Lineare Unabhängigkeit von Vektoren

10.10.2009, 17:17	wergor	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit von Vektoren hallo, folgende aufgabenstellung: für welche reelen werte von $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ sind die vektoren $\begin{eqnarray} \vec{v_1} = (1, 2, 1),\vec{v_2} = (\beta, 1, -1), \vec{v_3} = (1, \beta, 1) \end{eqnarray}$ linear unabhängig? ich hab das mal angeschrieben als 1) $\begin{eqnarray} \lambda_1 +\beta\lambda_2 +\lambda_2 = 0 \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} 2\lambda_1 + \lambda_2 + \beta\lambda_3 = 0 \end{eqnarray}$ 3) $\begin{eqnarray} \lambda_1 - \lambda_2 + \lambda_3 = 0 \end{eqnarray}$ jetzt habe ich da eine gleichung mit 3 gleichungen und 4 unbekannten. wie löse ich das am besten?, ich habe es auch schon auf eine etwas andere weise versucht, nämlich in der schreibweise $\begin{eqnarray} \vec{x} = \lambda_1\vec{y} + \lambda_2\vec{z} \end{eqnarray}$ und so durch variablendurcheinanderausdrückung $\begin{eqnarray} \beta = -1 \end{eqnarray}$ herausbekommen, wie komme ich auf die restlichen lösungen, stimmt diese lösung überhaupt? mfg
10.10.2009, 18:15	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
An deiner Ausdrucksweise solltest du noch etwas arbeiten ... Du solltest auch die Definition der linearen Un-/Abhängigkeit von Vektoren genau kennen. Ein Lösungsweg besteht in der Erstellung einer Determinante mittels der drei (Spalten)vektoren. Wenn diese Determinante den Wert 0 annimmt, besteht lineare Abhängigkeit, andernfalls ... Auch der von dir versuchte Ansatz ist möglich. Dazu muss das Gleichungssystem nach den drei lambda's aufgelöst und jener Fall untersucht werden, in welchem nur die triviale Lösung existiert. Dies liefert dann den möglichen Wertebereich für $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ . ------------------------------- Am einfachsten und schnellsten ist m. E. jedoch der Weg über die Determinante. Damit untersuchen wir zunächst auf lineare Abhängigkeit; und dafür ist eine Lösung $\begin{eqnarray} \beta_1 = -1 \end{eqnarray}$ . Es existiert allerdings noch eine zweite. Wenn du die Determinante noch etwas umformst, erblickst du die beiden Lösungen als Linearfaktoren. Hinweis (nochmals): Bei $\begin{eqnarray} \beta = -1 \end{eqnarray}$ liegt nicht lineare Unabhängigkeit vor ( sondern?) ___________________ [-> reell] mY+
11.10.2009, 14:51	wergor	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für die antwort! was lineare unabhängikeit bedeutet weis ich, aber den trick mit der matrix kannte ich noch nicht (kommt in unserem skriptum nicht vor). liege ich mit $\begin{eqnarray} \beta = 2 \end{eqnarray}$ als zweite lösung richtig? (sry wegen dem ersten post, hätte ihn mir nochmal durchlesen sollen) dann hätte ich da noch eine frage: das nächste beispiel lautet: für welche $\begin{eqnarray} \alpha, \beta \end{eqnarray}$ aus R sind die vektoren $\begin{eqnarray} \vec{x} = (\alpha, 0, 2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{y} = (1, \beta, 0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{z} = (0, \alpha, 1) \end{eqnarray}$ linear abhängig? ich habe das wieder mit der matrix gemacht, und komme nach entwicklung nach der 3. zeile auf die gleichung $\begin{eqnarray} \alpha (\beta + 2) \end{eqnarray}$ diese null setzen und die ergebnisse sind dann $\begin{eqnarray} \beta = -2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha = 0 \end{eqnarray*}$ stimmen diese ergebnisse?
11.10.2009, 17:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Matrix ist (nach Gauß) singulär genau für $\begin{eqnarray} \alpha=0 \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} \beta=-2 \end{eqnarray}$ .
11.10.2009, 18:07	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Aufgabe ist aber noch immer nicht richtig beantwortet! Falls du (die Postings) genau liest, wirst du merken, warum. Hinweis: Die Vektoren sollen lt. Aufgabenstellung linear unabhängig sein! mY+
11.10.2009, 18:15	wergor	Auf diesen Beitrag antworten »
ja richtig, die vektoren sind natürlich für $\begin{eqnarray} \beta \neq -1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta \neq 2 \end{eqnarray}$ linear unabhängig.
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