Dichtefunktion einer Zufallsvariablen finden

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Fallbär Auf diesen Beitrag antworten »
Dichtefunktion einer Zufallsvariablen finden
Hallo,

Hier noch ein Problem, bei dem ich nicht weiterkomme. Gegeben sei die Zufallsvariable die einer Gleichverteilung folgt für , sonst

Gesucht ist die Dichtefunktion der Zufallsvariablen

Diese Funktion muss ja im Interval Werte ungleich 0 annehmen. Es muss auch eine quadratische Funktion sein. Die Fläche unter dem Graphen zwischen 0 und 1 muss 1 sein. Ich habe versucht eine allgemeine quadratische Funktion zu nutzen, mir fehlen aber zwei weitere Bedingungen (ausser der dass, das Integral von 0 bis 1 dieser Funktion = 1 sein muss) um die drei Parameter bestimmen zu können. Bin ich hier auf dem Holzweg?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichtefunktion einer Zufallsvariablen finden
Deine Überlegung mit der quadratischen Funktion ist nicht richtig.

Am einfachsten berechnest du erst die Verteilungsfunktion von Y und zwar gemäß ihrer Definition:



Daraus bekommst man einen Bereich, in dem X liegen muss. Und die Wahrscheinlichkeit, dass X in diesem Bereich liegt, ergibt sich aus der Dichtefunktion von X. Wie man dann die Dichtefunktion von Y aus ihrer Verteilungsfunktion berechnet, ist dir sicher bekannt.
Fallbär Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, damit komm ich irgendwie nicht klar. Es gilt ja, . Ist dann ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Gleich doppelt nein.



Sonst wäre F(X) für X < 0 negativ, was nicht sein kann. Und wenn doch, wäre der Schluss auf F(Y) trotzdem falsch. Außerdem sollte F(y) von y abhängen.

Ich setze obige Gleichung fort:



Jetzt musst du die rechte Seite nur noch mit Hilfe von oder aurechnen.
Fallbr Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, offensichtlich habe ich hier groessere Probleme als ich zuerst dachte. Ich bin davon ausgegangen, dass ich die F(x) immer als Integral von f(x) berechnen kann, was ja zu meinem Ergebnis fuehren wuerde.

Meine Frage ist deshalb jetzt erst einmal, wie ich sicherstellen kann, dass das Integral der Dichtefunktion auch wirklich die kumulierte Verteilungsfunktion ist?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fallbr
Ich bin davon ausgegangen, dass ich die F(x) immer als Integral von f(x) berechnen kann

Richtig.

Zitat:
Original von Fallbr
, was ja zu meinem Ergebnis fuehren wuerde.

Nein, eben nicht: Für ergibt sich

.

Nicht alles endet bei 0 bzw. fängt dort an ... Augenzwinkern
 
 
Der_Broker Auf diesen Beitrag antworten »

Zu Deiner letzten Bemerkung passt folgende Anekdote:

Ein amerikansicher Professor für Mathematik/ Ökonometrie hat mir gegenüber mal zum Ausdruck gebraucht, dass er uns Deutsche dafür "bewurdert", dass wir bei "0" anfangen zu zählen und nicht wie die Amerikaner bei "1". Er erläuterte, dass das zu vielen Verständnisproblemen seiner Studenten führe, weil die "0" so weit "out of bounds" sei, von den negativen Zahlen ganz zu schweigen.

Gruß Der Broker
Fallbär Auf diesen Beitrag antworten »

ist die gesuchte Dichtefunktion



?

Woher seh ich jetzt in welchem bereich die definiert ist? Ich meine hier ist es offensichtlich, dass es der Bereich (0,1) ist, aber wie kann ich das mathematsch abeiten? Wie kann ich überprüfen ob das wirklcih die gesuchte Dichtefunktion ist? Ich kann ja nicht einfach die Grenzen in die Verteilungsfunktion (die ich übrigens als gefunden habe) einsetzten, da diese für 0 nicht definiert ist.

Danke
Fallbär Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso gibt es eigentlich keine Integrationskonstante wenn man die Dichtefunktion integriert?
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fallbär
Wieso gibt es eigentlich keine Integrationskonstante wenn man die Dichtefunktion integriert?


Die gibt es...sie ist durch eine Eigenschaft der Dichte/Verteilungsfkt. bestimmmt.

Hier stellst du eigentlich schon die richtige Frage, wenn ich sie recht verstehe:

Zitat:
Original von Fallbr
Meine Frage ist deshalb jetzt erst einmal, wie ich sicherstellen kann, dass das Integral der Dichtefunktion auch wirklich die kumulierte Verteilungsfunktion ist?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fallbär
Woher seh ich jetzt in welchem bereich die definiert ist? Ich meine hier ist es offensichtlich, dass es der Bereich (0,1) ist, aber wie kann ich das mathematsch abeiten?

Du kannst die Dichtefunktion in ganz berechnen. Dabei ergibt sich, dass sie für y < 0 und y > 1 Null ist.

Zitat:
Wieso gibt es eigentlich keine Integrationskonstante wenn man die Dichtefunktion integriert?

Weil das ein bestimmtes Integral ist! Siehe Beitrag von Arthur.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fallbär
Woher seh ich jetzt in welchem bereich die definiert ist?

Die Dichte ist grundsätzlich auf ganz definiert, aber sie ist dort nicht überall gleich . Du musst eben Punkt für Punkt durchgehen, für welchen Wertebereich die jeweiligen Betrachtungen gültig sind. Ich mach das hier für diese Aufgabe mal ganz, ganz ausführlich:


Wie ich oben deutlich kenntlich gemacht habe, gilt lediglich für . Vervollständigt auf ganz wird das zu

.

Jetzt geht es darum, dies in Huggys zunächst mal für alle gültige Gleichung



einzusetzen (für ist sowieso ).

Jetzt muss man weiter unterscheiden: Für ergibt obiges dann

,

für hingegen

,

zusammengefasst also

.

Tja, und am Schluß dann differenzieren, wobei es kein Problem ist, wenn das an endlich vielen Stellen nicht klappt (hier im Beispiel bei y=0 und y=1), da die Dichte ja nur fast überall definiert sein muss.
Fallbär Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank Arthur (und auch den anderen). Jetzt ist mir alles klar geworden.

Grüße
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