Richtungsableitung

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Richtungsableitung
Irgendwie steige ich bei diesem Begriff noch nicht durch. Tränen Gegeben ist:



mit




Soweit so gut. Nun der Teil, den ich nicht verstehe

Zitat:

Notwendige Bedingung für ein Minimum von F ist das Verschwinden der Richtungsableitungen entlang , also

(*)


Erstmal zur Notwendigen Bedingung. Da wäre mir nun eingefallen, dass die partiellen Ableitungen verschwinden müßten. Ist das falsch? gleichwertig? Wie kann ich das einsehen? Salopp kommt mir nur der Gedanke, dass ich jeden Vektor v ja als LK der "Einheitsvektoren" darstellen kann, was doch dann die partiellen Ableitungen sind. Ja, ich weiß. Holprig bis zum Abwinken. Der Euro ist hier eben immer noch nicht gefallen.

Zweite Frage ist, wie kommt man dann auf (*). Am Anfang würde ich ja noch |.| durch ||.|| ersetzt haben wollen, da es i.A. hier um Vektoren mit Länge > 1 gehen wird. Das 1/2 in der Funktion vermute ich steht nur da, damit in der "Ableitung" dann eben kein Koeffizient auftreten wird. Für die weiteren Überlegungen muss ich mich fragen:

1. Wie leitet man das Skalarprodukt ab?
2. Wie leitet man "Ax" ab.

zu 1: Dumm gesagt, "Produkt" klingt nach Produktregel. Und Wegen des Symmetrie kann man dann zusammenfassen. Aber wie geht das nun wirklich sauber. Ich würde das gerne endlich mal im Hirn abspeichern. Ups

zu 2: http://de.wikipedia.org/wiki/Gradient_%2...htungsableitung

Demnach würde ich dann aufgrund der Linearität von A schreiben.




Danke für jegliche Hilfe.
tigerbine Wink
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Für eine differenzierbare, reellwertige Funktion muss an einer Minimalstelle notwendigerweise die Ableitung verschwinden. Damit verschwindet auch der Gradient und dann auch alle Richtungsableitungen, denn die Richtungsableitung in Richtung ist nichts anderes als die Ableitung angewandt auf diesen Vektor: (oder auch Skalarprodukt aus Gradient und ). Für ein paar Erläuterungen zur Richtungsableitungen siehe hier. Grob gesagt denkst du dir bei der Richtungsableitung die Funktion nur auf der Geraden definiert, identifizierst die Gerade mit und die Richtungsableitung ist dann die Ableitung der Funktion von nach , welche du dadurch erhältst.

Für eine differenzierbare Funktion ist also das Verschwinden der Ableitung äquivalent zum Verschwinden aller Richtungsableitungen und auch äquivalent zum Verschwinden aller partiellen Ableitungen.

ist bei manchen Leuten eine gängige Schreibweise für die euklidische Norm eines Vektors. Lass dich von solchen Kleinigkeiten nicht verwirren. Augenzwinkern

Zur Ableitung des Skalarprodukts nimmst du dir die Definition her:

.

Der erste Summand auf der rechten Seite ist eine lineare Abbildung in , der zweite ist und geht nach Teilung durch natürlich immer noch gegen Null. Also ist nach Definition die Ableitung der Funktion im Punkt gegeben durch die lineare Abbildung , welche man manchmal kürzer auch als schreibt. Wie schon einmal in einem anderen Thread gesagt: Das Skalarprodukt verhält sich in gewisser Weise ähnlich wie z.B. das Produkt von Zahlen in , was man hier auch erkennt.

Die Ableitung der Funktion in einem Punkt solltest du wissen. Das ist eine lineare Abbildung, deren Ableitung in jedem Punkt durch gegeben ist. Das ist einfach das höherdimensionale Analogon einer linearen Funktion in .

Deine Richtungsableitung ist unten ist etwas komisch, weil da ein Vektor rauskommt und keine Zahl. Richtungsableitungen sind oftmals nur für reellwertige Funktionen definiert, aber bildet ja in den ab. Man kann das trotzdem so schreiben und das auch als Richtungsableitung auffassen. Du solltest dir nur dann darüber im Klaren sein, dass das Ergebnis ein Vektor ist.


Mit obigen Rechnungen und der Kettenregel folgt übrigens, dass die Ableitung von gegeben ist durch die lineare Abbildung , was man (wenn man unbedingt möchte) kürzer als darstellen kann. Die Gleichung (*) folgt dann aus der Tatsache, dass die Richtungsableitung in Richtung gerade die Ableitung angewandt auf ist.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir für deine Antwort. Ich werde mich mit dem Inhalt nach der hoffentlich erfolgreichen Qualifikation des DFB-Teams beschäftigen.

Generell fehlt mir mit den Ableitungen im Mehrdimensionalen die Übung. Hat du ggf. einen Link mit Aufgaben + Lösungen, um ein paar "konkrete" Beispiele zu rechnen (analog zur eindimensionalen Ableitungsübung)? Ich habe mir gerade einmal dieses Skript ausgedruckt.

Gruß
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Bei wirklich konkret vorgegebenen Funktionen wie z.B.



o.Ä. (solche kannst du dir einfach selbst ausdenken) berechnet man die Ableitung einfach durch Berechnen der Jacobi-Matrix, d.h. man muss doch wieder nur alle Komponenten partiell nach allen Variablen ableiten. Das ist natürlich etwas anderes als z.B. die Ableitung der Funktion (wobei man es im auch einfach so machen könnte). Andere solcher allgemeineren Beispiele habe ich nicht parat. Falls du aber doch nur Beispiele wie das oben konkrete rechnen möchtest, denke dir sie selbst aus oder gucke einfach in ein Analysisbuch mit genügend Aufgaben.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu möchte ich noch eine triviale Anmerkung machen:

Für eine Funktion , die von in abbildet, bezeichnet man die Jacobimatrix an einem Punkt als das Differential von , also
.

Für eine Funktion die von nach abbildet bezeichnet man den Gradienten als "Ableitung".

Jedoch beide Male ist es im Grunde nur die Jacobimatrix: Einmal eine "anständig grosse" Matrix und einmal eben nur ein "kleiner" Vektor.

Das heisst der Gradient ist gerade das Differential im zweiten Fall.

Wie kann man das Differential von finden wobei endlichdimensionale, normierte -Vektorräume sind? Mit der Definition:
Es ist per Definitionem die lineare Abbildung die
wobei der Rest relativ klein in ist, das bedeutet
wobei die Norm auf und die Norm auf ist.

Um nun das Differential von zu bestimmen macht man es wie MSS:

wobei ,
definiert durch [ziemlich klar linear]
und [ziemlich klar klein in ].
So
und das ist wieder ein "Gradient".
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Das Differential ist mir bekannt als die Ableitung an sich, d.h. die lineare Abbildung. Die Jacobi-Matrix ist nur die Darstellungsmatrix dieser linearen Abbildung bezüglich der Standardbasen. Mir widerstrebt es etwas, das als Differential zu bezeichnen, da es keine koordinatenunabhängige Darstellung ist. Aber das mag in verschiedenen Vorlesungen/Büchern anders sein.

Im Übrigen ist der Gradient nicht die Jacobi-Matrix von , sondern er ist das Transponierte der Jacobi-Matrix von .
 
 
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke dass das Hauptproblem daran ist, dass hier die Definitionen wirklich auseinandergehen.
Manche nennen tatsächlich die Jacobimatrix das Differential, manche anderen die lineare Abbildung und gleichzeitig heisst dann auch noch die 1-Form das Differential von .

Du hast recht, der Gradient von ist die transponierte Jacobimatrix. Aber auch das hängt schon wieder von einer Konvention ab: schreibt man nun Vektoren als Spalte oder als Zeile.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
Du hast recht, der Gradient von ist die transponierte Jacobimatrix. Aber auch das hängt schon wieder von einer Konvention ab: schreibt man nun Vektoren als Spalte oder als Zeile.

Nein, eigentlich hängt es davon nicht unbedingt ab. Die Jacobi-Matrix beschreibt die lineare Abbildung und mit dem Gradienten arbeitet man stets als Vektor.

Deswegen vielleicht auch hier lieber eine koordinatenfreie Definition: Der Gradient ist die duale Abbildung der Ableitung (als lineare Abbildung).

Da die Ableitung ein Element des Dualraums von ist und man den Bidualraum des stets auf sehr kanonische Weise mit dem selbst identifiziert, ist der Gradient damit als Vektor (koordinatenfrei!) aufgefasst.

@tigerbine
Ignoriere vielleicht einige Teile der letzten Beiträge einfach. Es könnte gut sein, dass sie dich nur verwirren.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal sorry, dass ich auf eure Beiträge noch nicht eingehen kann. Aber ihr unterhaltet euch ja auch ganz gut ohne mich. Augenzwinkern Ich lese das skript von oben. Wäre nett, wenn ihr mal auf Seite 5 schauen könntet.

Zitat:
.... so heißt f(x) k-fach stetig differenzierbar


2 Sachen verwundern mich (Bitte dafür auch Seite 4 anschauen, Def. 52.8)

1. Warum f(x) und nicht f? (Tritt auch vorher schon so in Formulierungen auf)

2. Warum nicht f(x) k-fach partiell stetig differenzierbar


Danke für eure Antworten!

edit:
Vielleicht könnten wir auch noch einen Blick auf Seite 8 werfen. Da verstehe ich in (a) die Logikkette nicht. Ich kann die Rechnung nachvollziehen, nur warum ist für normierte Vektoren v:

system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
1. Warum f(x) und nicht f? (Tritt auch vorher schon so in Formulierungen auf)


Der Autor bezeichnet anscheinend immer die Funktion mit . Das ist mMn geschmackssache.

Zitat:
Original von tigerbine
2. Warum nicht f(x) k-fach partiell stetig differenzierbar


Weils zu lange ist Augenzwinkern .

Zitat:
Original von tigerbine

edit:
Vielleicht könnten wir auch noch einen Blick auf Seite 8 werfen. Da verstehe ich in (a) die Logikkette nicht. Ich kann die Rechnung nachvollziehen, nur warum ist für normierte Vektoren v:



Das muss man beweisen.

Beh. Für im Definitionsbereich von gilt: zeigt in die Richtung, in der am schnellsten wächst.

Bew.
Nehmen wir ein als Richtung. Dann ist für :

Also reicht es zu betrachten.
Weiter ist
mit und das wird maximal genau dann, wenn , also .

[nach: Klaus Fritzsche, "Grundkurs Analysis 2"]
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
Der Autor bezeichnet anscheinend immer die Funktion mit . Das ist mMn geschmackssache.


Ich meine mich an Diskussion hier im Board zu erinnern, wo auf einen Unterschied zwischen f und f(x) aufmerksam gemacht wurde.

Zitat:
Weils zu lange ist Augenzwinkern .


Naja, vorher hat alles ein partiell und da finde ich schon, dass das auch dort reingehört, gerade da später ja noch die totale Differenzierbarkeit kommt.

Zitat:
Das muss man beweisen.


Ok, dann bin ich beruhigt.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Naja, vorher hat alles ein partiell und da finde ich schon, dass das auch dort reingehört, gerade da später ja noch die totale Differenzierbarkeit kommt.


Die totale Ableitung ist in dem Sinne auch "die" Ableitung im Mehrdimensionalen. Die "partielle" Ableitung kannst du dir als Methode vorstellen die Einträge der Jacobimatrix zu finden.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das Kapitel bin ich gerade am lesen. Ich melde mich sicher bald wieder mit Fragen. Will endlich auch ins Licht des . Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Und hier ist die nächste Frage. Seite 28. Da hab ich was anderes für die Hessematrix raus. Wenn die die stationären Punkte einsetzen, kann das ja nicht stimmen, was da als Hessematrix steht. Müsste doch sein, oder:

system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist ein Fehler in dem Skript. Du hast recht Freude .
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Weiterlesen angesagt. Wink
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

So ich habe mich nun einmal durch das Skript durchgelesen. Mal sehen, ob ich was verstanden habe. In der Schule war das Thema noch schön
, als man Abbildungen von IR -> IR betrachtet hat Augenzwinkern

Skalarwertige Funktion heißt, dass der Bildraum IR (1-dimensional) ist? Sie sind ein Spezialfall von
Vektorwertigen Funktionen

Das Analogon zur "Schulableitung" - Differenzierbarbeit in - ist dann die totale Differenzierbarkeit in . Beide Male wird ein Grenzwert betrachtet. In diesem taucht die "Ableitung in" dann auf. Gesucht ist in beiden Fällen eine lineare Funktion g mit





Dabei ist f'(x_0) eine reelle Zahl (1x1-Matrix) und L eine mxn Matrix.

