Beispiele für Vektorräume

10.10.2009, 01:26

smiiile

Beispiele für Vektorräume

Hallo,
ich habe mir gerade überlegt, was es denn alles für Vekorräume gibt.
Also ich kenne die K-Vektorräume, dabei ist K ein Körper, also z.B. die rationalen, reellen oder komplexen Zahlen.
Weiterhin ist ja der $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum. Dabei ist K wie oben wieder ein Körper.
Und ich kenne noch den Raum der Polynome als Vektorraum.
Sowie den Raum der affinen Funktionen und den normierten Raum.

Erst mal, stimmt das so?
Und was gibt es denn sonst noch so für Vektorräume?

10.10.2009, 01:56

outSchool

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RE: Beispiele für Vektorräume
Hallo,

einen ganz wichtigen hast du vergessen, Vektorraum aller mxn Matrizen. Weiterhin sind Vektorräume:

die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0 über K oder

Q-Vektorraum R (R ist ein Vektorraum über Q) oder

der Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2^2 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

10.10.2009, 07:30

DGU

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Schau mal hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Banachraum

Da gibt es einige Beispiele (unendlich-dimensionaler) Vektorräume wie z.B. der Raum aller stetigen Funktionen auf einem kp. Intervall, der Raum aller beschränkten Folgen nach IR etc. (edit: genau genommen ist der Raum aller Polynome ein spezieller Folgenraum, bei dessen Folgen fast alle Folgenglieder Null sind.)

10.10.2009, 07:57

jester.

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RE: Beispiele für Vektorräume

Zitat:

Original von outSchool
$\begin{eqnarray*} \mathbb F_2^2 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Das kann man natürlich für beliebige Größen und beliebige Körper übernehmen.

Und einen ganz interessanten kenne ich noch:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Pot}(M) \end{eqnarray*}$ bildet mit der Vektoraddition
$\begin{eqnarray*} \Delta~:~\operatorname{Pot}(M)\times \operatorname{Pot}(M)\to \operatorname{Pot}(M),~(X,Y)\mapsto (X \setminus Y) \cup (Y \setminus X) \end{eqnarray*}$
und der Skalarmultiplikation
$\begin{eqnarray*} \cdot ~:~ \mathbb F_2 \times \operatorname{Pot}(M) \to \operatorname{Pot}(M),~ (a,X)\mapsto \begin{cases}\emptyset&a\equiv 0\\X&a\equiv 1\end{cases} \end{eqnarray*}$
einen $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ -Vektorraum.

Ach ja, der Kern einer linearen Abbildung ist natürlich auch ein Vektorraum.

10.10.2009, 08:17

kiste

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Endlich-Dimensionale Vektorräume sind leicht klassifiziert:
$\begin{eqnarray*} \mathbb K^n \end{eqnarray*}$ .

Eine für die Algebra wichtige Beobachtung ist: Für eine Körpererweiterung $\begin{eqnarray*} L/K \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} K- \end{eqnarray*}$ Vektorraum

10.10.2009, 09:25

jester.

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$\begin{eqnarray*} U:=\{\varphi\in\operatorname{End}(V)~|~\varphi\text{ selbstadjungiert}\} \end{eqnarray*}$ bildet als Teilraum eines euklidischen Vektorraums $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ einen Vektorraum.

10.10.2009, 12:21

Mystic

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Besonders hübsche Beispiele für Vektorräume sind m.E. auch jene abelschen p-Gruppen (G,+), in denen die Ordnung eines jeden Elements p teilt... In diesem Fall kann man nämlich G auf genau eine Weise als Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ auffassen, was in Verbindung mit einer Basisdarstellung der Elemente von G das Rechnen in G ungeheuer vereinfacht...

10.10.2009, 13:11

Manus

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Zitat:

Original von jester.
$\begin{eqnarray*} U:=\{\varphi\in\operatorname{End}(V)~|~\varphi\text{ selbstadjungiert}\} \end{eqnarray*}$ bildet als Teilraum eines euklidischen Vektorraums $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ einen Vektorraum.

$\begin{eqnarray*} U:=\{\varphi\in\operatorname{End}(V)~|~\varphi\text{ selbstadjungiert}\} \end{eqnarray*}$ ist natürlich kein Teilraum des euklidischen Vektorraums V sondern von End(V).

10.10.2009, 15:07

jester.

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Klar...

10.10.2009, 16:51

smiiile

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Woow, vielen Dank für die vielen verschiedenen Antworten smile

Also ich habe jetzt nicht alle Vektorräume verstanden, aber ich habe mir ein paar interessante rausgesucht, bei denen ich aufgeschreiben habe, wie ich das verstanden habe.
Es wäre supernett, wenn ihr mir Rückmeldung geben könntet, ob ich das richtig verstanden habe.

Also:

Zitat:

einen ganz wichtigen hast du vergessen, Vektorraum aller mxn Matrizen

Davon habe ich jetzt noch nichts gehört, aber den finde ich interessent... Wie sieht dann da das Nullelement aus? Es müsste ja dann verschiedene Nullelemente geben z.B. die 1x1 Matrix mit dem einzigen Eintrag 0 oder die 2x2 matrix mit 4 Nullen als Einträge. Ist das überhaupt ok, verschiedene Nullelemente zu haben. Oder bilden z.B. alle 3x2 Matrizen einen eingenen Vektorraum und alle 13x5 Matrizen einen eigenen Vektorraum? usw..

