Lemma von Zorn. Verständnisproblem |
| 08.10.2009, 17:03 | Sonnenschein1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Lemma von Zorn. Verständnisproblem ich bin gerade beim Lemma von Zorn. Wir haben das so formuliert: "Jede nichtleere halbgeordnete Menge, in der jede Kette eine obere Schranke hat, enthält mindestens ein maximales Element" Ich habe also verschiedene Ketten, sodass ich die Elemente in jeder einzelnen Kette miteinander vergleichen kann, die einzelnen Ketten aber nicht vergleichen kann, da ich ja eine Halbordnung habe. Jede Kette hat eine obere Schranke. Also hat jede Kette auch ein Supremum. Aber kann ich dadurch auch unbedingt eine Aussage über das Maximum treffen. Das Maximum existiert ja nur, wenn die Menge kompakt ist und darüber haben wir keine Aussage getroffen. Das wäre ja sonst ziemlich ungenau, oder? Oder kann ich sagen, da ich eine Kette habe, ich nehme einfach das oberste Element als Maximum (und Kompaktheit spielt hier keine Rolle, da ich ja z.B. nicht auf den reellen Zahlen bin, sondern die Elemente der Kette durchzählt und z.B. bis 17 komme. Und dann ist 17 einfach das maximale Element.)? Außerdem kann ich ja auch nicht sagen, welches Elemente der ganzen Ketten jetzt das maximale Element ist, da ich die einzelnen Ketten ja nicht miteinander vergleichen kann... Dann habe ich noch ein Problem mit dem Wort "mindestens" Ich meine, wenn ich ein maximales Element habe, müsste dieses doch eindeutig bestimmt sein. Also hab ich genau ein maximales Element. Oder wird dies hier aufgrund der Halbordnung so angesehen, dass das maximale Element einer jeden Kette als maximales Element gilt. Dann hätte ich ja so viele maximale Elemente wie Ketten... Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen. Gruß, Sonnenschein1 |
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| 08.10.2009, 17:24 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das hat mit Kompaktheit überhaupt nichts zu tun. Dieser Begriff gehört in die Analysis, das Zornsche Lemma in die Grundlagen der Mengenlehre. Ich würde nicht den Versuch starten, mit naiven Mitteln zu verstehen, warum das Zornsche Lemma gilt. Der Beweis ist sehr abstrakt und für Anfänger sehr kompliziert (unter der Annahme des Auswahlaxioms). Nimm es vielleicht zunächst einfach als Satz hin. Zu maximalen Elementen: Es gibt sehr viele Halbordnungen mit mehreren maximalen Elementen! Maximale Elemente sind einfach nur solche, für die es kein größeres Element gibt, das ist ein Unterschied zu größten Elementen, die größer als alle anderen Elemente sind. Siehe hier. |
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| 08.10.2009, 18:29 | Sonnenschein1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank für deine Antwort. Ich schreibe es nochmals so auf wie ich es jetzt verstanden habe:
oh ja, da bin ich in Ana gerutscht...
Das heißt, ich kann weil ich mehrere Ketten habe auch mehrere maximale Elemente haben. Also z.B. Kette1: 2, 3, 4, 7, 13, 17, 18 Kette2: 4, 7 , 14 , 49 Kette 3: 3; 4; 6 Dann sind 18, 49 und 6 maximale Elemente. Ich kann sie aber untereinander nicht vergleichen, weil sie auf unterschiedlichen Ketten liegen. Allerdings wäre 3,6,4 dann keine Kette, weil diese nach oben immer größer werden muss. Und ich habe mindestens ein maximales Element (wie es ja in der Formulierung des Satzes steht) weil ich mindestens eine Kette habe. Stelle ich mir das so richtig vor? |
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| 08.10.2009, 18:32 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Als Student habe ich den Beweis von Hellmuth Kneser von 1950 sehr eingänglich gefunden. Außer gesundem Menschenverstand und dem Willen, sich auf die nicht ganz heutigen Maßstäben entsprechende mathematische Sprache einzulassen, bedarf es nichts. Heute noch steht eine Kopie des Artikels in meinem Bücherschrank. Aber im digitalen Zeitalter kann man das natürlich auch digital finden, z.B. hier. |
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| 08.10.2009, 18:45 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie gesagt, ich würde nicht versuchen, mir das vorzustellen. Die mehreren maximalen Elemente sind eigentlich nicht durch mehrere Ketten begründet. Es kann auch mehrere Ketten und nur ein maximales Element geben. Außerdem ist deine Vorstellung mit diesen endlichen Ketten relativ eingeschränkt. Im Allgemeinen sind die Ketten sogar überabzählbar groß und es ist dann (für mich zumindest) nicht möglich, sie mit endlichen Ketten zu vergleichen. Unabhängig davon kannst du dir Beispiele überlegen, bei denen es mehrere maximale Elemente gibt, allerdings würde ich solche Sachen nicht als Paradebeispiele für das Zornsche Lemma nutzen. |
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| 09.10.2009, 14:43 | Sonnenschein1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Leopold: Danke für den Beweis. @Mathespezialschüler: Ok, also ich habe eingesehen, dass das ganze schwer vorstellbar ist... Dann werde ich einfach versuchen, es als Satz zu sehen, auch wenn ich immer versuche, das ganze (und nicht nur den Beweis) zu verstehen. Aber ich geb mir Mühe 
Danke für eure Hilfe. |
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