Quotientenräume, Nebenklassen

11.10.2009, 00:39

Sonnenschein1

Quotientenräume, Nebenklassen

Hallo
Ich habe gerade das Thema der Quotientenräume durchgearbeitet und habe noch ein paar Fragen dazu. Die habe ich einmal dick markiert, dass man sie besser erkennt.

1. Sind Quotientenräume= Faktorräume?

Wenn ich den Quotientenraum V/U betrachte, dann ist ja U ein Untervektorraum von V.
Ich habe also verschiedene Äquivalenzklassen.
2. Habe ich dann so viele verschiedene Äquivalenzklassen, wie ich Elemente in U habe?

Bei V/U sind die Nebenklassen ja die Elemente von V/U also
[v]=v+U mit v aus V

das ist ja dasselbe wie V modulo U. Ich kann zu jedem Element aus V also einfach U dazu zählen und das Element bleibt in derselben Äquivalenzklasse.

Zweites Beispiel: Raum Z modulo p, also für alle n aus Z teilt p die Zahl n mit Rest bzw. ohne Rest.

Wenn ich jetzt p= 5 wähle, erhalte ich ja 5 Äquivalenzklassen

p teilt n ohne Rest
p teilt n mit Rest 1
p teilt n mit Rest 2
p teilt n mit Rest 3
p teilt n mit Rest 4

3.Wie kann ich in diesem Fall die Nebenklassen darstellen? Und habe ich dann weil ich 5 Äquivalenzklassen habe auch 5 Nebenklassen?

Ich hoffe, was ich geschrieben habe, stimmt sonst soweit...

Gruß,
Sonnenschein1

11.10.2009, 02:38

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

1. Ja
2. Nein eben nicht. Von "so viele" zu reden macht sowieso nicht viel Sinn da wir oft mit unendlich viel hantieren.
Aber es gilt die folgende Aussage:
$\begin{eqnarray*} \dim_K V/U = \dim_K V - \dim_K U \end{eqnarray*}$
Also "Je größer U, desto weniger Nebenklassen".

Jetzt springst du plötzlich von Faktorräumen in Vektorräumen zu Faktorgruppen bzw. Faktorringen(was genau du meinst ist nicht klar). Ist das Absicht? Oder betrachtest du $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/p\mathbb Z \end{eqnarray*}$ als Vektorraum über sich selbst? Dann ist das in dem Fall aber kein Faktorraum als Vektorraum ;-)

3. Ja die Äquivalenzklassen dort sind die Nebenklassen.

11.10.2009, 14:16

Sonnenschein1

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antworten smile

1. ist mir jetzt klar.

zu 2.

Zitat:

2. Nein eben nicht. Von "so viele" zu reden macht sowieso nicht viel Sinn da wir oft mit unendlich viel hantieren.
Aber es gilt die folgende Aussage:
$\begin{eqnarray*} \dim_K V/U = \dim_K V - \dim_K U \end{eqnarray*}$
Also "Je größer U, desto weniger Nebenklassen".

Jetzt springst du plötzlich von Faktorräumen in Vektorräumen zu Faktorgruppen bzw. Faktorringen(was genau du meinst ist nicht klar). Ist das Absicht? Oder betrachtest du $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/p\mathbb Z \end{eqnarray*}$ als Vektorraum über sich selbst? Dann ist das in dem Fall aber kein Faktorraum als Vektorraum ;-)

Nein, das ist leider keine Absicht. Sondern hängt damit zusammen, dass ich die Sache offensichtlich noch nicht so ganz verstanden habe und einiges durcheinanderwerfe.

Ich habe einfach versucht aufzuschreiben, wie ich es verstanden habe.
Also von Faktorgruppen und Faktorringen habe ich noch nichts gehört. Das war also nicht meine Absicht Augenzwinkern

Ok, ich probiers nochmals: Ich befinde mich in V/U.
Ist das dasselbe wie V modulo U? Und wie kann ich mir das vorstellen?

