Gruppen

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Physikstudi Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen
Mein Buch definiert Gruppen so:

Sei M Menge ungleich der leeren Menge. Sei weiterhin die Abbildung gegeben:




Das Dupel heißt dann Gruppe, wenn gilt:

(1) Assoziativität:
(2) Seien . Dann gibt es ein , sodass gilt:
(3) Seien . Dann gibt es ein , sodass gilt:

1. Problem: Diese Definition kann ich sonst so nirgends auffinden. Überall sonst wird eine Gruppe mithilfe eines neutralen Elements und eines inversenen Elements definiert. In meinem Buch ist das neutrale Element aber nicht in der Definition, sondern in einem Satz. Ebenso das inverse Element zu jedem

Sei . Dann existiert genau ein , sodass gilt: a * e = e * a = a.

2. Problem. Die Existenz des neutralen Elements soll bewiesen werden. Das fängt in meinem Buch aber schon völlig unverständlich an. Nämlich:

Sei . Dann gibt es nach (2) und (3) mit:

a * x = a und y * a = a.

Seien ein solches x bzw. ein solches y, also:



(...)
(...)
(...)

Mein Problem: (2) und (3) besagen a * x = b und y * a = b, nicht a. Schon in der ersten Zeile kann ich den Beweis nicht nachvollziehen. Irgendwas stimmt also nicht mit (2) und (3), wie mir scheint.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bitte dringend um Hilfe: Gruppen
Zitat:
Original von Physikstudi
1. Problem: Diese Definition kann ich sonst so nirgends auffinden. Überall sonst wird eine Gruppe mithilfe eines neutralen Elements und eines inversenen Elements definiert.

Man kann es aber auch so definieren, wie hier gemacht. Verboten ist das nicht. Allerdings muß man dann zeigen, daß die Definitoinen äquivalent sind, wenn man von derselben Sache reden will.

Zitat:
Original von Physikstudi
Mein Problem: (2) und (3) besagen a * x = b und y * a = b, nicht a. Schon in der ersten Zeile kann ich den Beweis nicht nachvollziehen. Irgendwas stimmt also nicht mit (2) und (3), wie mir scheint.

Es ist ja nicht verboten, daß das b auch gleich a ist. Augenzwinkern
 
 
Physikstudi Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, langsam dämmerts.
Physikstudi Auf diesen Beitrag antworten »

Na vielleicht gibt's doch noch ein paar Unstimmigkeiten.

Sei Gruppe.

Dann gilt: , wobei .

Es gilt also die Existenz des neutralen Elementes zu beweisen.

Beweis:

Nach der obigen (aus meinem Eingangsposting) Definition einer Gruppe gilt:

(1) Zu jedem existiert ein mit:
(2) Zu jedem existiert ein mit:

Dann gilt auch: und mit .

Sei nun und mit

Dann folgt: .

Bis hierhin ist alles klar.

Ich würde jetzt einfach nur noch zeigen wollen, dass . Leider macht mein Buch etwas Anderes.

Ab hier verstehe ich den Sinn nicht:

Jetzt kommt auf einmal folgende Behauptung, die zusätzlich bewiesen wird, bevor man sich an den Beweis von macht, nämlich:

Behauptung: . Ich habe aber doch schon bewiesen, dass für alle Das schließt doch sämtliche Elemente aus ein? Warum soll ich zeigen, dass das jetzt auch für gilt?

Ich denke, ich weiß, welcher Gedanke dahinter steckt. Man will zeigen, dass das neutrale Element nicht nur für ein Element aus , sondern für ALLE Elemente gilt. Ist das aber nicht redundant, wenn oben bereits steht? heißt doch bereits, dass alles aus sein kann?

Oder, vielleicht kann ichs doch noch erklären. Muss man das Ganze auch für zeigen, weil NUR zwar hieße, dass alle Elemente aus eingesetzt werden können, aber NICHT, dass in die gleiche Gleichung, wo eingesetzt wurde, auch gleichzeitig ein zweites Element eingesetzt werden kann? (Einfacher konnte ich es nicht formulieren).
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zu jedem a,b existiert ein ...
D.h. für jedes a könnte ein anderes neutrales Element existieren. Jetzt muss man eben zeigen dass das neutrale Element für a auch neutral für b ist.
Physikstudi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Zu jedem a,b existiert ein ...
D.h. für jedes a könnte ein anderes neutrales Element existieren.


Du meinst "für jedes b"? "Für jedes a" würde ich ja zeigen.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ob ich oder schreibe ist unwichtig!

Fakt ist doch:
Du hast bisher nur
Jetzt fixieren wir ein und ein und wollen zeigen:
Physikstudi Auf diesen Beitrag antworten »

Das Sternchen soll im Übrigen kein "Mal" sein. Weil du einfach sowas wie schreibst (als würdest du ein Malzeichen weglassen) ...

Nochmal mit einfachen Worten. In der Definition steht "für alle a, b" und ich habe nur "für alle a" berücksichtigt, da das "b" ja wegfällt, wenn ich und schlussfolgere. Daher dann auch nochmal für den Fall "b". Kann man das so sagen? verwirrt
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja mir ist klar dass das Sternchen ein Mal ist. In der Gruppentheorie lässt man oft das Verknüpfungszeichen einfach weg und schreibt das ganze multiplikativ.

Das b fällt nicht weg, man setzt in diesem speziellen Fall einfach b=a.
Was du nochmal für den Fall b meinst verstehe ich nicht. a und b sind beliebige Variablenbezeichnungen.
Physikstudi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Ja mir ist klar dass das Sternchen ein Mal ist. In der Gruppentheorie lässt man oft das Verknüpfungszeichen einfach weg und schreibt das ganze multiplikativ.


Ok, bin jetzt schlauer. Fang ja erst seit gestern damit an.

Zitat:
Original von kiste
Das b fällt nicht weg, man setzt in diesem speziellen Fall einfach b=a.
Was du nochmal für den Fall b meinst verstehe ich nicht. a und b sind beliebige Variablenbezeichnungen.


"Wegfallen" war natürlich blöd ausgedrückt.

Ich meine es folgendermaßen. Laut Definition, in Worten:

(1) Zu zwei Elementen a und b (die auch gleich sein dürfen) aus der Menge M, existiert ein drittes Element x aus M, sodass gilt: a * x = b.

(2) Zu zwei Elementen a und b (die auch gleich sein dürfen) aus der Menge M, existiert ein drittes Element y aus M, sodass gilt: y * a = b.

Beim Beweisen setze ich ja a = b: a * x = a und y * a = a. Das folgt unmittelbar aus der Definition.

Mit "Fall b" meine ich, dass ich statt der Variable a das Ganze auch nochmal mit der Variable b machen muss, obwohl a = b ist.

Vielleicht mal ein einfaches Beispiel mit Zahlen? Da ich schon seit Stunden Mathe mache, habe ich gerade echt eine Blockade.
Physikstudi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Jetzt muss man eben zeigen dass das neutrale Element für a auch neutral für b ist.


Schau, hier fängts schon mit meinem Verständnisproblem an. Wenn a = b ist, dann kann das neutrale Element für a doch kein anderes als für b sein.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ok du hängst dich unverständlicherweise an Buchstaben auf.
Ich formuliere um:
Jetzt muss man eben zeigen dass das neutrale Element für (ein festgewähltes) a auch neutral für ein beliebiges c aus M ist.

Ein Beispiel mit Zahlen wird meiner Meinung nach noch mehr verwirren, Zahlen kennst du schon so gut dass du da vllt. implizit Annahmen machst die nicht immer gelten oder die man beweisen muss.
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