Erwartungswert und Varianz

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Inrockuptible Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert und Varianz
Ich habe hier folgende Formel im Zusammenhang mit dem stochastischen Moment http://de.wikipedia.org/wiki/Moment_(Stochastik)

Var = E(X-mü)²

"zentralen Momente [...], bei denen die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse um den Erwartungswert mü = E(X) der Zufallsvariablen X betrachtet wird [...].Das zweite zentrale Moment ist die Varianz"


... Wenn der Erwartungswert sowohl mit E und mit mü abgekürzt wird, warum habe ich in der Formel dann beides?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast eine völlig falsche Vorstellung von dem . unglücklich

Das ist NICHT gleichzusetzen mit dem Erwartungswert von , sondern das ist der Erwartungswertoperator: Der kann auch auf andere Zufallsgrößen als bzw. auch Funktionen von Zufallsgrößen angewandt werden, z.B. , oder eben wie hier .

Und auch noch ein Wort zu dem : Das ist zunächst nur ein griechischer Buchstabe. Es mag zwar in der Schule gelehrt werden, dass sowas wie eine feststehende Regel ist, aber von dieser starren Regel solltest du dich lösen: Das muss im Einzelfall immer erst bestätigt werden. Besser ist also, sich die Formel für die Varianz gemäß



zu merken.
Inrockuptible Auf diesen Beitrag antworten »
DANKE erstmal!
Ich weiß, ich weiß. Habe ja den Erwartungswert auf Wikipedia gesucht, weil mir schon klar war, dass ich das Konzept noch nicht so wirklich erfasst hatte.

Also ist die Varianz der Erwartungswert der quadrierten Abweichung der Zufallsvariablen vom eigentlichen Erwartungswert der Zufallsvariablen.

--> In meinen evtl komplett inakkuraten aber für mich besser verständlich Worten ausgedrückt:

Erwartungswert der mittleren quadrierten Abweichung der Werte, die die Zufallsvariable annehmen kann, vom Mittelwert der Grundgesamtheit bzw. Verteilung = Varianz ??

Das würde ich verstehen, aber so richtig konkret kann ich mir noch nicht vorstellen, was dieser Erwartungsoperator an dieser Stelle macht. Mir ist diese ganze Formel, ehrlich gesagt, ziemlich unklar. Ich weiß garnicht, ob oder wie ich da was einsetzen könnte. Für E(X) kann ich irgendeinen Wert haben, klar. Aber X? Ich kann was anfangen mit P (X=x), aber kann ich denn für "groß X" konkret irgendwas einsetzen? Oder ist das nur ne Schreibweise, d.h. ich setze garnichts ein und arbeite besser mit der Formel:

Var= (xi-mü)² pi

oder Integral von (y-mü)² f(x) dx --> das ist für mich alles viel konkreter und verständlicher als die erste Formel. Drückt die erste Formel im Zusammenhang mit dem statistischen Moment auch was anderes aus?
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DANKE erstmal!
Zitat:
Original von Inrockuptible
Aber X? Ich kann was anfangen mit P (X=x), aber kann ich denn für "groß X" konkret irgendwas einsetzen? Oder ist das nur ne Schreibweise

Naja, mit dem grundlegenden Konzept von Zufallsgrößen solltest du schon vertraut sein - oder wie soll ich derartig seltsam wirre Äußerungen jetzt auffassen???

Die Zufallsgröße wird durch ihre Verteilung vollständig beschrieben, das ist in erster Linie ihre Verteilungsfunktion . Die beruht im Fall diskreter Zufallsgrößen auf den von dir erwähnten Einzelwahrscheinlichkeiten , im Falle stetiger Zufallsgrößen auf der Wahrscheinlichkeitsdichte , und in allen anderen Fällen (die es auch gibt!) wird es komplizierter - die lassen wir mal außen vor.

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Bleiben wir bei den diskreten Zufallsgrößen: Für die berechnet sich der Erwartungswert nun gemäß

.

Darüber hinaus berechnet sich auch der Erwartungswert einer Funktion dieser Zufallsgröße auf ähnliche Weise



für eine (in weiten Grenzen) beliebige Funktion . Speziell kann man etwa wählen, womit dann



folgt.

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Das ganze nun auch noch für stetige Zufallsgrößen mit Dichte : Hier ist



bzw.

,

also wieder speziell für dann

.

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So systematisch betrachtet schrumpft die vermeintliche Vielzahl an Formeln auf nur sehr wenige Grundformeln zusammen - konkret (1) und (2), was Erwartungswerte diskreter und stetiger Zufallsgrößen betrifft. Augenzwinkern
Inrockuptible Auf diesen Beitrag antworten »

Danke nochmal! Eigentlich hatte ich schon verstanden, was eine Zufallsgröße ist. Aber manchmal ist es besser, nachzufragen, um sich wirklich sicher zu sein, was genau man mit einer Formel anfangen kann und was nicht. Habe vor 3 Jahren ein bisschen Statistik gemacht und fange jetzt gerade wieder an! Sorry, aber ich muss mich in die Welt der abstrakten mathematischen Konzepte eben erst wieder reindenken.
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