Ich kann dann für U wohl nicht einfach irgendeine Zahl wie z.B. 3 einsetzen (weil wir uns ja wie du erwähnt hast, nicht unbedingt mit endlich viel befassen) Denn dann könnte ich sagen V modulo U = V modulo 3 und dann kann ich einfach 3 dazuzählen oder wegnehmen und ich befinde mich in derselben Äquivalenzklasse bzw. Nebenklasse( von denen es dann ja 3 Stück geben würde).

zu 3. Kann ich die Äquivalenzklassen immer als Nebenklassen ansehen? Und warum gibt es dann überhaupt die beiden unterschiedlichen Begriffe?

11.10.2009, 14:21

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll denn modulo bedeuten bei Vektorräumen?
V und U sind Vektorräume, und zwar so dass U ein Unterraum von V ist. Also kannst du für U keine Zahl einsetzen, eine Zahl ist nunmal kein Untervektorraum Augenzwinkern

Die Nebenklassen bilden die Äquivalenzklassen der Relation $\begin{eqnarray*} u_1 \sim u_2 \Leftrightarrow u_1-u_2 \in U \end{eqnarray*}$ .
Äquivalenzklasse ist nunmal der allgemeine Begriff der keine speziellen Relation vorraussetzt, bei Nebenklassen spricht man von einer bestimmten Äquivalenzelation.

edit:
Ein paar Worte noch zum Vorstellen. Das ist etwas komplizierter und benötigt ein wenig Theorie, aber wer schon Faktorräume kennt sollte auch ein wenig Theorie kennen Augenzwinkern

Zur Anschauung nehmen wir einmal an dass U und V endlich dimensional sind.
Wir legen eine Basis durch U, das heißt wir ergänzen eine Basis von U zu einer Basis von V.
Der Faktorraum projeziert jetzt die Koordinaten der Vektoren bezüglich dieser Basis durch U nur auf die Koordinaten der Basisvektoren die nicht in der Basis von U vorkommen.

12.10.2009, 14:33

Sonnenschein1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

ok, dann gibt es bei Vektorräumen also kein modulo, weil wir ja modulo eine Zahl nehmen müssten und eben nur Vektorräume und keine Zahlen haben.

Aber wie kann ich mir denn dann V/U vorstellen? Ich habe jetzt gerade gefunden, dass V/U die Menge der Äquivalenzklassen ist. Also ist es ja der gesamte Raum, da durch die Äquivalenzklassen jedes Element einer Äquivalenzklasse zugeordnet wird (oder gibt es welche, die keiner Äquivalenzklasse zugeordnet werden? Die wären dann aber auch nicht in V/U. )

Und die Elemente von V/U sind die Nebenklassen.

Dann habe ich in V/U also so viele Elemente, wie ich Nebenklassen habe und die kann ich ja jetzt zählen. Stimmt das?

Zitat:

Äquivalenzklasse ist nunmal der allgemeine Begriff der keine speziellen Relation vorraussetzt, bei Nebenklassen spricht man von einer bestimmten Äquivalenzelation.

Heißt das, jede Nebenklasse ist eine Äquivalenzklasse, aber nicht jede Äquivalenzklasse ist eine Nebenklasse?
Und sobald ich sage ich betrachte diese eine bestimmte Relation kann ich von Nebenklassen sprechen. Allgemein rede ich von Äquivalenzklassen.

Zitat:

aber wer schon Faktorräume kennt sollte auch ein wenig Theorie kennen

Ja, ich kenne auch ein wenig Theorie Augenzwinkern

Zitat:

das heißt wir ergänzen eine Basis von U zu einer Basis von V

Das kann ich ja immer machen, wenn U eine Teilmenge von V ist. Und dann kann ich durch geeignete Basisvektoren die Basis von U zu einer Basis von V ergänzen. Wichtig ist dabei, dass die Vektoren alle linear unabhängig sind. Wenn also U eine k-elementige Basis hat und V eine n-dimensionale Basis (k<n) Dann ergänze ich n-k Vektoren. Das geht ja mit dem Basisergänzungssatz.

