Konvergenz

08.10.2009, 15:12

Orfelina

Konvergenz

Hallo miteinander!

Ich habe soeben in einem Artikel gelesen, dass wenn eine Folge (hier bspw. a_n) kovergent ist, dass dann im Allgemeinen noch nicht die Konvergenz einer Teilfolge (a_{n_k}) davon folgt - stimmt das wirklich?
- kann mir das sonst evtl jemand anhand eines Beispiels zeigen?

Herzlichen Dank und weiterhin einen schönen Tag!

08.10.2009, 15:36

tigerbine

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RE: Konvergenz
Wo hast du das gelesen?
http://de.wikipedia.org/wiki/Teilfolge

08.10.2009, 15:36

Mazze

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Ist eine Folge konvergent, so ist jede Teilfolge konvergent und besitzt den gleichen Grenzwert. Ist auch garnicht schwer einzusehen. Sei $\begin{eqnarray*} (X,\| \cdot \|) \end{eqnarray*}$ ein normierter Raum und $\begin{eqnarray*} x_n \subset X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n \to x \in X \end{eqnarray*}$ bezüglich der Norm. Dann gilt also :

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 ~ \exists N \in \mathbb{N} ~ \forall n > N ~ \| x_n - x \| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Betrachte nun die Teifolge $\begin{eqnarray*} x_{n_i} \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} n > N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \|x_n - x \| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Insbesondere gibt es, wegen der Teilfolgeneigenschaft, einen Index $\begin{eqnarray*} m > N \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} x_{m} = x_{n_k} \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt natürlich für alle $\begin{eqnarray*} i > k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \|x_{n_i} - x \| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Womit die Teilfolge konvergiert. In welchem Zusammenhang hast Du denn diese Aussage gesehen? Das wäre wichtig.

08.10.2009, 20:52

Orfelina

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Das habe ich (99% sicherheit..deswegen bin ich auch ein wenig irritiert) gelesen - im Zusammenhang mit Umstellung oder Umordnung vielleicht...
..und sicher auch im Zusammenhang mit absoluter Konvergenz, denn (das stand auch dort) wenn die Folge absolut konvergent ist, dann konvergiert auch deren Teilfolge absolut. (war einfach eine Behauptung in diesem Artikel, ohne Beweis oder Ähnliches..)

10.10.2009, 15:47

D@Npower

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Zitat:

Original von Mazze
Ist eine Folge konvergent, so ist jede Teilfolge konvergent und besitzt den gleichen Grenzwert.

Seien $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a_{nk})_{k \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ eine Teilfolge davon.

Man kann z.B durch ein Gegenbeispiel zeigen, dass wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{n \in \mathbb N }~a_n \end{eqnarray*}$ konvergent ist, dass dann IM ALLGEMEINEN noch nicht die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{k \in \mathbb N }~a_{nk} \end{eqnarray*}$ folgt.

10.10.2009, 16:20

Mathespezialschüler

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@D@Npower
Orfelina und du könnt anscheinend beide nicht zwischen Folgen und Reihen unterscheiden. Mazzes Aussage ist korrekt und Orfelinas Andeutungen ergeben in Bezug auf Folgen keinen Sinn, sie scheinen eher zu Reihen zu gehören. Du, Orfelina, solltest dich also mal entscheiden, worum es dir eigentlich geht.

10.10.2009, 16:40

D@Npower

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Hmm..dann würde folgende Aussage / Aufgabe aber wenig Sinn machen, oder?!

[attach]11435[/attach]

10.10.2009, 16:46

Mathespezialschüler

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Doch, denn einer Folge wird dort ja eine Reihe zugeordnet und dann geht es um die Konvergenz dieser Reihe, nicht aber um die Konvergenz der Folge.

10.10.2009, 17:01

D@Npower

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Ahh - okey, verstanden!
..was aber wäre ein solches Gegenbeispiel zu a?

10.10.2009, 17:07

Ungewiss

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$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{(-1)^n}n \end{eqnarray*}$

10.10.2009, 17:35

D@Npower

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stimmt, wenn die Teilfolge nämlich z.B. $\begin{eqnarray*} (a_{nk}) = 2k \end{eqnarray*}$ ist, so folgt nicht die Konvergenz, sondern die Divergenz smile

..wie würde ein möglicher Beweis zur Aussage in b) aussehen?

10.10.2009, 18:00

Mathespezialschüler

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Eine monoton steigende Folge wie z.B.

$\begin{eqnarray*} s_m:=\sum_{k=1}^m~|a_{n_k}| \end{eqnarray*}$

ist genau dann konvergent, wenn sie nach oben beschränkt ist.

10.10.2009, 18:16

D@Npower

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ja, stimmt! smile

- aber wie würde denn (in etwa) der beweis für dein beispiel aussehen?

10.10.2009, 18:40

Mathespezialschüler

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Welches Beispiel meinst du?

Wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~a_n \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert, dann ist $\begin{eqnarray*} a:=\sum_{n=1}^{\infty}~|a_n| \end{eqnarray*}$ eine nichtnegative reelle Zahl und es gilt stets

$\begin{eqnarray*} s_m=\sum_{k=1}^m~|a_{n_k}|\leq a \end{eqnarray*}$ ,

also ist die Folge beschränkt.

Dieser Schritt war doch jetzt eigentlich nicht so schwierig, hättest du den nicht vielleicht mit ein bisschen Nachdenken auch alleine geschafft?

10.10.2009, 19:29

D@Npower

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Doch, auf das wäre ich scho auch gekommen, aber ich war mir nicht sicher, dass wenn eine Folge beschränkt ist, dass das dann auch gerade die absolute Konvergenz bedeutet.
(also in diesem Fall)

..aber wenn das so ist, dann wäre alles klar, vielen Dank! smile

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