Nabla-Operatoren- und Gradientenverwirrung

07.10.2009, 20:00

zwergnase

Nabla-Operatoren- und Gradientenverwirrung

Hallo

ich bin irgendwie verwirrt... Es gilt doch $\begin{eqnarray*} \nabla (\nabla u) = \Delta u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ sein irgendeine Funktion. Was ist dann $\begin{eqnarray*} \nabla u \cdot \nabla u \end{eqnarray*}$ ? Ist das dann auch $\begin{eqnarray*} \nabla u \cdot \nabla u= (\nabla \cdot \nabla )u = \Delta u \end{eqnarray*}$ ? Oder ergibt $\begin{eqnarray*} \nabla u \cdot \nabla u = (\nabla u)^2 \end{eqnarray*}$ ? Und was soll $\begin{eqnarray*} (\nabla u)^2 \end{eqnarray*}$ sein?
Bitte kann mir jemand helfen, wo liegt mein Denkfehler?

Viele Grüße

Wink

07.10.2009, 20:25

Mathespezialschüler

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Manchmal hilft es, diese Symbole für die Differentialoperatoren wegzuschmeißen und die Definitionen herzunehmen und nachzurechnen.

$\begin{eqnarray*} \nabla(\nabla u) \end{eqnarray*}$ ist relativ schlampig, man sollte vielleicht eher $\begin{eqnarray*} (\nabla\cdot\nabla)u \end{eqnarray*}$ schreiben. Das ist ein formales Skalarprodukt des Nabla-Differentialoperators mit sich selbst. $\begin{eqnarray*} \nabla u\cdot\nabla u \end{eqnarray*}$ ist aber ein normales Skalarprodukt mit Vektoren, die Zahlen enthalten. Um meinem obigen Hinweis nachzukommen das Ganze mal etwas genauer:

$\begin{eqnarray*} \nabla u\cdot\nabla u=\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x_1} \\ \vdots \\ \frac{\partial u}{\partial x_n} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x_1} \\ \vdots \\ \frac{\partial u}{\partial x_n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x_1} & \ldots & \frac{\partial u}{\partial x_n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x_1} \\ \vdots \\ \frac{\partial u}{\partial x_n} \end{pmatrix}=\left(\frac{\partial u}{\partial x_1}\right)^2+\ldots+\left(\frac{\partial u}{\partial x_n}\right)^2 \end{eqnarray*}$ .

Das ist wohlgemerkt etwas anderes als

$\begin{eqnarray*} \Delta u=\frac{\partial^2u}{\partial x_1^2}+\ldots+\frac{\partial^2u}{\partial x_n^2} \end{eqnarray*}$ .

Ersteres ist die Summe der Quadrate der ersten partiellen Ableitungen, zweiteres die Summe der zweiten partiellen Ableitungen nach jeder Variablen.

07.10.2009, 21:11

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} \nabla(\nabla u) \end{eqnarray*}$ ist relativ schlampig

Das ist es in der Tat, denn $\begin{eqnarray*} \nabla(\nabla u) \end{eqnarray*}$ gibt es zwar auch, aber in anderer Bedeutung: als Tensor 2.Stufe. Augenzwinkern

07.10.2009, 21:18

Mathespezialschüler

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Ah ok, das heißt du interpretierst das als Hesse-Matrix (bzw. der Transponierten dieser) von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ . Idee!

08.10.2009, 10:39

zwergnase

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Hallo Mathespezialschüler und Arthur Dent,

danke für die ausführlich Darbietung, nun habe ich es endlich verstanden. Gott

Statt $\begin{eqnarray*} \nabla (\nabla u) \end{eqnarray*}$ sollte man also eher schreiben $\begin{eqnarray*} \langle\nabla,\nabla u \rangle \end{eqnarray*}$ .

Eine weiter Frage in diesem Zusammenhang hat sich mir auch noch gestellt, wenn ich dir Poisson Gleichung betrachte, warum ist deren Hesse-Matrix immer pos. definit?

Also sei: $\begin{eqnarray*} u: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ ist ja dann eine lineare Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

Dann gilt doch für $\begin{eqnarray*} -\Delta u(x) = - \sum_{k=1}^2~\frac{\partial u(x)}{\partial x^2_i} \end{eqnarray*}$ und die Hessematrix ist so definiert: $\begin{eqnarray*} H_{D²u(x)}=\begin{pmatrix} -\frac{\partial u(x)}{\partial x^2_1} & 0\\ 0 & -\frac{\partial u(x)}{\partial x^2_2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Aber diese ist doch nicht zwingend pos. definit, da $\begin{eqnarray*} u(x), x \end{eqnarray*}$ beliebig gewählt werden können?