Königsberger schreibt es "allgemeiner", also das L eine lin. Abbildung ist, man nennt die dann (totales) Differential. Sie ist eindeutig bestimmt. Anstatt dem L würde man dann schreiben.

Ist das soweit richtig verstanden?

Bislang waren das aber alles nur verschiedene "Symbole". Sowie man im Schulfall eben für einen Grenzwert schreibt.

Wie geht nun der Übergang zu den Rechenregeln? Da bekommt dieses , der " ' " doch ein "andere" Bedeutung. Ich werfe mal unsicher den Begriff "Differentialoperator" in den Raum. Bildet man dann nicht vom "Raum der Funktionen" in den "Raum der Ableitung" ab? Und diese Abbildung ist linear.

Ich bekomme mich nun leider nicht mehr gut formuliert, ich meine z.B. dass " ' " so abbildet.

*

Und so wie man bei



Das Bild dann als f(x) schreibt, notiert man bei (*) dann .

Bevor sich noch mehr im Hirn verknotet, gehe ich nun schlafen. Schläfer
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Skalarwertige Funktion heißt, dass der Bildraum IR (1-dimensional) ist? Sie sind ein Spezialfall von
Vektorwertigen Funktionen


Ja.

Zitat:
Original von tigerbine
Das Analogon zur "Schulableitung" - Differenzierbarbeit in - ist dann die totale Differenzierbarkeit in . Beide Male wird ein Grenzwert betrachtet.


Ja.

Deine Grenzwerte sind unsinn. Du teilst durch Vektoren. Für die Differenzierbarkeit braucht man normierte Vektorräume um "Abstände" zu haben.

Sei .
heisst differenzierbar in genau dann, wenn es eine lineare Abbildung gibt derart, dass

wobei

[intuitiv ist das, was im Eindimensionalen die Tangente war].

Das kann man natürlich auch umschreiben zu


Die lineare Abbildung ist dann das Differential von im Punkt , manchmal notiert auch als [zur Begriffsbildung: siehe auch die Diskussion von MSS und mir früher].

Das mit dem Differentialoperator wäre ich vorsichtig.
Genauer bekommt man eine Abbildung

definiert durch
.

Im Falle , also für heisst die Zuordnung dann eine 1-Differentialform.

Salopp:
Pro Punkt eine lineare Abbildung.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Der Unsinn entsteht, weil ich zu lässig von IR übertragen hatte. Die Striche im Buch habe ich dann nicht mehr gesehen... F*** Ups





Allerdings steht da bei mir de Betrag/ Norm nur im Nenner. Nicht im Zähler. Im verlinkten Skript ist das Kapitel 54, Seite 13. Fehlt da nun was? Bei Königsberger komme ich nicht weiter, da steht auch kein Betrag im Zähler, allerdings betrachtet der Abbildungen nach , also eindimensional.

Vielleicht klären wir das erst einmal. Danke Wink
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist egal ob mit oder ohne Betrag.
Der wichtige Punkt ist, dass das, was bei mir der Restterm ist, einfach klein ist. Und mein Restterm ist genau das was in deinem Limes steht.

Im eindimensionalen heisst eine Funktion dfb, wenn man eine Tangente an sie anlegen kann derart, dass diese Tangente [=einfache lineare Funktion] eine "gute" [Restterm] Approximation der Funktion ist.
Im Mehrdimensionalen analog: Man braucht aber eben eine lineare Abbildung zwischen dem Urbild und Bildraum.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Dann lasse ich das mal ohne Betrag im Zähler.

Zitat:
Die lineare Abbildung ist dann das Differential von im Punkt , manchmal notiert auch als [zur Begriffsbildung: siehe auch die Diskussion von MSS und mir früher].


Gehen wir erst einmal noch in den eindimensionalen Fall. In dem Grenzwert haben wir die lineare Funktion g betrachtet (Linearisierung von f im Punkt x0).



Das ist aber nicht die Lineare Abbildung die du meinst. Das wäre das ?

Im höheren Dimensionsfall ist das dann das L?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Hier wäre es die lineare Abbildung
definiert durch

eben die Tangente [bzw. die Tangente ist die geeignet durch Addition verschobene affine lineare Abbildung].
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. g ist im Allgemeinen ja keine lineare Abbildung, sondern affin.

