Folgenkompaktheit - Teilmenge der Menge stetiger Funktionen

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sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »
Folgenkompaktheit - Teilmenge der Menge stetiger Funktionen
Hallo,

wir haben nun eine kleine Aufabe bekommen. Soweit klappt alles gut, jedoch habe ich eine Frage bezüglich meiner Lösung. Ob man so Argumentieren kann oder es lieber explizit beweisen sollte.

und zwar:

Raum aller auf [0,1] stetigen Funktionen.
Zusammen mit der Supremumsnorm bildet dieser einen metr. Raum.

Wir sollen zeigen, dass es eine Funktionenfolge in K gibt, welche nicht konvergiert und keine konvergente Teilfolge besitzt.
mit

Abzielen tut diese Aufgabe wohl auf den Satz von Heine-Borel bzw. seine nichtanwendbarkeit.

Ich habe nun eine Funktionenfolge konstruiert, welche pkt. gegen eine unstetige Funktion konvergiert und damit in dem gegebenen Metrischem Raum nicht Konvergent ist.
Jedoch wäre diese ja bezgl. einer anderen Metrik (Betragsnorm zb.) konvergent und damit müsste ja auch jede Teilfolge gegen die Grenzfunktion konvergieren .
In unserem metr. Raum (Supremums-Norm) kann es also keine weitere Teilfolge geben welche konv. ist.

Ist die Idee an sich so ok. Insbesondere die Argumentation. Muss zwar noch bisschen geschmückt werden, aber mir geht es im wesentlichen erstmal ob man eine solche Folgerung als ausreichend ansehen kann.

mfg.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
edoch wäre diese ja bezgl. einer anderen Metrik (Betragsnorm zb.) konvergent und damit müsste ja auch jede Teilfolge gegen die Grenzfunktion konvergieren .


Welche Norm meinst du mit der "Betragsnorm" auf C([a,b],R)?

In unendlichdimensionalen Räumen - dazu gehört C([a,b],R) - sind Normen im Allgemeinen nicht äquivalent.

Deswegen ist deine Argumentation auch nicht richtig.

Ich denke, dass die Aufgabenstellung vielmehr darauf abzielt, das du eine solche Funktionenfolge findest.
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke, dann arbeite ich jetz den Rest aus indem ich bei meiner Funktionenfolge alle nötigen Eigenschaften explizit nachweise.

mfg.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich habe nun eine Funktionenfolge konstruiert, welche pkt. gegen eine unstetige Funktion konvergiert und damit in dem gegebenen Metrischem Raum nicht Konvergent ist.


Damit hast Du doch schon alles. Du hast den Grund warum die Folge nicht konvergiert. Dieser Grund liefert dir auch die Begründung warum keine Teilfolge konvergiert, denn hast Du eine konvergente Folge, konvergiert jede Teilfolge dieser Folge gegen den selben Grenzwert Augenzwinkern
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

hm ok damit wir vll nicht uns falsch verstehen:



Das interessante ist der Mittlere Berreich, diese Gerade verbindet die obere und untere "Schranke" so, dass die Funktionenfolge für bel. n stetig wird.

Ich habe berreits nachgewiesen, dass dieses bezüglich der Supremumsnorm keine Cauchyfolge ist.
Jedoch würde diese Funktionenfolge dennoch zumindest Punktweise konvergieren.
Konvergenz bnwz. der Supremumsnorm würde ja sonst implizieren, dass die Grenzfunktion stetig wäre, was ja nicht der Fall ist.

Wo ich bisher gehangen habe, war nun zu zeigen, dass es hier keine konv. Teilfolge bezüglich der Supremumsnorm geben kann.

Vielleicht hilft das mehr um zu verstheen was ich gemeint habe.

mfg.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Also, deine Funktionenfolge konvergiert schonmal bezüglich der Supremumsnorm gegen eine unstetige Funktion. Dann konvergiert auch jede Teilfolge dieser Funktionenfolge gegen diese unstetige Funktion. Damit konvergiert keine Teilfolge der in deinem Raum Augenzwinkern

p.s: Ich habe nicht überprüft ob die Konvergenz bezüglich der Supremumsnorm tatsächlich vorliegt. Da vertrau ich Dir mal das Du es richtig gemacht hast.
 
 
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

ok also kann man so argumentieren.
habe zwar nun auch einen expliziten beweis gefunden, aber besser mehr wissen als weniger.

nur eine frage habe ich dann noch.
du schreibst, dass meine Funktionenfolge bezüglich der Supremumsnorm gegen eine unstetige Funktion konvergiert. Dieses empfinde ich jedoch als Wiederspruch, da ja meines Wissens nach Konvergenz bezüglich der Supremumsnorm gleichmässige Konvergenz impliziert.
Hoffe es ist verständlich.

Wie dem auch sei, ich versuche mal alles bei mir schön und präzise zu formulieren, sollte ich noch nachfragen haben poste ich dann bei gelegenheit noch.
danke.

mfg.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich war selbst etwas unsicher. Fakt ist das der gleichmäßige Grenzwert einer Funktionenfolge stetiger Funktion stetig ist. Daher verstehe ich Deinen Einwand. Allerdings stört uns das hier nicht einmal. Wenn eine Folge schon nicht punktweise konvergent ist, dann kann sie erst recht nicht gleichmäßig konvergieren. Sprich :

Deine Funktionenfolge konvergiert punktweise gegen eine unstetige Funktion f.
Daraus folgt das jede Teilfolge dieser Funktionenfolge punktweise gegen f konvergiert. Der Grenzwert liegt ausserhalb des zugrunde liegenden Raumes. Damit konvergiert weder die Funktionenfolge selber noch irgendeine Teilfolge dieser Funktionenfolge punktweise in diesem Raum, also erst recht nicht gleichmäßig.
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

danke, dass ist eine treffende formulierung.
genau dieses wollte ich hier nachfragen um auf nummer sicher zu gehen.

kenne zwar die theorie recht gut, jedoch scheint der übungscharakter bedürftigen nachholbedarf zu haben.

mfg.
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