Punktewerte Differenzieren

10.10.2009, 17:31

tegg

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Punktewerte Differenzieren

ich müsste aus einer gegebenen Höhe nach x ableiten, sowie den punktuellen gemessenen druck 2mal nach x

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial h}{\partial x} \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} \end{eqnarray*}$

ich hab jedoch nur feste werte der höhen und drücke...wie differenziere ich da richtig ? Ich wäre jetzt einfach nach der Definition der Steigungn vorgegangen, mit $\begin{eqnarray*} \frac{h_2 - h_1}{x_2-x_1} \end{eqnarray*}$

oder mache ich mir das hiermit zu einfach ?

10.10.2009, 18:02

tigerbine

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Rückfrage.
Das ist jetzt hier mehr eine Rückfrage, als eine Hilfe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Verstehe ich es richtig, dass du nur Wertepaare (x,h), (x,p) hast, ohne die Funktionen h und p explizit zu kennen? Kann man den Datensatz beliebig erweitern, oder ist der fest vorgegeben?

1. Variante: Ist irgendwas über den allgemeinen Funktionstyp bekannt von h und p? Kann man h und p ggf. sinnvoll approximieren und diese Näherungsfunktionen dann ableiten?

2. Variante: Greift im Grunde deine Idee auf. Differenzenverfahren, Differenzenquotient

10.10.2009, 18:38

tegg

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ich hab ein gemessenes Höhenprofil einer oberfläche, drücke genauso. Approximation somit unmöglich. Einfach eine Zickzackprofil, immer wieder anders.

10.10.2009, 19:13

tigerbine

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dann würde ich zu variante 2 raten.

10.10.2009, 20:24

tegg

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für Differenzverfahren und Differenzquotient brauch ich ja auch ne Funktion, oder ?

10.10.2009, 20:28

tigerbine

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Nein. Du brauchst nur die Funktionswerte. Mit dem Quotienten approximierst du ja dann die Ableitung.

edit: Das Problem ist dann eher, wenn deine x-Werte sehr weit auseinander liegen die Ungenauigkeit, mit der du die Ableitungen berechnen kannst.

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10.10.2009, 20:41

tegg

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achso, ja, das hab ich ja schon mit meiner "Höhenformel" dargestellt, da ich ja keinen limes bilden kann. Für die 2. Ableitung dann eine Taylorreiheentwicklung nehmen, wie im paper

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial p^2}{\partial^2 x}=\frac{p_{i+1}-2p_i + p_{i-1}}{p_i^2} \end{eqnarray*}$

10.10.2009, 20:50

tigerbine

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Mit Paper meinst du das verlinkte PDF? Beachte, dass dort h im Nenner steht, und dass dort ein gleichförmiges Gitter verwendet wurde. Grob: Oben stehen Funktionswerte, unten der Abstand der x-Werte".

Es kommt dann auch noch an, Für welchen Differenzenquotient du dich entscheidest. Grob gesagt, wenn die x-Werte 1,2, 20 lauten, kommt der Zentrale DQ ja schon nicht in Frage.

Ferner fehlt so in der Darstellung der Fehlerterm, der Differenzenquotient ist nur eine Approximation. Würde das durch $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ kennzeichnen. Ebenso verwirrt das i auf der rechten Seite, da du links keinen Punkt vorgibst, in dem du die Ableitung auswerten willst.

10.10.2009, 22:16

tegg

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ich habs jetzt nur überflogen...fehlerquotienten brauche ich nicht, da ich sowieso sehr viele Fehlerquellen habe und das ganze auch nur eine Annäherung wird, ist das zu verkraften.
als Werte habe ich z.B.

code:

1:
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4:
5:
6:
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9:
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18:
19:
20:
21:
22:

