Äquivalenzrelation

06.10.2009, 14:49

Black

Auf diesen Beitrag antworten »

Äquivalenzrelation

Sei $\begin{eqnarray*} (G, \circ) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe und $\begin{eqnarray*} U \subseteq G \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe.

Für $\begin{eqnarray*} x \in G \end{eqnarray*}$ sei definiert:

$\begin{eqnarray*} x \circ U \circ x^{-1} :=\{x \circ u \circ x^{-1} | u \in U\} \end{eqnarray*}$

Weiter sei $\begin{eqnarray*} \Upsilon \end{eqnarray*}$ die Menge aller Untergruppen von G.

Die Relation $\begin{eqnarray*} \rho \subseteq \Upsilon \times \Upsilon \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \Upsilon \end{eqnarray*}$ sei für $\begin{eqnarray*} U_1 , U_2 \in \Upsilon \end{eqnarray*}$ definiert durch:

$\begin{eqnarray*} U_1 \rho U_2 : \leftrightarrow \exists x \in G : U_2 = x \circ U_1 \circ x^{-1} \end{eqnarray*}$

Die Menge $\begin{eqnarray*} \Upsilon \end{eqnarray*}$ der Untergruppen von $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \Upsilon = \{U_1, U_2, U_3, U_4, U_5, U_6\} \end{eqnarray*}$

Nun soll ich die Äquivalenzklassen auf $\begin{eqnarray*} \Upsilon \end{eqnarray*}$ ausrechnen, U1-U6 ist mir gegeben, also bspw $\begin{eqnarray*} U_1= \{id,(12)\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2=\{id,(13)\} \end{eqnarray*}$

Aber ich hab keine Ahnung wie man da vorgeht. geschockt

geschockt

06.10.2009, 15:00

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Äquivalenzrelation
Hi Black,

Rechne doch einfach mal testweise so was wie $\begin{eqnarray*} (23)\circ U_1\circ (23)^{-1} \end{eqnarray*}$ aus. Dann solltest Du schon etwas weiter sein.

Gruß,
Reksilat.

06.10.2009, 15:07

Black

Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Problem ist, dass ich keine Ahnung habe wie ich überhaupt an die Sache ransoll.
Du hast jetzt (23) für das x in $\begin{eqnarray*} U_2 = x \circ U_1 \circ x^{-1} \end{eqnarray*}$ eingesetzt, oder wie kommst du darauf?

06.10.2009, 15:13

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Deswegen schrieb ich ja "testweise". Du kannst auch mit $\begin{eqnarray*} x=(132) \end{eqnarray*}$ anfangen, es geht aber darum, erst mal ein wenig rumzurechnen und nicht immer gleich alles direkt zu lösen.

Wenn Du ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U_2 = x \circ U_1 \circ x^{-1} \end{eqnarray*}$ gefunden hast, dann weißt Du schon mal, dass $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ in der gleichen Äquivalenzklasse liegen und das ist doch ein guter Anfang.
Oder nicht? smile

smile

06.10.2009, 15:19

Black

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss also nur ein x finden, damit $\begin{eqnarray*} U_2 = x \circ U_1 \circ x^{-1} \end{eqnarray*}$ erfüllt ist?

Aber wie funktioniert das, wenn ich $\begin{eqnarray*} U_1= \{id,(12)\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2=\{id,(13)\} \end{eqnarray*}$ habe, was setze ich dann für U1 und U2 ein?

06.10.2009, 15:30

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Äquivalenzrelation

Zitat:

Original von Reksilat
Rechne doch einfach mal testweise so was wie $\begin{eqnarray*} (23)\circ U_1\circ (23)^{-1} \end{eqnarray*}$ aus. Dann solltest Du schon etwas weiter sein.

Hast Du das gemacht? Wenn ja, was hast Du dabei raus? Wenn nein, wo liegt das Problem?

Ich habe Dir hier überhaupt keinen Lösungsweg vorgeschlagen, geschweige denn gesagt, dass Du etwas machen "musst". Der erste Ansatz ist hier nun mal, sich mit den Objekten, die hier auftauchen, genauer zu befassen und wenn es hier um Objekte der Form $\begin{eqnarray*} x\cdot U\cdot x^{-1} \end{eqnarray*}$ geht, so halte ich es für vernünftig, so was mal am Beispiel auszurechnen. Zumal man so schon erste Teillösungen erhält.

