Unterraum

03.10.2009, 19:57

Orfelina

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Unterraum

Gegeben sei die Teilmenge V des R^{3} :

$\begin{eqnarray*} V : = \left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb R^{3} | x + y = 2z \right\} \end{eqnarray*}$

Nun muss ich zeigen, dass V ein linearer Unterraum von R^{3} ist.

Zu zeigen ist also, dass:
- 0 Element von V ist
- für alle u, v Element von V gilt, dass dann auch u + v Element V gilt
- für alle lambda Element R^{3} gilt, dass dann auch (lambda * u) Element von V ist. (für u Element v)

Dass 0 Element von V ist, habe ich bereits bewiesen.
Wie aber zeigt man die zwei letzten Punkte (mathematisch richtig)?

..ich kann es ja nicht gut nur in Worten beweisen..

03.10.2009, 20:24

pablosen

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RE: Unterraum
Hallo

Zitat:

Original von OrfelinaDass 0 Element von V ist, habe ich bereits bewiesen.

Also ich könnte jetzt einen neuen Thread aufmachen, macht hier aber keinen Sinn. Denn meine Frage wäre ja genau zu dieser Aufgabe.

Wie zeige ich, dass $\begin{eqnarray*} 0 \subset V \end{eqnarray*}$ ?

Nullvektor sei (0,0,0). Und da 0 $\begin{eqnarray*} \in R \end{eqnarray*}$ , muss gelten, Nullvektor $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V . (?).

Zitat:

Wie aber zeigt man die zwei letzten Punkte (mathematisch richtig)?

Ich würde es so machen, wobei ich mir aber ziemlich unsicher bin:

Sei v $\begin{eqnarray*} =\{(p,q,r) \in R^3 | p+q=2r \} \end{eqnarray*}$

Sei u $\begin{eqnarray*} =\{(x,y,z)\} \end{eqnarray*}$ (das von der Aufgabenstellung).

Sei $\begin{eqnarray*} \lambda \in R \end{eqnarray*}$

2: für u,v $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V gilt (u+v) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V
(x,y,z) + (p,q,r) = (x+p,y+q,z+r)
Da x,p $\begin{eqnarray*} \in R \end{eqnarray*}$ folgt daraus, dass deren Summe: x+p $\begin{eqnarray*} \in R \end{eqnarray*}$
Da y,q $\begin{eqnarray*} \in R \end{eqnarray*}$ folgt, dass deren Summe y+q $\begin{eqnarray*} \in R \end{eqnarray*}$
Auch z,r $\begin{eqnarray*} \in R \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt, deren Summe z+r $\begin{eqnarray*} \in R \end{eqnarray*}$
Die Summe (u+v) ist also $\begin{eqnarray*} \in R \end{eqnarray*}$

3: Da $\begin{eqnarray*} \lambda \in R \end{eqnarray*}$ und u $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V, ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ *u auch $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V

Ich weiss, dass das sehr wahrscheinlich zu einfach ist. Aber wie soll man das sonst zeigen?

Dann eine zweite Frage zu dieser Aufgabe: Geben Sie eine Basis von V an.

Ich würde dann das angeben: $\begin{eqnarray*} \{ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \} \end{eqnarray*}$

denn wenn wir den Vektor (x,y,z) betrachten, ist z ja auch wieder $\begin{eqnarray*} 1/2 \end{eqnarray*}$ der Summe (x+y).

Ich such mal weiter aber es gibt dazu wirklich nicht viele Beispiele. Habt ihr da ev. ein paar Tipps?

03.10.2009, 20:42

Orfelina

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RE: Unterraum
(2) hätte ich ganz ähnlich gemacht, jedoch frage ich mich wirklich auch, ob das so richtig bewiesen ist..

Nummer 3 wäre mehr eine Behauptung (nicht?) smile

smile

03.10.2009, 21:05

pablosen

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RE: Unterraum

Zitat:

Original von Orfelina
(2) hätte ich ganz ähnlich gemacht, jedoch frage ich mich wirklich auch, ob das so richtig bewiesen ist..

Nummer 3 wäre mehr eine Behauptung (nicht?) smile

smile

Ja, aber es steht nicht "Zeigen Sie..." oder "Beweisen Sie...". Es steht nur: "Geben Sie eine Basis von V an."

Wenn man irgendwie gute Beispiele hätte zu der ganzen Geschichte, wärs einfach verständlicher. An sich finde ich hier im Forum ein paar, aber die sind mir meist zu hoch.

