Darstellung komplexer Zahlen

11.10.2009, 17:42

Dalice66

Darstellung komplexer Zahlen

Moin,
kann man, wenn man die Normalform z=x+iy für

$\begin{eqnarray*} i^{49}+i^{50}+i^{51}+i^{52} \end{eqnarray*}$

ausdrücken will, als

$\begin{eqnarray*} i*(i^2)^{24}+(i^2)^{25}+i*(i^2)^{25}+(i^2)^{26} \end{eqnarray*}$

schreiben und darauf basierend die Normalform ausrechnen?

11.10.2009, 18:13

Mystic

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RE: Darstellung komplexer Zahlen
Im Prinzip ja. Ich würde das aber einer ersten Eingebung folgend eher anschreiben als

$\begin{eqnarray*} i^{49}(1+i+i^2+i^3)=i^{49}\,\frac {i^4-1}{i-1} \end{eqnarray*}$

11.10.2009, 18:18

Dalice66

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RE: Darstellung komplexer Zahlen
Ok,
vor dem Gleichheitszeichen sieht es einleuchtend aus. Ich komme nur nicht auf dein

$\begin{eqnarray*} i^{49}\frac{i^4-1}{i-1} \end{eqnarray*}$

Kannste mir das kurz erklären?

11.10.2009, 18:32

Mystic

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RE: Darstellung komplexer Zahlen
Du kannst den Ausdruck entweder aufassen als Summe einer endlichen geometrischen Reihe mit Startglied $\begin{eqnarray*} i^{49} \end{eqnarray*}$ und Quotient q=i, oder dies auch als Spezialfall der sog. Horner'schen Formeln deuten, wonach z.B. für jede positive ganze Zahl n gilt:

$\begin{eqnarray*} x^n-y^n = (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\ldots+xy^{n-2}+y^{n-1}) \end{eqnarray*}$

11.10.2009, 18:37

Dalice66

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RE: Darstellung komplexer Zahlen
Ok,
geometrische Reihe mit Quotienten ist bekannt. Ich habe mal meinen Kram ausgerechnet und komme auf

$\begin{eqnarray*} z=0x+0i \end{eqnarray*}$

Auf dem ersten Blick scheint mir das verkehrt...

Kann man dein Dingen denn in eine Normalform bringen?

11.10.2009, 18:40

Mystic

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Ja, das Ergebnis ist 0 (oder 0+0i in Normalform), und auf das kommt man ja auch mit meiner Formel, wenn man $\begin{eqnarray*} i^4=1 \end{eqnarray*}$ einsetzt.

Nebenbei: Es heißt

$\begin{eqnarray*} 0+0i \end{eqnarray*}$

und nicht

$\begin{eqnarray*} 0x+0i \end{eqnarray*}$

wie du das auch schon in dem anderen Thread falsch geschrieben hast...

11.10.2009, 18:51

Dalice66

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Ok,
danke für alles

Wink

12.10.2009, 07:32

Calvin

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RE: Darstellung komplexer Zahlen

Zitat:

Original von Mystic
$\begin{eqnarray*} i^{49}(1+i+i^2+i^3)=i^{49}\,\frac {i^4-1}{i-1} \end{eqnarray*}$

Noch als kurze Ergänzung: Der Sinn dieser korrekten, aber vergleichsweise komplizierten Umformung erschließt sich mir nicht ganz. Spätestens bei $\begin{eqnarray*} i^{49}(1+i+i^2+i^3) \end{eqnarray*}$ sollte man $\begin{eqnarray*} i^2=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} i^3=-i \end{eqnarray*}$ einsetzen. Dann sieht man auch, dass das Ergebnis 0 ist.

12.10.2009, 08:27

Mystic

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RE: Darstellung komplexer Zahlen
Ich würde diese Umformung jetzt nicht wirklich als "kompliziert" bezeichnen, aber wenn jemand ein Problem damit hat, wie offenbar der Threadersteller, dann ist das natürlich der einfachere Weg...

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