Dimension: Untervektorräume: Unterschied Schnitt, Vereinigung, Addition

10.10.2009, 23:17

smiiile

Dimension: Untervektorräume: Unterschied Schnitt, Vereinigung, Addition

Hallo,
bei Untervektorräumen verstehe ich noch nicht so ganz, wofür man die Addition benötigt.

Wie haben z.B. für die Additivität der Dimension aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} dim(U_1+U_2)+dim(U_1 \cap U_2) = dim U_1 + dim U_2 \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass der Schnitt zweier Mengen die Elemente sind, die in beiden Mengen liegen
Und dass die Vereinigeung zweier Mengen die Elemente sind, die entweder in der einen Menge oder in der anderen oder in beiden liegen.

Allerdings bringe ich in meiner Vorstellung die Addition gar nicht in dieses Schema.

Für was benötigt man denn die Addition? Für was steht sie? Und wie kann ich die obige Gleichung verstehen?

Bin für alle Tipps dankbar.

Gruß,
smiiile

10.10.2009, 23:21

kiste

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$\begin{eqnarray*} U_1+U_2 := \{u_1+u_2 \mid u_1\in U_1, u_2\in U_2\} \end{eqnarray*}$ bildet einen Untervektorraum für Untervektorräume $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ . Man nennt das die Summe der Unterräume.

11.10.2009, 00:07

smiiile

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ok, jetzt habe ich zumindest einmal die Definition smile

Danke

Kann ich mir die Summe auch anschaulich vorstellen?
Ich habe einmal Schnitt und Vereinigung skizzenhaft dargestellt.
[attach]11445[/attach]

Gibt es auch so eine anschauliche Skizze für die Summe?

Man kann sich ja gut vorstellen, dass die Dimension des Schnitts zweier Unterräume kleiner oder gleich der Dimension des kleineren ist.
Die Dimension der Vereinigung müsste ja größer oder gleich der des größeren sein.

Aber wie kann ich mir die Dimension einer solchen Summe von Unterräumen vorstellen?

Zitat:

(...)bildet einen Untervektorraum für Untervektorräume $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ . Man nennt das die Summe der Unterräume.

noch eine kurze Frage: Unterraum und Untervektorraum sind das selbe, oder?

11.10.2009, 02:33

kiste

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Zunächst einmal werde dir bewusst darüber dass Vereinigung keinen Untervektorraum liefert!

Die Interpretation der Summe ist einfach: Das ist der kleinste Unterraum der U_1 und U_2 enthält.

Ja Unterraum = Untervektorraum.

11.10.2009, 14:03

smiiile

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Zitat:

Die Interpretation der Summe ist einfach: Das ist der kleinste Unterraum der U_1 und U_2 enthält.

oh super

eine anschauliche Erklärung freut mich immer.
Dann enthält dieser UVR U_1 + U_2 auf jeden Fall die Vereinigung von U_1 und U_2 und evt noch mehr Elemente...

Zitat:

Zunächst einmal werde dir bewusst darüber dass Vereinigung keinen Untervektorraum liefert!

Die Vereinigung liefert keinen Unterraum? Aber warum denn nicht? Sie enthält ja schließlich alle Elemente, die entweder in U_1 oder U_2 sind. Also enthält sie auf jeden Fall den Nullvektor bzw. das Nullelement. Dies ist ja die erste Bedingung für einen Untervektorraum
2. Bedingung: Abgeschlossenheit bzgl der Addition
3. Bedingung: Abgeschlossenheit bzgl der Multiplikation mit einem Skalar.

Die 2. und 3. Bedingung müssten doch auch erfüllt sein, da sie für jeden einzelnen Vektorraum U_1 und U_2 davor schon erfüllt waren.

Oder ist es irgendwie möglich, dass ich wenn ein Element aus U_1 mit einem Element aus U_2 addiere, aus diesem UVR herauskomme?

Ah, ich bin mir nicht sicher, ob es so stimmt, aber ich habe mal eine Skizze gemalt, wie ich es jetzt verstanden habe:

[attach]11448[/attach]

Wenn ich ein Element a aus U_1 mit einem Element b aus U_2 addiere, kann es sein, dass ich außerhalb von beiden UVR lande. Deshalb ist $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$ kein UVR. Ich lande aber wohl in U_1 + U_2. für alle a,b. Also ist U_1 + U_2 der kleinste UVR der U_1 und U_2 enthält.