03.10.2009, 21:12

system-agent

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RE: Unterraum

Zitat:

Original von pablosen

Wie zeige ich, dass $\begin{eqnarray*} 0 \subset V \end{eqnarray*}$ ?

Das ist Unsinn. Die Null ist der Nullvektor und du sollst zeigen, dass der Nullvektor in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ enthalten ist. Mehr nicht.

Zu 2:
Nehmen wir zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} (v_1,v_2,v_3),(w_1,w_2,w_3)\in V \end{eqnarray*}$ . Da die beiden in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ liegen erfüllen beide:
$\begin{eqnarray*} v_1+v_2=2v_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_1+w_2=2w_3 \end{eqnarray*}$ .

Nun betrachten wir die Summe der beiden Vektoren:
$\begin{eqnarray*} (v_1,v_2,v_3)+(w_1,w_2,w_3)=(v_1+w_1,v_2+w_2,v_3+w_3) \end{eqnarray*}$ .
Damit dieser Vektor in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ liegen kann, muss er die Bedingung
$\begin{eqnarray*} v_1+w_1+v_2+w_2=2\cdot(v_3+w_3) \end{eqnarray*}$
Nun: Erfüllt er diese Bedingung?
Falls ja: Die Summe ist in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .
Falls nein: Die Summe ist nicht in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist kein Unterraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

Die dritte Bedingung geht ähnlich.

03.10.2009, 21:49

pablosen

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RE: Unterraum
Ok, danke vielmals. Ich denke, ich kann das so lösen.

Es heisst dann: "Zeigen Sie, dass die Monome $\begin{eqnarray*} \{1,x,x^2,...\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$ ist." Das kann ich beweisen. Nun aber die nächste Frage: "Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$ keine endliche Basis besitzt."

Ähm. Was ist denn der Unterschied zwischen einer Basis und einer endlichen Basis? Und das müsste dann doch diese Basis (bzw. diese Monome) sein?

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03.10.2009, 21:52

system-agent

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Eine endliche Basis ist eine mit nur endlich vielen Basisvektoren.

03.10.2009, 22:32

pablosen

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Aber meiner Meinung nach schliesst der Beweis, dass $\begin{eqnarray*} \{1,x,x^2,...\} \end{eqnarray*}$ bereits aus, dass es eine endliche Basis gibt. Denn wenn diese Monome bis $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ gehen, müsste ja eine Bedingung da sein, die sagt, n<irgend eine Zahl. Das ist aber nicht gegeben.

i kann ja auch bis n gehen. Da n nach oben begrenzt ist, gibt es hier ja auch keine endliche Basis.

Also ich würde als Beweis sagen:
Da n nach oben nicht begrenzt ist, besitzt $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$ keine endliche Zahl.

Hmm, wie beweis ich das jetzt...

04.10.2009, 09:14

system-agent

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Das ist genau die gleiche Frage wie im anderen Thema hier.
Und deshalb auch der gleiche Hinweis:
Angenommen es gibt eine endliche Basis, zb $\begin{eqnarray*} \{v_1,...,v_n\} \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass dies dann kein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} \mathbb R[X] \end{eqnarray*}$ ist.
Beachte dazu, dass die $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ Polynome sind und jedes hat einen Grad $\begin{eqnarray*} d_i \end{eqnarray*}$ .
Welche Darstellung hat dann $\begin{eqnarray*} f(X)=X^{d_1\cdot d_2\cdot...\cdot d_n+1} \end{eqnarray*}$ in dieser Basis?

04.10.2009, 14:04

pablosen

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Zitat:

Original von system-agent
Das ist genau die gleiche Frage wie im anderen Thema hier.
Und deshalb auch der gleiche Hinweis:
Angenommen es gibt eine endliche Basis, zb $\begin{eqnarray*} \{v_1,...,v_n\} \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass dies dann kein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} \mathbb R[X] \end{eqnarray*}$ ist.
Beachte dazu, dass die $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ Polynome sind und jedes hat einen Grad $\begin{eqnarray*} d_i \end{eqnarray*}$ .
Welche Darstellung hat dann $\begin{eqnarray*} f(X)=X^{d_1\cdot d_2\cdot...\cdot d_n+1} \end{eqnarray*}$ in dieser Basis?