Zitat:

Der Faktorraum projeziert jetzt die Koordinaten der Vektoren bezüglich dieser Basis durch U nur auf die Koordinaten der Basisvektoren die nicht in der Basis von U vorkommen.

Das ist mir noch nicht so ganz klar.
Also ich habe Vektoren gegeben und die sind in der Basis von U dargestellt. Und die projeziere ich jetzt auf die n-k Vektoren, die in der Basis von V aber nicht in der Basis von U vorkommen? Aber n-k und k sind ja nicht unbedingt gleich viele Vektoren.
Ich dachte die Darstellung bezüglich der Basisvektoren wäre eindeutig. Dann kann ich den Vektor, denn ich mit den einen Basisvektoren dargestellt habe, doch nicht plötzlich mit anderen darstellen.

Angenommen ich habe den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Und die Basisvektoren: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese drei Basisvektoren sind Basisvektoren von V, aber nur die ersten zwei sind Basisvektoren von U. Dann ist ja nur der dritte nicht in U aber in V. Aber ich kann diesen Vektor, den ich davor mit den ersten beiden Basisvektoren dargestellt habe, doch nicht nur mit dem 3. Basisvektor darstellen.

Was habe ich denn hier falsch gedacht?

12.10.2009, 15:26

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sonnenschein1
Und die Elemente von V/U sind die Nebenklassen.

Dann habe ich in V/U also so viele Elemente, wie ich Nebenklassen habe und die kann ich ja jetzt zählen. Stimmt das?

V/U ist definiert als Menge der Nebenklassen. Das ist also keine Interpretation sondern eine Definition!
Im Allgemeinen(Grundkörper K nicht endlich, V ist nicht gleich U) hat V/U unendlich viele Elemente.

Zitat:

Angenommen ich habe den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Und die Basisvektoren: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese drei Basisvektoren sind Basisvektoren von V, aber nur die ersten zwei sind Basisvektoren von U. Dann ist ja nur der dritte nicht in U aber in V. Aber ich kann diesen Vektor, den ich davor mit den ersten beiden Basisvektoren dargestellt habe, doch nicht nur mit dem 3. Basisvektor darstellen.

Was habe ich denn hier falsch gedacht?

Es ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \in U \end{eqnarray*}$ mit deiner Wahl von U, also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + U = U \end{eqnarray*}$ . Mit anderen Worten: Es wird auf den Nullvektor projeziert.
Man sieht ja auch:
Die dritte Komponente(die ja nicht für U zählt) ist 0.

12.10.2009, 15:40

Sonnenschein1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wenn V/U unendlich viele Elemente hat, habe ich dann auch unendlich viele Nebenklassen?
Was passiert eigentlich wenn V gleich U ist (was du gerade ausgeschlossen hast) ? Kann es sein, dass ich dann nur eine Nebenklasse habe? Oder habe ich trotzdem unendlich viele?

Zitat:

Es ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \in U \end{eqnarray*}$ mit deiner Wahl von U, also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + U = U \end{eqnarray*}$ . Mit anderen Worten: Es wird auf den Nullvektor projeziert.
Man sieht ja auch: Die dritte Komponente(die ja nicht für U zählt) ist 0.

Wird dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ projeziert und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

12.10.2009, 15:45

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sonnenschein1
Wenn V/U unendlich viele Elemente hat, habe ich dann auch unendlich viele Nebenklassen?

Was passiert eigentlich wenn V gleich U ist (was du gerade ausgeschlossen hast) ? Kann es sein, dass ich dann nur eine Nebenklasse habe? Oder habe ich trotzdem unendlich viele?

Ja ich hab doch schon geschrieben: Die Elemente sind die Nebenklassen!

Ist V=U so ist V/U der Nullraum.

Zitat:

Stimmt, aber vorsicht: Formal korrekt ist es nicht, ist eben nur eine Anschauung.

12.10.2009, 15:49

Sonnenschein1

Auf diesen Beitrag antworten »

ok.
Jetzt ist mir die Sache schon viel klarer.
Danke für deine Hilfe smile

Neue Frage »

Antworten »

Quotientenräume, Nebenklassen

Verwandte Themen