Teilmenge von R ist ein Körper

13.10.2009, 14:36

eisley

Teilmenge von R ist ein Körper

Hallo !!

die Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Beweise, dass die Teilmenge $\begin{eqnarray*} K_n = \left\{ p + \sqrt{n} q; p,q \in Q \right\} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit der von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ induzierten Addition und Multiplikation ein Körper ist.

ich habe mir nun folgendes überlegt:
bekannt ist, dass $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ ein Körper ist (laut Definition aus dem Skript).

kann ich nun die folgenden zwei "Eigenschaften" beweisen, ist auch gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} K_n \end{eqnarray*}$ ein Körper ist:

- Für $\begin{eqnarray*} n \in \left\{ x^{2}, x \in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} K_n = Q \end{eqnarray*}$
- Für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist nicht $\begin{eqnarray*} \in \left\{ x^{2}, x \in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} K_n = R / \left\{ Q\right\} \end{eqnarray*}$

Beweis für die erste Eigenschaft:

wenn $\begin{eqnarray*} p,q \in Q \end{eqnarray*}$
für alle $\begin{eqnarray*} n \in \left\{ x^{2}, x \in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} K_n = Q \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} = n^{1/2} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2} = \left(a^2\right)^{1/2} = a \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ Teilmenge von $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ ist, gilt:

$\begin{eqnarray*} \left\{ n \cdot q, n \in \mathbb N , q \in Q \right\} \end{eqnarray*}$ ist Teilmenge von $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \left\{ n + q, n \in \mathbb N , q \in Q \right\} \end{eqnarray*}$ ist Teilmenge von $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$

dadurch ist auch $\begin{eqnarray*} K_n \end{eqnarray*}$ Teilmenge von $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$

und ist somit ein Körper.

zum vollständigen Beweis, dass die Teilmenge $\begin{eqnarray*} K_n \end{eqnarray*}$ ein Körper ist, muss auch die zweite "Eigenschaft" gezeigt werden. ich bin da aber irgendwie steckengeblieben.

könnte sich das jemand mal ansehen? vielleicht ist auch die jetzige Vorgehensweise nicht optimal.

vielen lieben Dank!!

13.10.2009, 15:06

Mathespezialschüler

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Hallo!

Zitat:

Original von eisley
- Für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist nicht $\begin{eqnarray*} \in \left\{ x^{2}, x \in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} K_n = R / \left\{ Q\right\} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht genau, ob du wirklich $\begin{eqnarray*} \mathbb R/\mathbb Q \end{eqnarray*}$ meinst?! Das stimmt ganz sicher nicht.

Falls $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine Quadratzahl ist, gilt natürlich $\begin{eqnarray*} K_n=\mathbb Q \end{eqnarray*}$ , weil dann sicher auch $\begin{eqnarray*} K_n\subseteq\mathbb Q \end{eqnarray*}$ gilt (die andere Inklusion ist sowieso klar!).

Ist $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ keine Quadratzahl, so ist $\begin{eqnarray*} K_n \end{eqnarray*}$ eine echte Körpererweiterung von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und du musst einfach die Unterkörpereigenschaften

$\begin{eqnarray*} 0\in K_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1\in K_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a,b\in K_n\Rightarrow a-b\in K_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a,b\in K_n,b\neq 0\Rightarrow ab^{-1}\in K_n \end{eqnarray*}$

nachweisen.

13.10.2009, 17:16

eisley

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ah okay - wow. so schnell kanns gehen! smile

vielen lieben dank !!

noch eine kleine Anmerkung..
wäre es möglich

n,m $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ so zu wählen, so dass $\begin{eqnarray*} K_n \end{eqnarray*}$ als Körper nicht isomorph zu $\begin{eqnarray*} K_m \end{eqnarray*}$ ist?

13.10.2009, 17:21

kiste

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Klar. 2 und 3 zum Beispiel.
K_n und K_m (n>m) sind im allgemeinen nur isomorph wenn
n=am mit a=Quadratzahl

14.10.2009, 08:34

Mystic

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RE: Teilmenge von R ist ein Körper

Zitat:

Original von eisley
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2} = \left(a^2\right)^{1/2} = a \end{eqnarray*}$

Da habe ich heute schon mal herzlich lachen müssen, als ich das gesehen habe, und das ist doch kein schlechter Anfang für einen harten Arbeitstag... Big Laugh

Nach einer rekordverdächtig komplizierten Herleitung steht da auch noch ein falsches Ergebnis, denn für $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist immer noch

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2}=|a| \end{eqnarray*}$

entgegen anderslautenden hartnäckigen Gerüchten...

Das musste ich jetzt einfach loswerden, zum eigentlichen Thema hat Kiste ja schon alles gesagt... Big Laugh

14.10.2009, 14:26

poljpocket

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RE: Teilmenge von R ist ein Körper
Dann lache ich mal herzlich zurück und sage, dass man die Betragsstriche gleich weglassen kann, denn die Voraussetzung war ja:

$\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

Dann wird:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^{2}} \end{eqnarray*}$ nie negativ sein, da $\begin{eqnarray*} n<0 \end{eqnarray*}$ ist.

Gruss Julian (ppocket)

14.10.2009, 15:13

Mystic

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RE: Teilmenge von R ist ein Körper

Zitat:

Original von poljpocket
Dann wird:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^{2}} \end{eqnarray*}$ nie negativ sein, da $\begin{eqnarray*} n<0 \end{eqnarray*}$ ist.
Gruss Julian (ppocket)

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^{2}} \end{eqnarray*}$ wird deshalb nie negativ sein, weil die Wurzelfunktion per definitionem nie negative Werte liefert, das ist der Punkt, mal ganz abgesehen davon, dass du oben vermutlich $\begin{eqnarray*} n \geq 0 \end{eqnarray*}$ gemeint hast.

14.10.2009, 16:48

poljpocket

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RE: Teilmenge von R ist ein Körper
Ich habs ein Wenig falsch formuliert.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^{2}}=|n| \end{eqnarray*}$ -> völlig richtig die Aussage, aber:

da n.V. $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} |n| = n \end{eqnarray*}$ , also: $\begin{eqnarray*} \sqrt{n^{2}}=n \end{eqnarray*}$

Das war, was ich meinte und das schneidet sich mit deiner Aussage nicht, nur ist n ohne Betragsstriche für diese Aufgabe kein falsches Resultat!

Gruss ppocket

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