Gegenbehauptung: Die endliche Basis $\begin{eqnarray*} B:= \{v_1,...,v_n\} \end{eqnarray*}$ ist kein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} a_0 = a_1 = a_i = 1. \end{eqnarray*}$ Sei $\begin{eqnarray*} i=n=3 \end{eqnarray*}$ Sei $\begin{eqnarray*} x=2=v_i=v_1=v_0 \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ (ein Skalar)

Beweis:
$\begin{eqnarray*} k * \{v_0 + v_1 + v_2 + v_3\} = \{a_3*x + a_2*x + a_1*x + a_0\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k * \{2 + 2 + 2 + 2\} = \{2 + 2 + 2 + 2\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k* \{8\} = \{8\} \end{eqnarray*}$

Das wäre ein Beispiel. Kann da aber nicht zum Widerspruch führen. Sry, checks nicht. Ich denke noch bischen nach, editiert dann rein.

------------- einfacheres Beispiel:
Sei die endliche Basis der Form $\begin{eqnarray*} \{v_0 + v_1 \} := B := \{1 + 1\} \end{eqnarray*}$ .
Beh.: Dies ist kein Erzeugendensystem in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$ .
Beweis:
Sei $\begin{eqnarray*} w:=\{1 + 1\} \in \mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} w = \{1+1\} = 1*v_0 + 1* v_1 = \{1*1 + 1*1\} = \{1+1\ \end{eqnarray*}$

04.10.2009, 14:14

system-agent

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Pass ein bischen auf: Wenn du schreibst dass etwas eine Basis ist, dann heisst das, dass dieses Etwas ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist.

Ausserdem:
Deine Gegenbehauptung ist wieder Unsinn. Besser:

Angenommen, es gibt eine endliche Basis. Sei $\begin{eqnarray*} \{v_1,...,v_n\} \end{eqnarray*}$ diese endliche Basis.
Und dann weitermachen.

Deine Schreibweisen verstehe ich auch nicht. Was haben die Mengenklammern dort zu suchen?

04.10.2009, 14:24

pablosen

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Also, ich weiss nicht, ob das noch Sinn macht. Vlt. hilft es, dass ich nicht wirklich verstanden habe, wie man überhaupt zu einem Erzeugendensystem à la $\begin{eqnarray*} \{1,x,x^2,x^3, x^4, ...\} \end{eqnarray*}$ zeigt, dass es eines ist für dieses Beispiel à la $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$ . Vlt. spielt das aber auch keine Rolle. Weiter:

Frage zu deiner endlichen Basis: Wo ist das $\begin{eqnarray*} v_0 \end{eqnarray*}$ ? Du fängst bei $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ an.

Zitat:

Original von system-agentAngenommen, es gibt eine endliche Basis. Sei $\begin{eqnarray*} \{v_1,...,v_n\} \end{eqnarray*}$ diese endliche Basis.
Und dann weitermachen.

1. linear unabhängig
Sei $\begin{eqnarray*} \lambda_i \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 * v_1 + \lambda_2 * v_2 + ... + \lambda_n*v_n\} = 0 \end{eqnarray*}$

Und wie bitte soll ich da zu einem Widerspruch führen?

2. $\begin{eqnarray*} v_1*a_1*x + v_2*a_2*x + ... + v_n*a_n*x + a_0 = a_1*x + a_2*x + a_n*x + a_0 \end{eqnarray*}$ .

Ich würds so machen. Keine Ahnung.

04.10.2009, 14:37

system-agent

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Also:
Ein Erzeugendensystem eines Vektorraums ist eine Menge von Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ aus deinem Vektorraum derart, dass jeder Vektor $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ aus deinem Vektorraum eine Linearkombination von $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ ist. Das bedeutet für jeden Vektor $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ gibt es Zahlen $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ so, dass
$\begin{eqnarray*} w=a_1\cdot v_1+...+a_n\cdot v_n \end{eqnarray*}$ .

Nehme mal den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ mit der Standardbasis $\begin{eqnarray*} e_1,e_2,e_3 \end{eqnarray*}$ .
Dann hat zb. der Vektor $\begin{eqnarray*} (5,4,-1) \end{eqnarray*}$ die Darstellung
$\begin{eqnarray*} 5\cdot e_1+4\cdot e_2-1\cdot e_3 \end{eqnarray*}$ .

Allgemeiner hat jeder Vektor $\begin{eqnarray*} (a,b,c)\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ die Darstellung
$\begin{eqnarray*} a\cdot e_1+b\cdot e_2+ c\cdot e_3 \end{eqnarray*}$ .
Das letzte zeigt, dass man tatsächlich alle Vektoren aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} e_1,e_2,e_3 \end{eqnarray*}$ schreiben kann; es ist also ein Erzeugendensystem.

