Würfel mit 3 Seiten

11.10.2009, 21:56

fraggelfragger

Würfel mit 3 Seiten

Zitat:

Sie wählen eine Zahl zwischen 1 und 3, danach würfeln sie den Würfel der 3 Seiten hat. Man gewinnt wenn die Zahl erscheint die man gewählt hat.
Der Einsatz beträgt 1 Euro und der mögliche Gewinn beträgt 2.5 Euro.
Man entscheidet sich dieses Spiel 3 mal pro Tag zu spielen.

1) Berechnen sie ob sie im Durchschnitt pro Monat verlieren oder gewinnen ?
2) Man schreibt X als die Differenz zwischen dem Geld das Sie gewonnen haben und dem Geld das sie eingesetzt haben.
X entspricht einer Normalverteilung, berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit das Sie nicht verlieren (bezogen auf einen Monat).

Meine Lösung:

Bei dem Spiel ist es nicht möglich Eigenschaften zu verändern (wie z.b bei eine Urne, das bereits eine Kugel rausgenommen wurde) Das Spiel startet also immer mit gleichen Vorraussetzungen. Die Würfe sind unabhängig voneinander.
somit gilt:

1)
Wahrschein. für das man bei einem Wurf gewinnt.
$\begin{eqnarray*} P(S) = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
---------

$\begin{eqnarray*} n=90 \end{eqnarray*}$
Gewonnen = $\begin{eqnarray*} n \cdot P(S) = 90 \cdot \frac{1}{3} = 30 \end{eqnarray*}$

Verloren = $\begin{eqnarray*} 90-30 = 60 \end{eqnarray*}$
---------

Einsatzsumme $\begin{eqnarray*} = 90 \cdot 1 = 90 \end{eqnarray*}$ Euro
Gewonnene Summe $\begin{eqnarray*} = 30 \cdot 2.5 = 75 \end{eqnarray*}$ Euro
$\begin{eqnarray*} \Delta = gewonnene Summe - verlorene Summe = 75 - 90 = -15 \end{eqnarray*}$ Euro

2)
$\begin{eqnarray*} X \sim \mathcal N(-15, \sigma) \end{eqnarray*}$

Blos was setze ich nun für $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ein? Ich weis doch nur das ich als Erwartungswert -15 € verliere.

Kann mir jemand einen Klapps geben? Wie gehts weiter?

12.10.2009, 11:26

Der_Broker

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RE: Würfel mit 3 Seiten
Also...

dem eigentlichen Experiment liegt eine Binomial-Verteilung zugrunde mit

E(Y)=np
Var(Y)=np(1-p)

durch Normalapproximation erhält man

Y~N(np, np(1-p)) zulässig wenn np(1-p)>=9 hier der Fall

X ergibt sich jetzt durch Transformation von Y

Y*a - n, wobei a der Gewinn von 2.50 ist.

X~N(-n+np*a, a^2*np(1-p)) zu zeigen

hier dann einsetzen, und dann

...P(X>0)=1-P(X<0) ... standardisieren ...in Tabelle nachschlagen ... fertig!

Gruß Der Broker

12.10.2009, 11:33

Der_Broker

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...muss noch etwas ergänzen. So beim darüber Nachdenken....

Ich liebe die Kreativität und den Praxisbezug vieler Mathe- und Statistikprofessoren.

Was zum Teufel ist ein Würfel mit drei Seiten?

...hätte die Lösung davon abhängig machen sollen, dass Du mir einen zeichnest smile

Gruß Der Broker

12.10.2009, 12:22

Manus

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Nimm einen Würfel mit 6 Seiten und betrachte die Augenanzahl mod 3 und addiere dann 1. Dann erhälst du einen wunderbaren Würfel, der dir die Zahlen von 1 bis 3 ausspuckt.

Einen Würfel mit "echt" drei Seiten dürfte aber zugegebenermaßen schwer zu erstellen sein.

12.10.2009, 12:36

Airblader

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Man kann auch einfach einen 6-seitigen Würfel nehmen, auf dem die drei Zahlen einfach jeweils doppelt vorkommen.

So hast du deinen gewissermaßen 3-seitigen Würfel, ohne irgendwelche modulo-Betrachtungen.

air

12.10.2009, 13:02

fraggelfragger

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hehe, stimmt darüber hab ich noch garnicht nachgedacht smile

Neija ich hab die Aufgabe ja nicht gemacht.

So ich hab dank deine Beschreibung das Prinzip verstanden.

Kann jemand nochmal kurz überprüfen ob das Ergebnis stimmt? Danke euch vielmals für eure Hilfe.

Lösung: $\begin{eqnarray*} P( X > 0) = ... = 0,4522 \end{eqnarray*}$

12.10.2009, 14:49

Der_Broker

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Das Ergebnis habe ich auch!

Gruß Der Broker

12.10.2009, 15:54

Huggy

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Zitat:

Original von fraggelfragger
Lösung: $\begin{eqnarray*} P( X > 0) = ... = 0,4522 \end{eqnarray*}$

An dem Ergebnis habe ich meine Zweifel. Sei Y die Anzahl der Gewinne. Damit man nicht verliert, muss gelten:

$\begin{eqnarray*} Y \geq 36 \end{eqnarray*}$

Mit der Binomialverteilung ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} P(Y\geq 36)=1-P(Y\leq 35) =1-\mathcal B(35;90;1/3) \approx 0,11 \end{eqnarray*}$

Und die Näherung durch die Normalverteilung ändert das nur geringfügig.

12.10.2009, 16:21

Der_Broker

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Zitat:

Original von Der_Broker
Das Ergebnis habe ich auch!

Gruß Der Broker

Verdammt, gleichen Fehler wie fraggelfragger gemacht und beim Standardisieren durch die Varianz und nicht durch die Standardabweichung geteilt. böse

Der Weg war schon richtig beschrieben, komme dann auf 0,0899.

Gruß Der Broker

12.10.2009, 16:26

Huggy

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Wenn man beim Übergang zur Normalverteilung noch die Stetigkeitskorrektur berücksichtigt, kommt man noch näher an den exakten Wert aus der Binomialverteilung. Das übliche 0,5 aus der Stetigkeitskorrektur muss für die Zufallsgröße X natürlich auch mit 2,5 multipliziert werden.

12.10.2009, 19:31

fraggelfragger

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okay, habe es nun auch nachgerechnet, ich bekomme nun 0,0901 raus.

Wie führe ich diese Stetigkeitskorrektur durch?

$\begin{eqnarray*} X = Y*2.5*0,5 -n*0.5 \end{eqnarray*}$

So?

13.10.2009, 08:54

Huggy

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So nicht!

Gesucht ist $\begin{eqnarray*} P(Y \geq 36) \end{eqnarray*}$ . Wenn man das über die Normalverteilung berechnet, bedeutet die Stetigkeitskorrektur, dass man stattdessen $\begin{eqnarray*} P(Y \geq 36 - 0,5)=P(Y \geq 35.5) \end{eqnarray*}$ berechnet. Die Transformation auf die Zufallsvariable

$\begin{eqnarray*} X=2,5Y-90 \end{eqnarray*}$

führt dann zu:

$\begin{eqnarray*} P(X \geq 2,5\cdot 35,5-90)=P(X \geq -1,25) \end{eqnarray*}$ .

Und das ergibt dann

$\begin{eqnarray*} 1-\mathcal N (-1,25;-15;5\sqrt{5}) \approx 0,109 \end{eqnarray*}$

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