Ok, sei f nun (total) differenzierbar im Punkt p. D.h. per Definition erstmal, dass es eine Lineare Abbildung L gibt, so dass der Grenzwert (ii) exisitert und gleich 0 ist.

Wie sieht nun aber dieses L aus?

Gehen wir mal wieder in den 1D Fall. Im Prinzip müßte man sich ja für jede Funktion und Punkt durch diese Rechnung quälen. Für bekannte Funktionen hat man das dann einmal gemacht und auch Bereiche gezeigt, auf denen sie differenzierbar sind.

Was nun, wenn man eine "aus bekannten Funktionen zusammengesetzte Funktion" hat. Da kommen doch die Ableitungsregeln ins Spiel. Diese müssen wieder erstmal über den Grenzwert bewiesen werden.

Soweit richtig...?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Wie das aussieht hängt natürlich von der gewählten Basis ab. Im Falle der Einheitsbasis hat es genau die Einträge
.
Das muss man allerdings auch einsehen.


Für Summen: nutze einfach die Darstellung:


Wichtig wird die Kettenregel:
.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte, dass man diese Regeln doch erstmal beweisen muss. Daran schließt sich dann meine "eigentliche" Frage an. Was ist hiermit gemeint:

Zitat:
Daraus folgt nun: Die differenzierbaren Funktionen (auf einem gegebenen Intervall) bilden einen reellen Vektorraum, und die Differentiation ist eine lineare Abbildung von diesem Vektorraum in den Vektorraum aller Funktionen.


Welches Symbol hat diese lin. Abbildung?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Pass auf, in dem Zitat von dir ist auf einmal von Funktionen auf einem Intervall die Rede, also vielleicht Funktionen mit ein Intervall.

Hier entspricht die Ableitung genau der komponentenweise Ableitung:
mit .
Schau dir das mal ganz genau an [Jacobi lässt grüssen]:

mit .

Man kann es ruhig mit dem Symbol machen, aber es schafft eben einige Verwirrung.

Edit:
Im Fall von Funktionen auf einem Intervall definiert schreibt man auch für die Ableitung.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Bleiben wir nochmal klein. Die Funktion f sei also auf einem Intervall differenzierbar. Dort erhält man dann die Ableitungsfunktion f'

Zitat:
Daraus folgt nun: Die differenzierbaren Funktionen (auf einem gegebenen Intervall) bilden einen reellen Vektorraum, und die Differentiation ist eine lineare Abbildung von diesem Vektorraum in den Vektorraum aller Funktionen.


Wie schreibt man nun die Differentiation (?) als Abbildung

system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Manchmal wobei die einmal stetig dfb Funktionen auf bezeichnet und die stetigen Funktionen auf .
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Und ist das dann der Differentialoperator?

Und der ist linear wegen der Summenregel und Faktorregel?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Puh. Mal etwas gecheckt. Jetzt gehe ich mal an das "Wie sieht das L" aus.

Zitat:
Wie das aussieht hängt natürlich von der gewählten Basis ab. Im Falle der Einheitsbasis hat es genau die Einträge
.
Das muss man allerdings auch einsehen.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Das muss man eben beweisen, dass von der Form ist.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn dann L(h) oder Lh? Ein Funktionswert des Differentials L? Den man anschaulich so interpretieren kann (Anhang)?

Zitat:
Das Differential ist mir bekannt als die Ableitung an sich, d.h. die lineare Abbildung. Die Jacobi-Matrix ist nur die Darstellungsmatrix dieser linearen Abbildung bezüglich der Standardbasen. Mir widerstrebt es etwas, das als Differential zu bezeichnen, da es keine koordinatenunabhängige Darstellung ist. Aber das mag in verschiedenen Vorlesungen/Büchern anders sein.


Also im Allgemeinen ist dann L nur Symbol für eine lin Abbildung. Nicht für eine Matrixdarstellung von dieser. Im angehängten Skript wurde das ja als Matrix angedeutet.

Wie bekommt man nun eine Matrixdarstellung?
1. Basis wählen.
2. Wenn ich mich für die Standardbasis entscheide folgt durch "Sätze in Skript /Buch", dass es gerade die Jacobimatrix ist? [siehe system-agent letzte posts]
3. Betrachtet man noch Darstellungen bzgl. anderer Basen?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Was ist denn dann L(h) oder Lh? Ein Funktionswert des Differentials L? Den man anschaulich so interpretieren kann (Anhang)?

