Operatornorm berechnen

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08.10.2009, 15:27	Jesaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Operatornorm berechnen Gegeben sei ein linearer Operator zwischen zwei Hilberträumen mit der Darstellung $\begin{eqnarray} T = \sum\limits_{n=1}^m~\langle \cdot , e_n \rangle f_n \end{eqnarray}$ wobei e_n und f_n orthonormale Folgen seien. Dieser Operator soll nun die operatornorm 1 haben. wie kann ich das nachweisen?
08.10.2009, 15:44	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wichtigste vorne Weg sind die Räume und die auf den Räumen definierten Normen. Davon hängt nämlich die Operatornorm ab. Ohne die kann man nichts tun. So wie ich das sehe bildet der Operator Folgen auf Folgen ab, also $\begin{eqnarray} T : X \to Y \end{eqnarray}$ Du kennst sicher die Darstellung : $\begin{eqnarray} \\|T\\| = \sup_{f \in X, \\|f\\|_X = 1}\\|Tf\\|_Y \end{eqnarray}$ Und hier kommts. Wir brauchen den Raum X, das ist der Folgenraum und die Norm $\begin{eqnarray} \\| \cdot \\|_X \end{eqnarray}$ auf X. Genau das selbe für Y. Was man dann tun kann ist $\begin{eqnarray} \\|T\\| \leq 1 \end{eqnarray}$ zeigen, und ein normiertes f finden so dass $\begin{eqnarray} \\|Tf\\| = 1 \end{eqnarray}$ gilt. Dann folgt sofort dass die Operatornorm 1 ist.
09.10.2009, 09:03	Jesaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke ich habe es: Also der Operator $\begin{eqnarray} T: G \to H \end{eqnarray}$ operiert zwischen zwei nicht näher benannten Hilberträumen G und H. Es seien e_n in G und f_n in H zwei orthonormale Folgen. Dann ist doch für beliebieges x in G: $\begin{eqnarray} \|\|Tx\|\| = \|\|\sum\limits_{n=1}^m~\langle x , e_n \rangle f_n\|\| \leq \sum\limits_{n=1}^m \|\langle x , e_n \rangle\| \end{eqnarray}$ hier läst sich nun die summe so vergrößern dass die besslesche ungleichung anzuwenden ist, daher: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^m \|\langle x , e_n \rangle\| \leq \|\|x\|\| \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} \|\|T\|\| \leq 1 \end{eqnarray}$ Wähle ich nun $\begin{eqnarray} x=e_n \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} \|\|Tx\|\| = \|\|Te_n\|\| = \|\|f_n\|\|=1 \end{eqnarray}$ , da f_n orthonormal ist. Also letzten Endes $\begin{eqnarray} \|\|T\|\| =1 \end{eqnarray}$ korrekt?
09.10.2009, 10:15	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ansich so wie mans macht, mich würde nur mal interessieren wie Du die Summe erweitert hast um die besselsche Ungleichung zu verwenden. Ansonsten ist es richtig.
09.10.2009, 10:18	Jesaja	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe das Orthonormalsystem e_n zu einer Orthonormalbasis erweitert. dann kommen lediglich terme hinzu die größer oder gleich 0 sind
09.10.2009, 10:27	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich seh nicht was das helfen soll. Wenn wir einen nichtseparablen Hilbertraum haben wird dann aus der Summe ein Integral (wenn ich mir jetzt richtig vorstelle wie du es machst). Schreibs mal bitte auf
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09.10.2009, 10:41	Jesaja	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, es geht nur um separable hilberträume. dann ists doch richtig?
09.10.2009, 10:48	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute ja du machst sowas hier : ist $\begin{eqnarray} \{e_n\} \end{eqnarray}$ ein Orthonormalsystem und S eine Orthonormalbasis mit $\begin{eqnarray} \{e_n\} \subset S \end{eqnarray}$ , dann ist wohl $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^m \|\langle x,e_n \rangle\| \leq \sum_{s \in S} \|\langle x,e_n \rangle \| \end{eqnarray}$ Allerdings seh ich hier immer noch nicht wie Du die besselsche Ungleichung anwenden willst.
09.10.2009, 10:54	Jesaja	Auf diesen Beitrag antworten »
richtig, sowas meine ich. und nun verstehe ich auch endlich deinen einwand bezüglich der besselschen ungleichung. die ist so natürlich nicht anzuwenden. jedoch kann man sie anwenden wenn ich statt $\begin{eqnarray} \|\|Tx\|\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\|Tx\|\|^2 \end{eqnarray}$ betrachte (in meinem zweiten beitrag) dann sollte es hinhauen oder nicht?
09.10.2009, 11:23	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit dem Quadrat gehts auch nicht da : $\begin{eqnarray} \\|Tx\\|^2 = \left\\|\sum\limits_{n=1}^m~\langle x , e_n \rangle f_n \right\\|^2 \leq \left( \sum\limits_{n=1}^m \|\langle x , e_n \rangle\| \right)^2 \end{eqnarray}$ Für die besselsche Ungleichung brauchen wir das Quadrat aber in der Summe, die besselsche Ungleichung lautet ja : $\begin{eqnarray} \Vert x \Vert^2 \geq \sum_{n=1}^m \vert \langle x, e_n \rangle \vert^2, \end{eqnarray}$ Man müsste also versuchen bei $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^m \|\langle x , e_n \rangle\| \end{eqnarray}$ versuchen ein Quadrat reinzuschummeln, dann würde sofort alles mit des Besselungleichung erledigt sein. edit : Mit dem Quadrat hauts doch hin, dann kann man nämlich den Pythagoras anwenden da die f_n orthogonal sind $\begin{eqnarray} \left\\|\sum\limits_{n=1}^m~\langle x , e_n \rangle f_n \right\\|^2 =\sum_{n=1}^m~\\|\langle x , e_n \rangle f_n\\|^2 \end{eqnarray}$
09.10.2009, 11:51	Jesaja	Auf diesen Beitrag antworten »
schwere geburt Vielen Dank für deine professionelle Hilfe!

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