Viele Grüße
Wink

08.10.2009, 10:53

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von zwergnase
$\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ ist ja dann eine lineare Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ ist ein Differentialoperator $\begin{eqnarray*} C^2(\mathbb R^n)\to C(\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$ . Was du hier meinst, verstehe ich leider nicht.

Die andere Frage kann ich dir nicht genau beantworten. Vielleicht kannst du ja mal den genauen Wortlaut der Aussage posten. Ich vermute eher, dass es um die Koeffizienten des elliptischen Differentialoperators geht.

08.10.2009, 18:00

zwergnase

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ ist ein Differentialoperator $\begin{eqnarray*} C^2(\mathbb R^n)\to C(\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$ . Was du hier meinst, verstehe ich leider nicht.

Achso, habe mir versucht zu überlegen was $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ genau ist, ausgehend davon das ja der Gradient ein Vektor ist. Und ich aus der Vorlesung weiß das die Ableitung $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ allgemein eine lineare Abbildung ist. Differentialoperator ist mir noch fremd, vielleicht kommt das noch.

Die andere Frage kann ich dir nicht genau beantworten. Vielleicht kannst du ja mal den genauen Wortlaut der Aussage posten. Ich vermute eher, dass es um die Koeffizienten des elliptischen Differentialoperators geht.

Ist keine konkrete Aussage, habe nur gelesen das die partielle Dgl. $\begin{eqnarray*} - \nabla u = 0 \end{eqnarray*}$ eine elliptische Dgl. ist und elliptisch bedeutet, dass die Koeffizientenmatrix, also hier $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ positiv definit ist. Nur mein Fehler bestand darin, das ich das Wörtchen Koeffizietenmatrix überlesen hatte... und es dann fälschlicherweißer mit der Hessemartix versucht habe.

08.10.2009, 18:23

Mathespezialschüler

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Den Gradient(operator) würde ich mir nicht unbedingt als Vektor vorstellen. Aber wenn du das machen willst, dann kannst du dir den Laplace-Operator analog als

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{\partial^2}{\partial x_k^2} \end{eqnarray*}$

vorstellen.

Im Übrigen geht es sicher eher um die partielle DGL $\begin{eqnarray*} -\Delta u=0 \end{eqnarray*}$ (Poisson-Gleichung) und elliptisch heißt sie, weil der zugehörige elliptische Operator

$\begin{eqnarray*} \Delta=\sum_{k=1}^n~\frac{\partial^2}{\partial x_k^2} \end{eqnarray*}$

zur Koeffizientenmatrix $\begin{eqnarray*} E_n \end{eqnarray*}$ gehört. Die negativen Vorzeichen haben da nichts zu suchen (deine Matrix ist negativ definit!). Das kommt daher, dass man im Allgemeinen Differentialoperatoren der Form

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n~\sum_{k=1}^n~\alpha_{jk}\frac{\partial^2}{\partial x_k\partial x_j} \end{eqnarray*}$

mit entsprechender Koeffizientenmatrix betrachtet.

08.10.2009, 18:44

zwergnase

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Den Gradient(operator) würde ich mir nicht unbedingt als Vektor vorstellen. Aber wenn du das machen willst, dann kannst du dir den Laplace-Operator analog als

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{\partial^2}{\partial x_k^2} \end{eqnarray*}$

vorstellen.Ist doch auch ein Vektor, oder?

Sondern? Als lineare Abbildung?

Im Übrigen geht es sicher eher um die partielle DGL $\begin{eqnarray*} -\Delta u=0 \end{eqnarray*}$ (Poisson-Gleichung)

Stimmt, verschrieben!

und elliptisch heißt sie, weil der zugehörige elliptische Operator

$\begin{eqnarray*} \Delta=\sum_{k=1}^n~\frac{\partial^2}{\partial x_k^2} \end{eqnarray*}$

zur Koeffizientenmatrix $\begin{eqnarray*} E_n \end{eqnarray*}$ gehört.
Das verstehe ich nicht?!? Wie gehört zur Koeffizientenmatrix $\begin{eqnarray*} E_n \end{eqnarray*}$ ? Das verstehe ich nicht so recht.
Ich habe doch sowas:

$\begin{eqnarray*} -\Delta u = \sum_{k=1}^n~(-1) \cdot \frac{\partial^2 }{\partial x_k^2} \cdot u \end{eqnarray*}$

Die negativen Vorzeichen haben da nichts zu suchen (deine Matrix ist negativ definit!). Das kommt daher, dass man im Allgemeinen Differentialoperatoren der Form

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n~\sum_{k=1}^n~\alpha_{jk}\frac{\partial^2}{\partial x_k\partial x_j} \end{eqnarray*}$

mit entsprechender Koeffizientenmatrix betrachtet.