Ja, genau.

Zitat:
Original von tigerbine
1. Basis wählen.

Das ist unvollständig. Für eine Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung musst du immer eine Basis im Urdbild- und eine Basis im Bildraum wählen.

Zitat:
Original von tigerbine
2. Wenn ich mich für die Standardbasis entscheide folgt durch "Sätze in Skript /Buch", dass es gerade die Jacobimatrix ist? [siehe system-agent letzte posts]

Ja.

Zitat:
Original von tigerbine
3. Betrachtet man noch Darstellungen bzgl. anderer Basen?

Wenn man in den euklidischen Räumen () arbeitet, dann i.A. in der Differentialrechnung nicht. Ich will aber nicht ausschließen, dass man in bestimmten "Anwendungen" bzw. anderen Bereichen doch mal andere Basen wählt, weil diese für die konkrete Situation gerade geeigneter sind o.Ä..
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, 2 Basen. Augenzwinkern Danke für deine - wie immer - präzisen Antworten.

edit1:
In der Darstellung mittels Jacobimatrix tauchen dann die partiellen Ableitungen auf [die man "mit Schulwissen" berechnen kann], d.h.

f ist (total) diffbar in p => die Partiellen Ableitungen existieren in p

Die Umkehrung gilt i.A. aber nicht. Als Beispielfunktion zietiere ich den Königsberger mit



Man kann aber trotzdem die partiellen Ableitung verwenden, um auf (total) diffbar in p zu prüfen. Dazu muss man dann noch fordern, dass diese in p stetig sind. Somit muss man nicht mit dem "unangenehmen " Grenzwert hantieren, sondern kann auf den "angenehmen 1D"-Fall arbeiten.

Konkrete Berechnungen werde ich ja zum Beispiel bei Extremwertaufgaben/Optimierungsaufgaben brauchen.

edit2:
Vielleicht ist es manchmal aber auch besser mir dem Grenzwerten zu arbeiten. Habe mal die Beispiele im Königsberger (Bsp von MSS) nachvollzogen für , und . Da könnte die Darstellung mit den partiellen Ableitungen es eher "kompliziert" machen in Form einer Indizeschlacht.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ist es richtig, dass man zwischen den 3 "Größen": Vektor , Differential im Punkt p, Gradient , Richtungsableitung folgende Beziehung im Punkt p aufstellen kann:



Womit sich dann Bezug nehmend auf meinen ersten Post hoffentlich mein Verständniskreis schließt.

Zitat:
MSS
Die Gleichung (*) folgt dann aus der Tatsache, dass die Richtungsableitung in Richtung gerade die Ableitung angewandt auf ist.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Erklärungen in den edits oben sind gut. Freude

Tatsächlich ist es bei solchen Funktion einfacher, die Definition der Ableitung herzunehmen, ansonsten müsstest du das Matrixprodukt erst komplett ausführen und hättest dann wirklich viele Indizes. Es hält sich aber noch einigermaßen in Grenzen und man kann dann trotzdem gut die partiellen Ableitungen ausrechnen.

Zu deinem letzten Post: Beachte, dass der Gradient und die Richtungsableitung zunächst nur für reellwertige Funktionen definiert ist, d.h. für Funktionen . In diesem Fall ist deine Überlegung richtig.

(Im allgemeinen Fall kann man auch noch sinnvoll eine Richtungsableitung und auch eventuell noch einen Gradienten definieren, allerdings ergäbe ein Skalarprodukt von Gradient und dann keinen Sinn mehr.)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Zu deinem letzten Post: Beachte, dass der Gradient und die Richtungsableitung zunächst nur für reellwertige Funktionen definiert ist, d.h. für Funktionen . In diesem Fall ist deine Überlegung richtig.


Danke fürs Schärfen des Blickes. Im Königsberger was das Voraussetzung, dass der Bilsdraum 1D ist.

Dann kann ich mich ja nun erstmal wieder der pimären Literatur zuwenden, wo ich auf diese ganzen Dinge gestoßen bin. Ich komme bestimmt mit Fragen wieder. Wenn nicht hier, dann in einem anderen Thread.

Ich danke euch beiden recht herzlich. Wink
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