Verständnisfrage zu wesentlichen Singularität von sin(1/z)

14.10.2009, 17:31	Scribbel	Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisfrage zu wesentlichen Singularität von sin(1/z) Hallo, ich weiß das $\begin{eqnarray} sin(\frac{1}{z}) \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} z_0 =0 \end{eqnarray}$ eine wesentliche Singularität ist. Doch verstehe ich das einfach nicht. Die Argumentation " $\begin{eqnarray} sin(\frac{1}{z}) \end{eqnarray}$ hat bei 0 eine wesentliche Singularität, denn da sich die Nullstellen dort häufen, müßte andernfalls $\begin{eqnarray} f(z) \end{eqnarray}$ selbst oder $\begin{eqnarray} z^m f(z) \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} m\geq 1 \end{eqnarray}$ nach dem Identitässatz überall Null sein, was ja nicht der Fall ist. " Ich komme mit der Erklärung einfach nicht weiter. Hoffentlich kann mir hier einer bei meinem Verständnissproblem helfen. Danke Scribbel
14.10.2009, 19:54	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Angenommen, die Singularität wäre hebbar oder eine Polstelle. Dann gäbe es ein $\begin{eqnarray} m\geq 0 \end{eqnarray}$ , sodass die Singularität von $\begin{eqnarray} g(z):=z^m\sin\left(\frac{1}{z}\right) \end{eqnarray}$ hebbar wäre. Du könntest also g durch $\begin{eqnarray} g(0):=\lim_{z\to 0}z^m\sin\left(\frac{1}{z}\right) \end{eqnarray}$ fortsetzen. Nun hat $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ die Nullstellen $\begin{eqnarray} \frac{1}{n\pi} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ , welche sich offenbar im Nullpunkt häufen. Schau dir jetzt nochmal den Identitätssatz an.
15.10.2009, 16:30	Scribbel	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Identitätssatz sagt folgendes aus: Sei $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ein Gebiet und $\begin{eqnarray} f,g : G \rightarrow \mathbb C \end{eqnarray}$ zwei holomorphe Funktionen, die auf einer Teilmenge von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ einen Häufungspunkt besitzt, übereinstimmen. Dann gilt $\begin{eqnarray} f\equiv g \end{eqnarray}$ auf ganz $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ Ok ich habe jetzt mehrere Nullstellen, diese haben einen Häufungspunkt. Da ja der Identitässatz aussagt, das zwei holomorphe Funktionen, die auf einem Gebiet $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ übereinstimmen, sind gleich. Nur da hänge ich wieder.
15.10.2009, 16:52	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun du hast deine Funktion $\begin{eqnarray} f(z)=\sin\left(\frac{1}{z}\right) \end{eqnarray}$ , welche durch $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ [nach der Annahme] zu einer holomorphen Funktion auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ fortgesetzt wurde und $\begin{eqnarray} n(z)=0 \end{eqnarray}$ , die Nullfunktion, beide holomorph. Du hast, dass die Menge $\begin{eqnarray} \{z\in\mathbb C\quad:\quad g(z)=n(z)\} \end{eqnarray}$ einen Häufungspunkt bei Null hat, also....
15.10.2009, 17:22	Scribbel	Auf diesen Beitrag antworten »
.... Im Moment keine Ahnung ich glaube ich lege das mal zur Seite und schaue mir das morgen noch mal an. Scribbel

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »