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+Lösen der kubischen Gleichung    x³ - 3x² - x + 3 = 0 
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Die kubische Gleichung liegt bereits in der Normalform x³ + rx² + sx + t = 0 vor. 

Durch die Substitution x = y - r/3 wird die Gleichung in eine reduzierte Form 
y³ + py + q = 0 gebracht, in der kein quadratisches Glied mehr auftritt. 

   (y + 1)³ - 3(y + 1)² - (y + 1) + 3 = 0

Die neuen Koeffizienten können bequemer auch direkt berechnet werden:

   p = s - r²/3 = -4
   q = 2r³/27 - rs/3 + t = 0

   y³ - 4y  = 0

Aus der Gleichung liest man also ab:

   p = -4            q = 0

Nun muß der Wert R = (q/2)²+(p/3)³ betrachtet werden. 

Ist R > 0, so hat die kubische Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen, 
ist R = 0, hat sie drei reelle Lösungen, von denen zwei zusammenfallen, 
und im Falle R < 0 drei verschiedene reelle Lösungen. 

Für die ersten beiden Fälle verwendet man die Lösungsformel von Cardano/Tartaglia,
im dritten Fall, dem sogenannten "casus irreducibilis", löst man mithilfe
trigonometrischer Funktionen. 

Im Falle dieser Gleichung ist R = -2,3703703703703702. 

Da R < 0, liegt der casus irreducibilis vor. Man erhält die Lösungen mit
y = 2·kubikwurzel(u)·cos(w/3 + v), wobei u = sqr(-(p/3)³) und cos(w) = -q/(2u) ist, 
und v die Werte 0, 120° und 240° annimmt. 

   cos(w) = 0   u = 1,539600717839002

   y  = 2
    1
   y  = -2
    2
   y  = -4,242300954899627e-16
    3

Die Substitution x = y - r/3 wird durch Subtraktion von r/3 rückgängig gemacht. 
r=-3 ist der quadratische Koeffizient der kubischen Gleichung. 
Damit ergeben sich, der Größe nach geordnet, diese Lösungen:

   x  = -1
    1
   x  = 1
    2
   x  = 3
    3