  1.0000000e+000  5.8856908e-001
  2.0000000e+000 -3.7756992e-001
  3.0000000e+000  5.7066271e-002
  4.0000000e+000 -6.6870254e-001
  5.0000000e+000  2.0396388e-001
  6.0000000e+000 -4.7405743e-001
  7.0000000e+000  3.0815820e-001
  8.0000000e+000  3.7842901e-001
  9.0000000e+000  4.9630319e-001
  1.0000000e+001 -9.8916803e-002
  1.1000000e+001 -8.3235724e-001
  1.2000000e+001 -5.4204606e-001
  1.3000000e+001  8.2667472e-001
  1.4000000e+001 -6.9524396e-001
  1.5000000e+001  6.5163395e-001
  1.6000000e+001  7.6684871e-002
  1.7000000e+001  9.9226943e-001
  1.8000000e+001 -8.4364894e-001
  1.9000000e+001 -1.1464346e-001
  2.0000000e+001 -7.8669446e-001

10.10.2009, 23:23

tigerbine

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? Fehlerquotienten? Ich wollte nur sagen, dass deine Formel so inkorrekt ist.

Zu deinen Werten. Die sind Äquidistant, d.h. für innere Punkte könntest du auch den zentralen Differenzenquotienten nehmen. Da wir am Abstand wohl nicht drehen können, fallen imho die theoretischen Argumente für die eine oder andere Wahl weg (kein Grenzübergang). Ich würde mir die Wertetabelle mal plotten lassen und mich aufgrund ihres Verlaufs entscheiden.

Mal ein Extrembeispiel:

Wenn meine 9 Messpunkte dort nun äquidistant liegen, dann treffe ich die Steigung in einem Maximum besser, wenn ich den zentralen Quotienten nehme, als links oder Rechtsseitig.

Für Punkte nahe bei 0 ist hier vielleicht eine Linksseitige Bestimmung besser als eine rechtsseitige.

Da aber alle Varianten imho keinen hohen Programmieraufwand darstellen, könnte man auch mehrere Varianten programmieren und schauen, welches Richtungsfeld am "besten" passt.

11.10.2009, 19:37

tegg

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ich hab mal im Anhang 100 werte in matlab geplotet. Problem für das C-Programm, die Messwerte sind immer anders

11.10.2009, 19:46

tigerbine

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Zitat:

Original von tegg
ich hab mal im Anhang 100 werte in matlab geplotet. Problem für das C-Programm, die Messwerte sind immer anders

Wie meinst du das?

11.10.2009, 20:20

tegg

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ich versuche ein Problem numerisch zu lösen, und die Eingabe sind gemessene Oberflächen, die immer anders sind, je nach Beschaffenheit. Da ich sowieso statistische Mittel zur Berechnung anwende, da deterministisch unmöglich zeitnah lösbar wäre, sind die Genauigkeiten nicht so wichtig....

Was wäre für allgemeinen Fall denn jetzt am besten ?

11.10.2009, 20:50

tigerbine

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Am besten kann man ja nur wirklich sagen, wenn man kennen würde, was man nicht kennt: Die Funktion.

Ich stelle dir mal ein PDF (Seite 21ff) rein, das erklärt nochmal das mit den Differenzen. Bei dir ist h eben fix vorgegeben durch den Abstand deiner Meßpunkte. Danach richtet sich die Fehlergröße.

Seite 23 findest du dann auch die schon angesprochenen Formeln. Programmier sie einfach für deine Daten.

21.10.2009, 20:42

tegg

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Wie berechne ich eigentlich das $\begin{eqnarray*} p_{i} \end{eqnarray*}$ ohne das $\begin{eqnarray*} p_{i+1} \end{eqnarray*}$ ?

GSL Bibliothek für C besitzt auch nur Vorwärts, Rückwärts und Zentrale Differentation, wobei eine Funktion angegeben werden muss....

als auseinandergeschrieben Funktion hätte ich dann $\begin{eqnarray*} h(x) \longrightarrow p(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} h_{i-1} h_i h_{i+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_{i-1} p_i p_{i+1} \end{eqnarray*}$ in einer großen Gleichung.... Wie berechne ich jetzt $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ ?

21.10.2009, 23:49

tigerbine

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Verstehe deine Frage absolut nicht, die p's hast du doch. Das sind deine Messwerte. Du wolltest doch die Ableitungen, siehe oben.