Dann enthält U_1 + U_2 sowohl die Vereinigung der beiden UVR als auch noch einige Elemente mehr.

Für den Durchschnitt muss dann aber gelten, wenn ich zwei Elemente (hier c und d) aus dem Durchschnitt addiere, ist auch das Ergebnis im Durchschnitt.

Stimmt das jetzt so?

Ich habe aber (falls das so stimmt) immer noch nicht verstanden, warum das so ist.. also warum, der Schnitt z.B. ein UVR ist. Bei ihm könnte ich doch auch außerhalt des Schnitts landen, wenn ich zwei Elemente addiere, oder?

11.10.2009, 14:11

kiste

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Sind $\begin{eqnarray*} v,w \in U_1\cap U_2 \end{eqnarray*}$ so sind insbesondere $\begin{eqnarray*} v,w \in U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v,w\in U_2 \end{eqnarray*}$ . Damit gilt $\begin{eqnarray*} v+w\in U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v+w\in U_2 \end{eqnarray*}$ . Also ist auch die Summe von v und w wieder im Schnitt. Analog kann man es für die Skalarmult. zeigen. Deswegen ist der Schnitt ein UVR.

Allgemein gilt: $\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 \end{eqnarray*}$ ist ein Unterraum genau dann wenn $\begin{eqnarray*} U_1\subset U_2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} U_2 \subset U_1 \end{eqnarray*}$ .
Ein Beispiel wann es nicht klappt:
Wir nehmen die Unterräume $\begin{eqnarray*} U_1 = \langle \begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix}\rangle \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 = \langle \begin{pmatrix} 0\\1\end{pmatrix}\rangle \end{eqnarray*}$ als Unterräume von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Es ist aber $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \not \in U_1 \cup U_2 \end{eqnarray*}$

Du hast aber richtig erkannt dass $\begin{eqnarray*} U_1\cup U_2 \subset U_1+U_2 \end{eqnarray*}$

11.10.2009, 14:31

smiiile

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Zitat:

ok, verstanden smile

Zitat:

Allgemein gilt: $\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 \end{eqnarray*}$ ist ein Unterraum genau dann wenn $\begin{eqnarray*} U_1\subset U_2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} U_2 \subset U_1 \end{eqnarray*}$ .

Ja, stimmt. Das ist auch anschaulich klar, weil dann die Vereinigung genau der größere von beiden ist. Und der erfüllt ja genau alle Bedingungen für einen UVR.

Zitat:

Du hast aber richtig erkannt dass $\begin{eqnarray*} U_1\cup U_2 \subset U_1+U_2 \end{eqnarray*}$

ok, super

Zitat:

Wir nehmen die Unterräume $\begin{eqnarray*} U_1 = \langle \begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix}\rangle \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 = \langle \begin{pmatrix} 0\\1\end{pmatrix}\rangle \end{eqnarray*}$ als Unterräume von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Es ist aber $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \not \in U_1 \cup U_2 \end{eqnarray*}$

Hier bin ich noch nicht ganz durchgestiegen...

Du meinst damit den Spann, oder? Also U_1 ist der Aufspann von dem Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Aufspann beschreibt ja gerade die Menge aller Linearkombinationen. Also sind in diesem Aufspann z.B. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 14 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,...
Im Aufspann von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sind dann analog z.B. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\25 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0\\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,... oder einfach $\begin{eqnarray*} \lambda * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es ist aber $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\not \in U_1 \cup U_2 \end{eqnarray*}$

Hier bin ich mir noch nicht ganz sicher, warum dieser Vektor nicht in der Vereinigung liegt.
Ist das der Fall, weil die Vereinigung alle Vektoren enthält, die entweder oben eine Zahl und unten 0 stehen haben oder oben 0 und unten eine Zahl. Die Vereinigung enthält aber keine Vektoren, die sowohl oben als auch unten im Vektor eine Zahl stehen haben?

11.10.2009, 14:35

kiste

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Alles richtig interpretiert. Freude

11.10.2009, 14:39

smiiile

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super

vielen vielen Dank für deine Mühe. Hat mir sehr geholfen...

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Dimension: Untervektorräume: Unterschied Schnitt, Vereinigung, Addition

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