pascal'sches Dreieck

09.10.2009, 20:17	hoshy	Auf diesen Beitrag antworten »
pascal'sches Dreieck Hello, ich soll folgende Eigenschaft im pascal'schen Dreieck beweisen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^m (-1)^k\binom{n}{k} = (-1)^m \binom{n-1}{m} \end{eqnarray*}$ fuer 0<= m <= n Wie kann man die Sache angehen? lg
09.10.2009, 21:37	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \binom n k = \binom {n-1}{k-1} +\binom {n-1} k \end{eqnarray}$ +Teleskoptrick =Behauptung.
09.10.2009, 22:32	hoshy	Auf diesen Beitrag antworten »
... hmm ok, das versteh ich... und dann Teleskoptrick... wie soll ich denn da was zusammen fuehren?
10.10.2009, 09:02	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll das heißen, du hast wirklich jeden Binomialkoeffizienten gemäß obiger Formel ersetzt durch 2 Summanden und kannst nun die enstehende Summe nicht vereinfachen? Hast du dir für irgendeinen Spezialfall, z.B. n=5, m=3 unmittelbar nach dem Einsetzen (ohne jetzt einen einzigen der Binomialkoeffizienten tatsächlich auszurechnen!!!) die Summe mal angesehen? Kann ich mir eigentlich nicht vostellen, so wie du fragst...
10.10.2009, 09:28	hoshy	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, ich habe... $\begin{eqnarray} = (-1)^0(\dbinom{n-1}{0-1}+\dbinom{n-1}{0})+(-1)^1(\dbinom{n-1}{1-1}+\dbinom{n-1}{1})+(-1)^2(\dbinom{n-1}{2-1}+\dbinom{n-1}{2})+(-1)^3(\dbinom{n-1}{3-1}+\dbinom{n-1}{3})...\\<br /> = 1(0+1)+(-1)(1+(n-1))+1((n-1)+\dbinom{n-1}{2})... \end{eqnarray*}$ Aber wie hilft mir das denn weiter
10.10.2009, 09:55	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast zwar entgegen meiner Empfehlung $\begin{eqnarray} \binom {n-1} 0 =1,\ \binom {n-1} 1 = n-1 \end{eqnarray}$ ausgerechnet, was hier absolut nichts bringt, dafür aber dann einen Schritt vor Anwendung des Teleskoptricks aufgehört zu rechnen... Sinnvoll angeschrieben würde deine Rechnung so aussehen $\begin{eqnarray} \binom {n-1} {-1} +\binom {n-1} 0 -\binom {n-1} 0 -\binom {n-1} 1 +\binom {n-1} 1 +\binom {n-1} 2 +\ldots \end{eqnarray}$ "Klingelt's" jetzt endlich?
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10.10.2009, 10:30	hoshy	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, ok... sorry das ichs nicht gleich gesehen hab... thx

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