Symmetrie bei (un)geraden Funktionen

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Xaith Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrie bei (un)geraden Funktionen
Ich habe ein großes Problem mit der Symmetrie bei (un)geraden Funktionen.

Gehen wir Schritt für Schritt durch:
Dass es im Falle von f(-x) = f(x) achsensymmetrisch zur y-Achse und im Falle von f(-x) = -f(x) punktsymmetrisch zum Ursprung ist, kann ich auswendig lernen. Ebenso verstehe ich, dass eine Funktion gerade ist, wenn es in ihr ausschließlich gerade Hochzahlen gibt (bei ungeraden Hochzahlen ungerade). Kann ich mir alles merken, selbst als Mathe-Flasche.

Doch nun zum problematischen Teil. Hierzu ein Beispiel aus dem Buch:
Man soll bei der Funktion f mit f(x) = x / x²+1 überprüfen, ob diese gerade oder ungerade ist. Die vorgegebene Lösung lautet: f(-x) = (-x) / (-x)²+1, daher - x / x²+1, daher -f(x) (ungerade)

Ist ja alles toll, nur was zum Teufel hat man gemacht? Einfach nur den x-Teil ins Negative gezogen? Und was passierte dann, was genau hat man gemacht?

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir dies jemand so erklären würde, als würde er es jemandem erklären, der noch nie etwas davon gehört hat (ganz langsam), denn wie bereits gesagt ist Mathe mein mit Abstand schwächstes Fach.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrie bei (un)geraden Funktionen
Man hat es einfach ausgerechnet. Statt "x" setzt man "-x" in den Funktionsterm ein.



 
 
Xaith Auf diesen Beitrag antworten »

Und wo kommt das Minus auf einmal her? Dass (-x)² positiv wird, sehe ich ein. Aber kann man das Minus vom oberen (-x) einfach nach vorne ziehen?!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

1. (-x)^2
2. Ja, ich kann so das Minus vor den Bruch ziehen.


Xaith Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, erst einmal danke für die Antworten.

Um sicher zu sein, ob ich es verstanden habe, habe ich ein paar Aufgaben gerechnet. Für Experten dürfte es eine Sache von maximal einer Minute sein, um diese zu korrigieren, da sie eigentlich sehr einfach sind.

a) f(x) = 1 / x
=> f(-x) = 1 / (-x)
=> - 1 / x
=> -f(x), ungerade

b) f(x) = 1 / x²
=> f(-x) = 1 / (-x)²
=> 1 / x²
=> f(x), gerade

c) f(x) = 1 / x+1
=> f(-x) = 1 / (-x)+1
=> - 1 / x+1
=> -f(x), ungerade

d) f(x) = 1 / x²+1
=> f(-x) = 1 / (-x)²+1
=> 1 / x²+1
=> f(x), gerade

e) f(x) = -x
=> f(-x) = -(-x)
=> x
=> f(x), gerade

f) f(x) = 1 - |x|
=> ???

g) f(x) = 3^x
=> f(-x) = 3^(-x)
=> ???

h) f(x) = |x|
=> ???
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »







Findest du raus, welche du falsch gemacht hast? Richtiges auklammern ist von Vorteil.


Xaith Auf diesen Beitrag antworten »

Etwas verwirrt bin ich schon... Wäre nett, wenn du vielleicht konkret an meinen Rechnungen zeigen könntest, was falsch und was richtig ist. Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Mehr als Bilder schafft man in einer Minute aber nicht. Augenzwinkern

Zitat:

c) f(x) = 1 / x+1
=> f(-x) = 1 / (-x)+1
=> - 1 / x+1
=> -f(x), ungerade


Falsch. Finde selbst den Fehler. Ich sagte ja schon: richtig ausklammern!
Xaith Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, ich komme wirklich nicht drauf, ich bin wirklich dermaßen unbegabt... ^^'
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du ein paar meiner Beiträge liest, weißt du, dass ich dieses "ich bin so unbegabt" nicht ausstehen kann. unglücklich Prüfe deine Rechnung endlich bzgl. dessen, was ich dir gesagt habe.

