2*z_2) = (z_1 , z_2) \end{eqnarray*}$

Gegenbeispiel:
$\begin{eqnarray*} z := (3,5) \end{eqnarray*}$ Beispiel eines Vektors $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$
Einsetzen:
$\begin{eqnarray*} (z_1+z_2, z_1+2*z_2) = (z_1 , z_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (3+5, 3+2*5) = (3 , 5) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3+5 = 3 \rightarrow \end{eqnarray*}$ Widerspruch
$\begin{eqnarray*} 3+2*5 = 5 \rightarrow \end{eqnarray*}$ Widerspruch

Es folgt das Gegenteil: $\begin{eqnarray*} \{(1,1),(1,2)\} \end{eqnarray*}$ ist nicht Basisvektor in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$

Ob das richtig ist. Naja... jedenfalls bin ich mir sicherer als in anderen Aufgaben smile

Zitat:

Ist es nicht so, dass wenn eine Menge linear abhängig ist, dass sie dann gar keine Basis mehr sein kann?

Ja, nach Definition Basis siehe oben. Und die Frage vorher sollte so sein smile

. Vlt. registrierst du dich mal, dann kannst du das nächste Mal etwas diskreter fragen. So von wg. "unter uns". Augenzwinkern

05.10.2009, 19:36

Fix

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Zitat:

Original von pablosen

Es folgt das Gegenteil: $\begin{eqnarray*} \{(1,1),(1,2)\} \end{eqnarray*}$ ist nicht Basisvektor in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$

Genau das ist aber eine Basis von R^2.
(steht in der Aufgabenstellung, 1b)

..darum würde ich zu dieser Aufgabe auch gerne sehen, wie man das Erzeugendensystem richtig zeigt.
Ich habe es nämlich etwa so wie du gezeigt, aber daraus folgt ja dann, dass es sich hier nicht um eine Basis handelt, obwohl es ja eine ist..

05.10.2009, 20:30

pablosen

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Zitat:

Original von Fix

Zitat:

Original von pablosen

Es folgt das Gegenteil: $\begin{eqnarray*} \{(1,1),(1,2)\} \end{eqnarray*}$ ist nicht Basisvektor in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$

Also Aufgabe 1b)

Zeigen Sie, dass gilt: blabla ist eine Basis in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ .

Wenn stehen würde: Es sei blabla eine Basis in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ... zeigen sie dass... dann schon. Aber man muss es ja beweisen. Und bei mir beweise ich halt, dass es keine ist.

Ich zeige da dann also, dass dem nicht so ist. Die Aufgabenstellung ist dann imho halt eine falsche Behauptung. So zeige ich das, belege ich das, dann halt mit meinem Gegenbeweis.

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