PS: Und wenn $\begin{eqnarray*} U_1= \{id,(12)\} \end{eqnarray*}$ ist, dann setzt man für $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ eben $\begin{eqnarray*} \{id,(12)\} \end{eqnarray*}$ ein. Finger1

Finger1

Anzeige

06.10.2009, 15:33

Black

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem dass ich damit habe ist, dass (23) ja eine Permutation ist, aber U1 eine Menge an Permutationen.
Wie kann man denn $\begin{eqnarray*} \{id,(12)\} \circ (23) \end{eqnarray*}$ berechnen?

06.10.2009, 15:36

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Äquivalenzrelation

Zitat:

Original von Black
Für $\begin{eqnarray*} x \in G \end{eqnarray*}$ sei definiert:

$\begin{eqnarray*} x \circ U \circ x^{-1} :=\{x \circ u \circ x^{-1} | u \in U\} \end{eqnarray*}$

Da steht es bereits. smile

smile

06.10.2009, 15:39

Black

Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss ich es für alle möglichen $\begin{eqnarray*} u \in U_1 \end{eqnarray*}$ berechnen?

Das würde bedeuten, ich müsste für $\begin{eqnarray*} U_2 = x \circ U_1 \circ x^{-1} \end{eqnarray*}$

vier verschiedene Kombinationen durchrechnen?

06.10.2009, 15:47

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Vergiss vorerst das $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ und berechne einfach mal $\begin{eqnarray*} (23)\circ U_1\circ (23)^{-1} \end{eqnarray*}$ . Die Menge $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ hat zwei Elemente, das wird Dich schon nicht überfordern.

06.10.2009, 15:51

Black

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun dann bekomme ich einmal id und einmal (13), welche zufällig auch in U2 sind, d.h ich habe eine Äquivalenzrelation zwischen U1 und U2 gefunden?

06.10.2009, 15:58

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, unter der Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ äquivalent.

Jetzt kann man auf diese Weise weitere Äquivalenzen suchen. Ich bin für heute aber weg und kann keine weiteren Tipps mehr geben. Vielleicht hat ja noch jemand anders Lust.

Gruß,
Reksilat. Wink

Wink

06.10.2009, 15:59

Black

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir jedenfalls schoneinmal für deine Geduld, du hast mir sehr weitergeholfen.

Aber was sind dann die Äquivalenzklassen auf $\begin{eqnarray*} \Upsilon \end{eqnarray*}$ ?

07.10.2009, 15:09

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Äquivalenzklassen sind einfach die Teilmengen einer disjunkte Zerlegung von $\begin{eqnarray*} \Upsilon \end{eqnarray*}$ , wobei zwei Untergruppen genau dann in der gleichen Teilmenge liegen, wenn sie bezüglich $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ äquivalent sind.

Eine Zerlegung wäre beispielsweise: $\begin{eqnarray*} \Upsilon=\{U_1,U_3,U_5\}\cup\{U_2,U_6\}\cup\{U_4\} \end{eqnarray*}$
Achtung!: Dieses Beispiel ist selbstverständlich nicht die korrekte Lösung, da wir ja bereits wissen, dass $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ äquivalent sind und somit in der gleichen Klasse liegen müssen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

07.10.2009, 17:17

Black

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist es richtig, dass es hier keine Äquivalenzrelation zwischen zwei Untergruppen geben kann, die verschieden viele Elemente enthalten?

07.10.2009, 17:31

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich kann es eine Äquivalenzrelation geben so dass 2 Untergruppen mit verschieden vielen Elementen äquivalent sind.

Aber was du meintest, dass 2 Untergruppen mit verschieden vielen Elementen unter dieser Äquivalenzrelation nicht äquivalent sein können, das stimmt.

07.10.2009, 17:33

Black

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch beiden, ich glaube langsam macht es klick bei mir Hammer

Hammer

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »