DGL mit Potenzreihenansatz lösen.

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13.10.2009, 11:44	narunaru	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL mit Potenzreihenansatz lösen. Hallo, folgendes Problem die Gleichung: $\begin{eqnarray} y'+y=e^x \end{eqnarray}$ soll mit Potenzreihenansatz gelöst werden.Die Anfangsbedingung ist $\begin{eqnarray} y(0)=1 \end{eqnarray}$ Ich habe das vorher noch nie gemacht. Mit Hilfe der Suchfunktion habe ich schon Ansätze gefunden, nur sind die DGL dort immer gleich Null. In meinem Beispiel ist die Funktion ja gleich $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ . Außerdem hab ich gefunden für $\begin{eqnarray} e^x= 1+ 1/1! x + 1/2! x^2 +1/3! x^3 \end{eqnarray}$ unter dem Begriff Potenzreihe. Ist dies schon meine Lösung?
13.10.2009, 12:05	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} y = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \end{eqnarray}$ Das ist der Potenzreihenansatz. Zu bestimmen sind die $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ . Jetzt berechne $\begin{eqnarray} y' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y+y' \end{eqnarray}$ . Bringe diese Summe auf die Form $\begin{eqnarray} y+y' = \sum_{k=0}^{\infty} \left( \ldots \right) x^k \end{eqnarray}$ In der Klammer steht ein Ausdruck aus Gliedern der Folge $\begin{eqnarray} \left( a_k \right) \end{eqnarray}$ . Ein Koeffizientenvergleich mit den Gliedern der Reihe für $\begin{eqnarray} \operatorname{e}^x \end{eqnarray}$ liefert dir Beziehungen für die $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ , die du rekursiv auflösen kannst. Warnung! Achte auf Besonderheiten bei den Startbedingungen, die durch Indexverschiebung entstehen.
13.10.2009, 14:15	narunaru	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe mal so gerechnet, wie ich es in der Antwort verstanden habe. Dann wäre $\begin{eqnarray} y=1+a_1x^1+a_2x^2.... \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y'=a_1+2a_2x+3a_3x^2 \end{eqnarray}$ somit ist $\begin{eqnarray} y'+y=1+a_1(x+1)+a_2(x^2+2x)+4a_3x^3 \end{eqnarray}$ Ist das jetzt so richtig? Und wie weiter? EDIT: $\begin{eqnarray} y' = \sum_{k=1}^{\infty} ka_k x^k \end{eqnarray}$ Habe ich so gefunden.
13.10.2009, 14:48	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie Leopold meinte: Du sollst jetzt nach den Potenzen ordnen. Dazu musst du natürlich zunächst die einzelnen Klammern ausmultiplizieren. Außerdem darfst du natürlich nicht bei der dritten Potenz aufhören zu summieren, sondern musst eigentlich die Reihe hinschreiben.
13.10.2009, 15:01	narunaru	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} y'+y = \sum_{k=1}^{\infty} (k+1)a_k x^k = e^x \end{eqnarray}$ Muss ich das so schreiben? Das kommt bei mir raus wenn ich nach Potenzen ordne, denk ich mal so.
13.10.2009, 15:19	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip richtig, nur hast du oben falsch abgeleitet. Außerdem hast du $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ vergessen. Die richtige Formel ist $\begin{eqnarray} y'(x)=\sum_{k=1}^{\infty}~ka_kx^{k-1} \end{eqnarray}$ .
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13.10.2009, 15:50	narunaru	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nun garnichts mehr. Muss ich nun die Glieder der Reihe aufschreiben oder die ganze Summe. Könnte man ma bitte Schritt für Schritt.
13.10.2009, 18:58	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} y(x)=\sum_{k=0}^{\infty}~a_kx^k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y'(x)=\sum_{k=1}^{\infty}~a_kkx^{k-1} \end{eqnarray}$ . Diese beiden Reihen sollst du addieren und als Reihe der Form $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty}~\text{???}\cdot x^k \end{eqnarray}$ darstellen.
13.10.2009, 19:07	narunaru	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab nochmal überlegt und bin zu folgendem gekommen: $\begin{eqnarray} y'+y = \sum_{k=1}^{infty}~a_k(1+x^-1)x^k \end{eqnarray}$ Stimmt das nun? Was muss mich nun mit dem $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ noch machen?
13.10.2009, 19:13	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist zwar nicht falsch, aber nicht das, was ich wollte. Vorne soll kein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ mehr vorkommen, dafür musst du bei der zweiten Summe zuerst eine Indexverschiebung durchführen.
13.10.2009, 19:21	narunaru	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann muss das komplette Ding bei 2 losgehen. Aber so bekommt man das x doch nicht raus oder?. $\begin{eqnarray} y'+y = \sum_{k=2}^{\infty}~a_k(1+x^-1)x^k \end{eqnarray}$ Habe folgendes gerechnet $\begin{eqnarray} a_kx^k + ka_kx^{k-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_k(x^k+k(x^k \cdot x^{-1}) \end{eqnarray}$ dann zusammen fassen $\begin{eqnarray} a_k(1+x^{-1})x^k \end{eqnarray}$ bzw wie funktioniert eine Indexverschiebung. Die Suche brachte mich nicht wirklich weiter.
13.10.2009, 19:36	narunaru	Auf diesen Beitrag antworten »
da fehlt noch ein k $\begin{eqnarray} a_k(1+kx^{-1})x^k \end{eqnarray}$
13.10.2009, 23:32	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gesagt: ohne $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ! Du sollst in $\begin{eqnarray} a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots\\ a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+\ldots \end{eqnarray}$ einfach $\begin{eqnarray} x^0,x^1,x^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x^3 \end{eqnarray}$ usw. der Reihe nach ausklammern.
13.10.2009, 23:53	narunaru	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, wenn ich beide Reihen summiere und x ausklammere komme ich auf $\begin{eqnarray} a_0+ (k+1)a_k\cdot x^k \end{eqnarray}$ Ich hoffe das ist so richtig ausgeklammert.
14.10.2009, 12:08	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} y = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \, , \ \ \ y' = \sum_{k=1}^{\infty} k a_k x^{k-1} = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) a_{k+1} x^k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y + y' = \sum_{k=0}^{\infty} \left( a_k + (k+1) a_{k+1} \right) x^k \end{eqnarray}$ Vergleich mit $\begin{eqnarray} \operatorname{e}^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} x^k \end{eqnarray}$ liefert $\begin{eqnarray} a_k + (k+1) a_{k+1} = \frac{1}{k!} \, , \ \ k \geq 0 \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} a_0 = 1 \end{eqnarray}$ (warum?) können die $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ aus dieser Gleichung rekursiv berechnet werden. Führt man das für die ersten Glieder durch, wird man bald bemerken, worauf das hinausläuft.
14.10.2009, 13:51	narunaru	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Leopold für den Tipp. Also $\begin{eqnarray} a_0=1 \end{eqnarray}$ ist wahrscheinlich die Startbedingung das $\begin{eqnarray} y(0) =1 \end{eqnarray}$ Nun habe ich folgende Glieder errechnet $\begin{eqnarray} a_1: 1+(1+1)a_1 = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_1= 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_2: a_1+(1+1)a_2=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_2=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_3 : a_2+(2+1)a_3 = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_3= 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_4 : a_3+(3+1)a_4= \frac{1}{6} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_4=\frac{1}{24} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_5 : a_4+(4+1)a_5 = \frac{1}{24} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_5=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_6 : a_5+(5+1)a_6 = \frac{1}{120} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_6=\frac{1}{720} \end{eqnarray}$ Ich hoffe das stimmt erstmal soweit. Also für die gerade Zahlen ist die Reihe immer $\begin{eqnarray} \frac{1}{x!} \end{eqnarray}$
14.10.2009, 15:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei $\begin{eqnarray} a_1 \end{eqnarray}$ stimmt etwas nicht. Der Fehler wirkt sich allerdings nicht aus. Und wie wäre es mit einem Beweis deiner Vermutung? Du solltest die Vermutung zunächst sauber formulieren. Und da die Folge rekursiv definiert ist, liegt natürlich ein Induktionsbeweis nahe.
14.10.2009, 16:55	narunaru	Auf diesen Beitrag antworten »
Behauptung: Die Gleichung $\begin{eqnarray} y+y'=e^x \end{eqnarray}$ liefert beim lösen mit dem Potenzreihenansatz eine Summe, in der der Quotienten $\begin{eqnarray} \frac {1}{2x!} \end{eqnarray}$ aufsummiert wird. $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty ~\frac {1}{2k!} \end{eqnarray}$ Das hab ich mir mal so gedacht als Formel für den Induktionsbeweiß. Das $\begin{eqnarray} 2k \end{eqnarray}$ steht für die geraden Zahlen. Es wäre nett wenn wir heute noch auf eine Lösung kommen könnten.
14.10.2009, 19:42	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst es etwas genauer sagen: Wie sieht jetzt die Funktion aus? Du darfst natürlich nicht die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Potenzen auf einmal weglassen. Beachte, dass du für " $\begin{eqnarray} 2k \end{eqnarray}$ Fakultät" Klammern setzen musst!
14.10.2009, 19:49	narunaru	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du mir bitte sagen, was du unter" wie sieht die funktion jetzt aus?" meinst? Meinst du das die summe mit dem $\begin{eqnarray} \frac{1}{(2k)!} \end{eqnarray}$ nicht reicht?
14.10.2009, 20:13	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Du hast am Anfang den Ansatz $\begin{eqnarray} y(x)=\sum_{k=0}^{\infty}~a_kx^k \end{eqnarray}$ gemacht und jetzt deine Koeffizienten ausgerechnet. Also sieht die Funktion jetzt wie aus?
14.10.2009, 20:21	narunaru	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denk mir in etwa so $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{(2k)!}x^k \end{eqnarray}$ weil der Koeffizient a_k ist ja immer $\begin{eqnarray} \frac{1}{(2k)! \end{eqnarray}$ . Oder ist das flasch gedacht?
14.10.2009, 20:22	narunaru	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denk mir in etwa so $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{(2k)!}x^k \end{eqnarray}$ weil der Koeffizient a_k ist ja immer $\begin{eqnarray} \frac{1}{(2k)!} \end{eqnarray}$ . Oder ist das flasch gedacht?
14.10.2009, 20:25	narunaru	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist quatsch was ich oben geschrieben habe
14.10.2009, 20:29	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst deine Beiträge auch editieren! Ja, das stimmt noch nicht. Der Koeffiziente vor $\begin{eqnarray} x^3 \end{eqnarray}$ ist ja z.B. $\begin{eqnarray} a_3 \end{eqnarray}$ und du hast ausgerechnet, dass das Null ist und nicht $\begin{eqnarray} \frac{1}{(2\cdot 3)!}=\frac{1}{6!}=\frac{1}{720} \end{eqnarray}$ .
14.10.2009, 20:31	narunaru	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke mal das ist die richtige Lösung $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty~\frac{1}{(2k)!}x^(2k) \end{eqnarray}$
14.10.2009, 20:46	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist leider falsch (das vorher war schon besser). Überprüfe das doch einfach durch Ausrechnen der Koeffizienten und Vergleichen mit den bereits berechneten Werten! Richtig ist $\begin{eqnarray} y(x)=\sum_{k=0}^{\infty}~\frac{1}{(2k)!}x^{2k}=\cosh x \end{eqnarray}$ , denn alle Koeffizienten vor ungeraden Potenzen von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ verschwinden ja nach deiner Rechnung (zumindest anscheinend).
14.10.2009, 20:52	narunaru	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hatte festgestellt, das es quatsch war und noch editiert, wahrscheinlich hast du das nicht mehr gelesen. es sieht aber identisch aus . Ist das die endgültige Lösung?
14.10.2009, 20:54	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Man sollte natürlich noch nachrechnen, dass es wirklich eine Lösung ist.
14.10.2009, 21:01	narunaru	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich die Reihe so aufstelle kommt man ja auf $\begin{eqnarray} 1+\frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 + \frac{1}{6!}x^6..... \end{eqnarray}$ Wie sollte ich die Lösung nun auf dem Papier präsentieren. Erst den Ansatz hinschreiben. Dann die zusammengefasste Reihe, danach den Vergleich mit der Potenzreihe $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ , die ausgerechneten Koeffizienten und darauß die Schlussfolgerung das das Ganze gleich $\begin{eqnarray} cosh x \end{eqnarray}$ ist.
14.10.2009, 21:28	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und unbedingt am Ende noch überprüfen, dass dies wirklich eine Lösung ist.
14.10.2009, 21:38	narunaru	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann danke ich allen für ihre Geduld und Mühe. Ich weiß ich habe es euch sicher net einfach gemacht, muss aber betonen das ich das zum ersten Mal gemacht habe. Vielen herzlichen Dank
14.10.2009, 21:40	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitteschön.

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