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial p^2}{\partial^2 x}=\frac{p_{i+1}-2p_i + p_{i-1}}{p_i^2} \end{eqnarray*}$

22.10.2009, 13:27

tegg

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ich muss jetzt zu den messwerten h(x) ein jeweiliges p(x) berechnen. Jedoch ist die Beziehung derbeiden jeweils über die Abbleitungen von diesen zueinander

im Moment bin ich bei

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{A^2} \left(p_{i-1} ( \frac{h_{si-1}}{h_0})^\frac{3}{2} - 2 p_i (\frac{h_{si}}{h_0})^\frac{3}{2} + p_{i+1} (\frac{h_{si+1}}{h_0})^\frac{3}{2} \right) = D + \frac {3}{2} p_i (\frac{h_{si}}{h_0})^\frac{3}{2} \cdot B \cdot C \end{eqnarray*}$

D, B, C sind nur von h abhängig, also lösbar, da ich die werte habe.

Meine Idee war jetzt auf $\begin{eqnarray*} p_i = ... \end{eqnarray*}$ umzuformen, mit $\begin{eqnarray*} p_{i+1}=0 \end{eqnarray*}$ zu starten und die Rechnung so oft durchzuführen, bis die Differenz von $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ Rechenschritt x und $\begin{eqnarray*} p_i = ... \end{eqnarray*}$ Rechenschritt x-1 sehr gering ist $\begin{eqnarray*} e^-4 \end{eqnarray*}$ oder so.....

22.10.2009, 17:57

tegg

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$\begin{eqnarray*} <br /> p_{i}= \frac {\left( -2\, \left( D \right) {A}^{2}+2\,p_{{i-1}} \left( {\frac {h_{{{\it si}-1}}}{h_{{0}}}} \right) ^{3/2}+2\,p_{{i+1}} \left( {\frac {h_{{{\it si}+1}}}{h_{{0}}}} \right) ^{3/2} \right) }{\left( 4\, \left( {\frac {h_{{{\it si}}}}{h_{{0}}}} \right) ^{3/2}+3\, \left( {\frac {h_{{{\it si}}}}{h_{{0}}}} \right) ^{3/2}BC{A}^{2} \right)}<br /> \end{eqnarray*}$

also funktioniert nicht so gut mit wiederaufruf....

code:

1:
2:
3:
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10:
11:
12:
13:
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16:

           |   Druck 1  |    Druck 2 |   Druck 3  |   Druck 4  |  Druck 5   |
Schritt  0 |    0.05490 |    0.53209 |    0.03447 |   -0.30811 |   -0.12074 |
Schritt  1 |    0.34701 |    0.81645 |   -0.32195 |   -0.39501 |    0.95431 |
Schritt  2 |    0.50311 |    0.96306 |   -0.35116 |    0.29630 |   -5.08835 |
Schritt  3 |    0.58360 |    1.04085 |    1.21728 |   -3.55327 |   27.44593 |
Schritt  4 |    0.62631 |    1.10477 |   -6.98270 |   17.17947 | -148.18769 |
Schritt  5 |    0.66139 |    1.02168 |   37.46067 |  -94.74001 |  798.89916 |
Schritt  6 |    0.61578 |    1.61249 | -202.30061 |  508.77199 | -4308.74357 |
Schritt  7 |    0.94012 |   -1.49871 | 1090.66265 | -2745.97215 | 23236.59607 |
Schritt  8 |   -0.76787 |   15.31903 | -5882.25475 | 14806.74954 | -125314.51161 |
Schritt  9 |    8.46475 |  -75.35776 | 31722.46797 | -79854.49906 | 675816.71755 |
Schritt 10 |  -41.31506 |  413.67038 | -171078.54817 | 430650.49601 | -3644657.56959 |
Schritt 11 |  227.15200 | -2223.63607 | 922620.65729 | -2322486.09885 | 19655517.77027 |
Schritt 12 | -1220.67862 | 11999.27415 | -4975663.06871 | 12525088.75833 | -106001559.31745 |
Schritt 13 | 6587.42607 | -64704.40948 | 26833586.54160 | -67547392.72165 | 571662912.91123 |
Schritt 14 | -35521.42387 | 348956.02779 | -144712647.42530 | 364280858.89665 | -3082959234.48823 |

23.10.2009, 11:52

tigerbine

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Zitat:

ich muss jetzt zu den messwerten h(x) ein jeweiliges p(x) berechnen. Jedoch ist die Beziehung derbeiden jeweils über die Abbleitungen von diesen zueinander

Wie lautet das denn korrekt theoretisch? Am Anfang hattest du gefragt, wie du aus bekannten Funktionswerten p(x) die weite Ableitung berechnen kannst. Nun willst du p(x) berechnen? Bitte stell einmal die wirkliche Fragestellung ein.

