projektive Basis n+1 oder n+2 Elemente? und Fernpunkt eindeutig? |
| 10.10.2009, 02:04 | smiiile | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| projektive Basis n+1 oder n+2 Elemente? und Fernpunkt eindeutig? Ich war bis jetzt der Meinung, dass ich im Projektiven für die Basis n+1 Elemente brauche. Habe jetzt aber auch gehört, dass man dafür n+2 Elemente benötigt. Was stimmt denn nun? Ich habe bei den homogenen Koordinaten ja auch eine mehr als normal. Und dann teile ich durch eine der homogenen Koordinaten um festzustellen, ob der Punkt ein Fernpunkt ist. Da habe ich auch noch eine Frage dazu. Angenommen ich habe (0, 2 ,5) dann ergibt sich ja, dass dieser Punkt ein Fernpunkt ist (da die erste Koordinate =0 ist) Wenn ich den Punkt aber umschreibe zu (2,5,0) was ja immer noch der gleiche Punkt sein sollte, habe ich plötzlich keinen Fernpunkt mehr. Kann ich mir also aussuchen, ob mein betrachteter Punkt ein Fernpunkt sein soll? Gruß, smiiile |
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| 10.10.2009, 11:38 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es kommt beim Übergang von der affinen zur projektiven Geometrie genau eine Koordinate neu dazu, und das ist üblicherweise die letzte, nicht wie bei dir die erste. (2,5,0) ist ein Fernpunkt (so wie jeder projektive Punkt mit letzter koordinate 0, d.h., es gibt unendlich viele davon, die zusammen die sog. Ferngerade bilden), aber (0,2,5) ist keiner. Warum soll übrigens (0,2,5) mit (2,5,0) ident sein??? 
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| 10.10.2009, 15:52 | smiiile | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok, dann wären also nach deiner Aussage z.B. (3,5,0) und (2,13,0) Fernpunkte, weil die letzte Koordinate = 0 ist. Kann es sein, dass das von der Konvention abhängt, ob durch die erste oder letzte Koordinate geteilt wird? Wir hatten das so eingeführt, dass durch die erste geteilt wird.
Das weiß ich auch nicht so genau. Allerdings hieß es bei uns, dass man sich das aussuchen könnte, ob man einen Punkt als Fernpunkt ansieht oder nicht. Also dass es allgemein egal ist, durch welche Koordinate man teilt. (wenn ich das richtig verstanden habe) Denn wenn man keinen Fernpunkt möchte, teilt man einfach durch eine Koordinate, die nicht 0 ist. Ich fand das auch etwas seltsam, aber ist ja schließlich projektive Geometrie und da passieren so allerhand seltsame Sachen 
Um jetzt zur Ferngeraden zu kommen. Das ist dann die Menge aller Fernpunkte, also die Menge aller Punkte die (wenn wir das mal so annehmen) als letzte Koordinate eine 0 haben. Es haben außerdem alle parallelen Geraden den gleichen Fernpunkt. Das heißt, alle Geraden schneiden sich. (nicht parallele sowieso) und parallele dann im Unendlichen in ihrem Fernpunkt. Wenn ich mir das so überlege, müsste aber die Ferngerade doch wie eine Kreisbahn im Unendlichen aussehen, oder? Ich habe hier mal eine Skizze angehängt: [attach]11432[/attach] Also zwei oder mehr parallele Geraden schneiden sich in ihrem Fernpunkt (der natürlich immer im Unendlichen also ganz weit rechts bzw. links liegen soll ) .Eigentlich sogar in zwei Fernpunkten (einer rechs, einer links) die man aber dann einfach als einen definiert. Kann man sich die Ferngerade dann wie eine Kreisbahn vorstellen? Sie ist ja die "Gerade" auf der alle Fernpunkte liegen. Also bleibt ihr eigentlich gar nichts anderes übrig. Und wie ist das dann mit der Basis? Wenn genau eine Koordinate neu dazukommt, dann müsste doch die Basis n+1 Elemente haben, oder? |