Nun etwas klarer?
In deinem Beispiel ist der Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R[X] \end{eqnarray*}$ die Menge aller Polynome mit rellen Koeffizienten.
Dann ist $\begin{eqnarray*} 1,X,X^2,X^3,... \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendensystem. Wieso?
Sei $\begin{eqnarray*} f(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+...+a_nX^n \end{eqnarray*}$ ein beliebiges (!) Polynom in $\begin{eqnarray*} \mathbb R[X] \end{eqnarray*}$ .
Man sieht schon, dass dieses Polynom eine Linearkombination von $\begin{eqnarray*} 1,X,X^2,X^3,... \end{eqnarray*}$ ist, es steht ja schon da Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Noch eine Spur deutlicher:
In dem Beispiel ist $\begin{eqnarray*} v_1=1,v_2=X,v_3=X^2,v_4=X^3,... \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} a_0\cdot v_1+a_1\cdot v_2+...+a_n\cdot v_{n+1} \end{eqnarray*}$ ist genau dein Polynom $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Natürlich ist das ein unendliches Erzeugendensystem. Zum Beispiel hat das Polynom $\begin{eqnarray*} p(X)=X^{2009} \end{eqnarray*}$ die Darstellung
$\begin{eqnarray*} 0\cdot v_1+0\cdot v_2+0\cdot v_3+...+0\cdot v_{2009}+1\cdot v_{2010}+0\cdot v_{2011}+... \end{eqnarray*}$

04.10.2009, 14:57

pablosen

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Danke vielmals.

Ich zeige dann also wie folgt, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$ keine endliche Basis besitzt:

Sei $\begin{eqnarray*} s(X) := X^n \end{eqnarray*}$ , so hat dieses Polynom die Darstellung:
$\begin{eqnarray*} 0*v_1 + 0* v_2 + ... + 0*v_n + 1*v_{n+1} + 0*v_{n+2} + ... \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} \forall n \exists m (m=(n+1)) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$ besitzt keine endliche Basis.

Dürfte stimmen, oder?

04.10.2009, 15:15

system-agent

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Das reicht nicht als Beweis. Das zeigt bestenfalls, dass man von $\begin{eqnarray*} 1,X,X^2,... \end{eqnarray*}$ keine endliche Teilmenge finden kann die ein Erzeugendensystem ist.
Gefragt ist aber, wieso es überhaupt kein solches endliches Erzeugendensystem ist.

Wie gesagt, ich würde über einen Widerspruch gehen.
Angenommen es gibt ein endliches Erzeugendensystem, zb. $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v_i\in\mathbb R[X] \end{eqnarray*}$ und jedes $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ habe den Grad $\begin{eqnarray*} d_i \end{eqnarray*}$ .
Beachte: Hier sind die $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ irgendwelche Polynome mit reellen Koeffizienten !
Da nach Annahme $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendensystem ist gibt es also reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n \end{eqnarray*}$ so, dass
$\begin{eqnarray*} a_1v_1+...+a_nv_n=X^{d_1\cdot...\cdot d_n+1} \end{eqnarray*}$ .
Bemerke aber nun, dass der Grad des Polynoms auf der linken Seite höchstens
$\begin{eqnarray*} \text{Grad}(\text{linke Seite})\leq d_1+...+d_n \end{eqnarray*}$ ist, da jedes der $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ den Grad $\begin{eqnarray*} d_i \end{eqnarray*}$ hat und eine Multiplikation mit einer Konstanten den Grad von $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ nicht ändert.
Das heisst der Grad der rechten Seite ist auch höchstens $\begin{eqnarray*} d_1\cdot...\cdot d_n \end{eqnarray*}$ . Aber das Polynom $\begin{eqnarray*} X^{d_1\cdot...\cdot d_n+1} \end{eqnarray*}$ hat Grad $\begin{eqnarray*} d_1\cdot...\cdot d_n+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_1\cdot...\cdot d_n<d_1\cdot...\cdot d_n+1 \end{eqnarray*}$ und das heisst die linke und die rechte Seite der Gleichung können doch nicht gleich sein. Widerspruch.

04.10.2009, 16:10

pablosen

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Ähm, Orfelina sorry da haben wir deinen Thread etwas verstellt. Hier geht nicht um $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$ . Im anderen Thread gehts also weiter mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$ .

Laut dieser Page: http://studenten.freepage.de/cgi-bin/feets/freepage_ext/41030x030A/rewrite/physiker/mathe/LA_I/node7.html ist Unterraum = Untervektorraum = Teilvektorraum

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