Hier wäre die Koeffzientenmatrix, dann $\begin{eqnarray*} A = (a_{ij})_{i,j= 1, \dots , n} \end{eqnarray*}$ , oder? Oben sind die $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ 's doch Null oder -1.

08.10.2009, 18:51

Mathespezialschüler

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Könntest du bitte ordentlich zitieren! Du musst doch nur [/quote] bzw. [quote]Original von Mathespezialschüler ein paar Mal kopieren. Erstens finde ich es wichtig, richtig zu zitieren und zweitens liest es sich besser.

Das ist ein Operator, kein Vektor. Wenn du eine Funktion reinsteckst, kommt hier eine Zahl raus, während beim Gradienten ein Vektor rauskommt.

Einer partiellen DGL der Form

$\begin{eqnarray*} -\sum_{j=1}^n~\sum_{k=1}^n~\alpha_{jk}\frac{\partial^2}{\partial x_k\partial x_j}u=0 \end{eqnarray*}$

ordnet man den Differentialoperator

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n~\sum_{k=1}^n~\alpha_{jk}\frac{\partial^2}{\partial x_k\partial x_j} \end{eqnarray*}$

zu, d.h. man lässt das Minus einfach weg. Das ist nur Konvention. Wenn du jetzt speziell $\begin{eqnarray*} -\Delta u=0 \end{eqnarray*}$ hast, dann ist $\begin{eqnarray*} \alpha_{jk}=\delta_{jk} \end{eqnarray*}$ und die Matrix, die du ganz unten richtigerweise hingeschrieben hast (auch wenn du meine $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ 's durch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ 's ersetzt hast), ist dann eben die Einheitsmatrix $\begin{eqnarray*} E_n \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ auch einfach $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

08.10.2009, 19:39

zwergnase

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Hallo Mathespezialschüler, Entschuldigung für die schlechte Zitierweise und danke für deine Geduld!

Also gilt mit $\begin{eqnarray*} O(x) :=\sum_{j=1}^n~\sum_{k=1}^n~\alpha_{jk}\frac{\partial^2}{\partial x_k\partial x_j} \end{eqnarray*}$ also Operator, dann $\begin{eqnarray*} O(x)u = - \sum_{j=1}^n~\sum_{k=1}^n~\alpha_{jk}\frac{\partial^2}{\partial x_k\partial x_j}u=0 \end{eqnarray*}$
Und dann ist $\begin{eqnarray*} O(x) = - \Delta \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
[...] zu, d.h. man lässt das Minus einfach weg. Das ist nur Konvention. Wenn du jetzt speziell $\begin{eqnarray*} -\Delta u=0 \end{eqnarray*}$ hast, dann ist $\begin{eqnarray*} \alpha_{jk}=\delta_{jk} \end{eqnarray*}$ und die Matrix, die du ganz unten richtigerweise hingeschrieben hast (auch wenn du meine $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ 's durch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ 's ersetzt hast), ist dann eben die Einheitsmatrix $\begin{eqnarray*} E_n \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ auch einfach $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Warum man das Minus einfach weg lässt verstehe ich noch nicht so recht, dann könnte man doch gleich einfach $\begin{eqnarray*} \Delta u \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} - \Delta u \end{eqnarray*}$ schreiben?

08.10.2009, 22:01

Mathespezialschüler

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Nein, das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hat da nichts zu suchen. Von welchem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ soll das denn abhängen? Den Operator kannst du von mir aus einfach $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ nennen. Woher du auf einmal das Minus zauberst, ist mir schleierhaft. Die DGL schreibt sich dann mit $\begin{eqnarray*} -Ou=0 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} \alpha_{jk}=\delta_{jk} \end{eqnarray*}$ ist einfach $\begin{eqnarray*} O=\Delta \end{eqnarray*}$ .

Das Weglassen des Minus ist Konventionssache. Die Form der Gleichung in der Art $\begin{eqnarray*} -\Delta u=0 \end{eqnarray*}$ bzw. allgemeiner $\begin{eqnarray*} -\Delta u=f \end{eqnarray*}$ kommt einfach daher, dass sie mit dem Minuszeichen in Anwendungen so auftreten, insbesondere in der Physik.

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