Und gehe ich richtig in der Annahme, dass die Basis z.B. bei 2x2 Matrizen dann z.B. so aussehen würde ?
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

der Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2^2 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Wie kommt man den auf diesen Vektorraum? Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2= \{0,1\} \end{eqnarray*}$ der kleinste Körper ist, in dem z.B. 1+1=2=0 ist.

Sind das jetzt einfach alle Vektoren, die aus zwei Einträgen bestehen, die ich aus 0 und 1 basteln kann?

Dann wäre $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2^3 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\0\\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\0\\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\1 \\0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\0\\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\0\\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\1\\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\1\\1 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$

ist das so richtig?

Zitat:

Ist das die Allgemeinerung von z.B. $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ Ich zähle also bis p und fange dann wieder von vorne an? Die Menge hat dann also p Elemente bzw p Äquivalenzklassen.

Dann wären also alle Elemente die p ohne Rest teilt =0. Alle Elemente die p mit Rest 1 teilen =1. Alle Elemente die p mit Rest 2 teilen 2 usw... bis wir bei alle Elemente die p mit Rest p teilen = alle Elemente die p mit Rest 0 teilen angekommen sind.
Ist das dann also modulu p, oder habe ich das falsch verstanden?

Zitat:

Eine für die Algebra wichtige Beobachtung ist: Für eine Körpererweiterung $\begin{eqnarray*} L/K \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} K- \end{eqnarray*}$ Vektorraum

Ich habe in Wikipedia gefunden: "Ein Beispiel für eine endliche Körpererweiterung ist die Erweiterung $\begin{eqnarray*} \mathbb{ C} / \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ der reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen." Dann ist also $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \mathbb R-VR \end{eqnarray*}$

Aus diesem Grund müsste dann auch gelten R ist ein Vektorraum über Q wie outSchool geschrieben hat.

Das hat aber nichts mit Faktorräumen zu tun, oder? Die schreibt man nämlich ganz ähnlich...

Grüße,
smiiile

10.10.2009, 21:28

Dunkit

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Damit die unendlich dimensionalen VR hier nicht zu kurz kommen möchte ich noch kurz einwerfen, dass die stetigen Funktionen $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ein unendlich dimensionaler $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ Vektorraum sind =)

10.10.2009, 22:46

outSchool

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Zitat:

Original von smiiile
...

Zitat:

einen ganz wichtigen hast du vergessen, Vektorraum aller mxn Matrizen

Zum Beweis benutze die Matrizen

$\begin{eqnarray*} \mathbf{A} = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{array} \right) \in M_{mn} (\mathbb K) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \mathbf{B} = \left( \begin{array}{ccc} b_{11} & \ldots & b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & \ldots & b_{mn} \end{array} \right) \in M_{mn} (\mathbb K) \end{eqnarray*}$

Beweise dann die Vektorraumaxiome zur Vektoraddition und Skalarmultiplikation, also

$\begin{eqnarray*} \text{(a) Es gilt } \mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{B} + \mathbf{A} \text{ für alle } \mathbf{A}, \mathbf{B} \in M_{mn} (\mathbb K) \end{eqnarray*}$

usw.

Das neutrale Element ist die Nullmatrix

$\begin{eqnarray*} \mathbf{N} = \left( \begin{array}{ccc} 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & 0 \end{array} \right) \in M_{mn} (\mathbb K) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von smiiile
...

Zitat:

Wie kommt man den auf diesen Vektorraum? Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2= \{0,1\} \end{eqnarray*}$ der kleinste Körper ist, in dem z.B. 1+1=2=0 ist.

Es gilt 1+1=0. 2 ist nicht Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ .
Der Nachweis geht analog (s.o.).

10.10.2009, 23:03

smiiile

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ja, ok. Vielen Dank smile

Mir ist jetzt klar, wie der Beweis für die Matrizen abläuft.. werde ihn mal probieren.
Man addiert ja zwei Matrizen, in dem man die jeweiligen Einträge addiert, diese kann man auch umdrehen und so ergibt sich z.B. Kommutativität.

$\begin{eqnarray*} A + B = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{array} \right)+ \left( \begin{array}{ccc} b_{11} & \ldots & b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & \ldots & b_{mn} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc}a_{11}+ b_{11} & \ldots & a_{1n}+b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m1}+ b_{m1} & \ldots &a_{mn}+ b_{mn} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} b_{11}+a_{11} & \ldots & b_{1n}+a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1}+a_{m1} & \ldots & b_{mn}+a_{mn} \end{array} \right)=B+A \end{eqnarray*}$

Die anderen Eigenschaften muss man dann auf die gleiche Weise explizit beweisen.

Also bilden alle mxn Matrizen zusammen einen Vektorraum. Man muss nicht - wie ich zuerst dachte - das ganze für jedes einzelne m und n z.B. für m=13 und n=5 nachprüfen. Sondern der Vektorraum fasst alle zusammen.
Ist auch viel sinnvoller es einmal für alle zu beweisen, sonst würde man bei abzählbar unendlich vielen natürlichen Zahlen wohl nie zum Ende kommen.

Zitat:

Es gilt 1+1=0. 2 ist nicht Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ .

Ja, da hast du recht Augenzwinkern

Die zwei stand da noch so aus Gewohnheit...

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