c) f(x) = 1 / x+1
=> f(-x) = 1 / (-x)+1
=> - 1 / x+1
=> -f(x), ungerade
Xaith Auf diesen Beitrag antworten »

Bei dem Teil dachte ich, dass ich das Minuszeichen einfach wieder davorsetzen könnte... ^^

Bei e) scheint es ja auch Probleme zu geben, ich dachte mir, dass Minus mal Minus eben Plus ergibt und habe deshalb x und nicht -x.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann sich die Regeln nicht so zurecht biegen wie man mag. Also wie klammert man korrekt ein Minus aus?
Xaith Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, es verschwindet einfach? ^^
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Rate nicht rum, sondern zeig einmal korrekt die Regel.
Xaith Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, Minus mal Minus hebt sich doch auf, -2 * -2 ist ja auch 4 und nicht -4, daher kann es meines Erachtens kein Minus bei c) mehr geben.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich Auch langsam mal den Formeleditor benutzen.



Xaith Auf diesen Beitrag antworten »

... Ich habe noch mal nachgedacht: Eigentlich kann ich es bei 1 / (-x)+1 doch stehen lassen, dann ist es weder y-achsen- noch punktsymmetrisch, was dann auch mit deinem Bild übereinstimmen würde.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Korrektes ausklammern zeigt dies auch. Wie es schon das Bild andeutet.

Was ist nun mit f,g,h?
Xaith Auf diesen Beitrag antworten »

g) würde ich auch so stehen lassen, dann wäre es auch nichts von beiden.

Bei f) und h) sähe es folgendermaßen aus:

f(x) = 1 - |x|
=> f(-x) = 1 - |-x|

f(x) = |x|
=> f(-x) = |-x|

Allerdings ist ein Betrag doch immer positiv, egal ob die dazugehörige Zahl positiv oder negativ ist... Daher würde ich sagen, dass f) und h) achsensymmetrisch sind.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie würdest du das mathematisch schreiben? gerade bei f und h?
Xaith Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, bei g) ist f(-x) weder f(x) noch f(-x), zumal x eine Hochzahl ist.

Bei f) und h) ist es f(x), da der Betrag, also x, positiv ist. Das würde ich einfach wieder darunter schreiben (=> f(x) = (1 -) |x|)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

f(x) = 1 - |x|
=> f(-x) = 1 - |-x| = 1-|x| = f(x)
Xaith Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Augenzwinkern

Kleine Frage: Wie sähe es bei folgender Aufgabe aus?

f(x) = 3^x + (1/3)^x

Da würde ich einfach folgendermaßen vorgehen...

=> f(-x) = 3^(-x) + (1/3)^(-x)

...und behaupten, dass es weder y-achsen- noch punktsymmetrisch ist. Bin ich damit auf dem richtigen Weg?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Wende doch einfach die Rechengesetze an, anstatt etwas zu behaupten.





Xaith Auf diesen Beitrag antworten »

Einige Rechengesetze sind mir ja eben offenbar nicht bekannt - genau deshalb habe ich auch keine Idee, weshalb das ^(-x) im nächsten Schritt auf einmal wieder positiv ist, sodass mir nichts Anderes übrig bleibt, als herumzuraten. Genau deshalb bekomme ich es ja auch nicht einmal gebacken, diese recht einfachen Aufgaben zu lösen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Was hindert dich daran, diese Gesetze nachzuschlagen? Wenn das x in der Potenz steht, werden es wohl die Potenzgesetze sein.
Xaith Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann kein Gesetz erkennen, welches besagt, dass eine negative Potenz auf einmal wieder positiv werden kann.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hat sich ja auch was an der Basis geändert?
Xaith Auf diesen Beitrag antworten »

Bei f(-x) ist es negativ, bei f(x) positiv... Ach so, es entspricht jeweils, ob x positiv oder negativ ist?

Immer, wenn es mir gesagt wird, ist es auch gar nicht so schwierig, aber wenn ich alleine darauf kommen müsste, wäre ich aufgeschmissen. Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »



Xaith Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, also mal den Kehrwert?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Lies den zugehörigen Link von vorhin.
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