23.10.2009, 19:03

tegg

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es sind 2 berechnungen, einmal "einfach" nur die ableitung bestimmen, das zweite ist jedoch die Berechnug von p aus den h werten, also ich habe x und h(x) Werte und brauche dazu die p(x) Werte.

p und h hängen über Differnzialgleichung zusammen mit 2. Ableitung, umgerechnet hängen sie über die gezeigten Formeln zusammen, jedoch gibt das ein Problem mit dem p_i+1 Wert......

23.10.2009, 19:26

tigerbine

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Könnten wir die Differentialgleichung denn einmal sehen? Für deren numerische Lösung gibt es ja auch Verfahren. Dennoch verstehe ich es immer noch nicht, warum die p plötzlich fehlen.

Zitat:

ich müsste aus einer gegebenen Höhe nach x ableiten, sowie den punktuellen gemessenen druck 2mal nach x

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial h}{\partial x} \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} \end{eqnarray*}$

ich hab jedoch nur feste werte der höhen und drücke

Das heißt für mich: Es ist ein Datensatz h(x) und p(x) vorhanden, x sind die "Gitterpunkte". Was möchtest du denn am Ende aus diesen Datenpaaren berechnen. Wie man damit Ableitungen berechnet, haben wir bereits gezeigt. Willst du nun p z.B. an einer Stelle, die kein Gitterpunkt ist, auswerten?

23.10.2009, 20:21

system-agent

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Das Hauptproblem warum dir niemand helfen kann ist, dass vollkommen unklar ist WAS du machen willst. Nochmal soweit es [mir] klar ist.
Du hast Messwerte von einer Drücken $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ in einer gewissen Höhe $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ .
Nun was ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

Du willst also einmal die Funktion $\begin{eqnarray*} h(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ finden, welche die Höhe bzw Druck in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ angibt, was $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auch immer sein mag.

Hast du aber Messwerte von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ zu verschiedenen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , dann wäre das ein Interpolationsproblem, keines mit einer DGL [die gemessenen Werte liegen ja auf der gesuchten Kurve].

Hast du dagegen wirklich eine DGL
$\begin{eqnarray*} \frac{\dd ^2p}{\dd x^2}=f(p,x) \end{eqnarray*}$
gegeben, musst du uns noch die rechte Seite verraten und dann kann man diese numerisch lösen und du kannst vergleichen wie genau die theoretische Kurve zu $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ die Messwerte trifft.

24.10.2009, 13:36

tegg

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Ich habe den Ort der Höhe x, ich habe die Höhe selbst h(x). Zujedem h(x) gibt es ein p(x), dass über

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 \phi}{\partial X^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial Z^2} - \frac{3}{2} \frac{\phi}{H^{\frac{3}{2}}} \cdot \left( \frac{1}{2} H^{\frac{1}{2}} + H^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \left( \frac{\partial^2 H}{\partial X^2} \cdot \frac{\partial^2 H}{\partial Z^2} \right) = \frac{\overline{\eta}}{H^{\frac{3}{2}}} \frac{\partial H}{\partial X} \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} \phi=P \cdot H^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} X=\frac{x}{r}, Z=\frac{z}{r}, H=\frac{h}{h_0}, \overline{\eta}=\frac{\eta}{\eta_0}, P=\frac{h_0^2 p}{6 \eta_0 (u_1+u_2) r} \end{eqnarray*}$

zusammenhängt...

25.10.2009, 00:23

tegg

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das ergibt sich doch dann zu einem Gleichungssystem von x Gleichungen zu x unbekannten... oder ?

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