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| 10.10.2009, 20:14 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Natürlich könnte die neu dazukommende Koordinate beim Übergang zur projektiven Geometrie im Prinzip an irgendeiner Stelle stehen, also meinetwegen auch an der ersten, wenn euer Professor das partout so will,wenngleich das für mich jetzt sehr ungewohnt ist... Nur sollte man bei dieser Wahl dann auch bleiben und nicht zwischendurch einen "fliegenden Wechsel" vornehmen, das ist mit Sicherheit nicht erlaubt... Legen wir uns also im folgenden auf die erste Koordinate fest, um dich nicht vollends zu verwirren, und weiters auf den Fall n=2. Des weiteren werde ich affine Koordinaten im folgenden mit Kleinbuchstaben, also y,z, projektive Koordinaten mit Großbuchstaben, also X,Y,Z bezeichnen. Der Übergang von affinen Koorodinaten zu projektiven erfolgt dann durch die Zuordnung und in umgekehrter Richtung durch Bei dieser Zuordnung sind die Fernpunkte noch nicht erfaßt, so dass es einer diesbezüglichen Ergänzung bedarf. Die Gleichung X=0, welche die Fernpunkte kennzeichnet, ist die Gleichung einer Geraden, eben der Ferngeraden, die man aus dem allgemeinen Fall einer Geradengleichung in der projektiven Ebene, nämlich erhält, indem man setzt. Jede Gerade AX +BY +CZ =0 (sowie alle Parallelen dazu mit gleichem B,C, aber eventuell verschiedenem A) schneidet dann die Ferngerade in dem eindeutig bestimmten Fernpunkt (0,-C,B). Man kann damit sagen, dass es auf jeder Geraden durch den Ursprung in der affinen y-z-Ebene einen "unendlich fernen Punkt" gibt, der in genau einem Fernpunkt der projektiven Ebene seine Entsprechung hat. Ich seh also weit und breit nichts von so einem Ding wie einen "Fernkreis", der dir irgendwie vorzuschweben scheint... |
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| 12.10.2009, 14:44 | smiiile | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort 
Ich komme aber immer noch nicht von meinem Fernkreis weg 
Tut mir leid... Ich versuchs nochmals zu erklären. Also die Ferngerade (bzw. Fernkreis
) ist ja die Gerade, die durch alle Fernpunkte geht.Und ich habe in meinem Bild ja verschiedene Paare von parallelen Geraden eingezeichnet. Die parallelen Geraden schneiden sich jeweils im Fernpunkt. So erhalte ich aber wenn ich z.B. drei verschiedene Geradenpaare haben auch drei verschiedene Fernpunkte. (jeweils (0,-C, B) wie du geschreiben hast). Die -C und B variieren aber doch, da ich ja verschiedenen Geraden habe. ( im Bild: grün, rot, schwarz). Und wenn die Ferngerade durch alle Fernpunkte geht, muss sie doch kreis- oder ellipsenförmig sein, oder? Also tut mir leid, dass ich das noch nicht ganz verstanden habe, aber ich krieg das noch nicht aus meinen Vorstellungen raus. Vielleicht kannst du mir nochmals helfen? Wäre echt super... Und um nochmals auf die Basis zurückzukommen. Da weiß ich auch immer noch nicht, wie viele Basiselemente ein projektive Basis hat. Es kommt ja von der "normalen Vorstellung"(wie nennt man denn das richtig? ) zum Affinen ein Basisvekor dazu und vom Affinen ins Projektiven nochmals einer. Dann wären es n+2 Basiselemente im Projektiven. Stimmt das? |
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| 14.10.2009, 09:40 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Noch einmal: Die Ferngerade hat die Gleichung X=0 und daher liegen auch alle Punkte (0,-C,B) drauf, egal wie ich B und C auch wähle, da eben für sie die erste Koordinate 0 ist!! Ferner ist X=0 tatsächlich eine Gerade, denn man kann das ja auch schreiben als 1X+0Y+0Z=0,d.h., es ordnet sich dem allgemeinen Fall einer Geradengleichung in der projektiven Ebene, nämlich AX+BY+CZ=0, unter.
Projektive Basen haben n+2 Elemente, aber das hängt damit zusammen, dass sie etwas anders definiert sind als Basen im affinen Raum. Es geht dabei um die Frage, wieviel Punktepaare , i=1,..,m, brauche ich, um eine lineare Abbildung A, für welche gilt sie dann dadurch bis auf eventuell eine reelle Konstante d ungleich 0 festzulegen (d.h. A und dA werden in diesem Zusammenhang als gleich angesehen). Klarerweise muss m>=n+1 sein, denn ich hab ja n+1 Koordinaten im projektiven Raum. Aber m=n+1 reicht leider noch nicht aus, man muss noch einen weiteren Punkt dazunehmen, um die Eindeutigkeit von A in obigem Sinne zu erzwingen. |
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