a=b beweisen

17.10.2009, 20:18

DasTinchen

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a=b beweisen

Hallo!

also irgendwie steh ich grad auf der leitung und hoffe das mir jemand helfen kann...

die aufgabe ist simpel und an sich völlig logisch... aber genau da liegt mein problem...

also...

Aufg:
Leiten Sie aus den Körper- und Anordnungsaxiomen her: Für alle $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ folgt aus $\begin{eqnarray*} a^3=b^3 \end{eqnarray*}$ stets a=b. Dabei ist $\begin{eqnarray*} a^3:= aaa \end{eqnarray*}$ .

ich hab keinen schimmer wie ich das mit den axiomen beweisen soll.

wäre super wenn ihr meinem hirn auf die sprünge helfen könntet.

lg
tinchen

17.10.2009, 20:24

Wuba

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Die Axiome besagen doch , dass a>b oder a<b oder a=b , seh ich das richtig ?

Dann würde ich das per Widerspruch beweisen:

wenn a<b, dann geht a³=b³ nicht
wenn a>b , dann macht a³=b³ ebensowenig Sinn
wenn a=b, dann a³=b³

Bitte um korrektur, falls das kein schlüssiger beweis ist verwirrt

verwirrt

17.10.2009, 20:28

Airblader

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Ich weiß nicht, ob ich dich einfach falsch verstehe, aber dein "Beweis" geht ja in die völlig falsche Richtung.

Es geht um a³=b³ => a=b, nicht um a=b => a³=b³.

air

17.10.2009, 20:33

DasTinchen

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ja ich denke schon, dass das ein schlüssiger beweis ist...

hab mich mal am neutralen element der multiplikation versucht.

wäre dann

wenn a=b dann müsse $\begin{eqnarray*} ba^{-1} = 1 \end{eqnarray*}$ richtig!?

sooo.... dann wäre $\begin{eqnarray*} b^3=bbb=aaa=a^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (ba^{-1})(ba^{-1})(ba^{-1})=1 \end{eqnarray*}$

daraus folgt dann a=b bzw. b=a... oder?????

lg

17.10.2009, 20:44

Airblader

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Zitat:

Original von DasTinchen
wenn a=b dann müsse $\begin{eqnarray*} ba^{-1} = 1 \end{eqnarray*}$ richtig!?

ein Inverses muss garnicht mal existieren (a=0 !)

Und das, was danach kommt, ist für mich ziemlich sinnloser Quatsch. Was bitte machst du warum und warum folgt daraus irgendwas?

air

17.10.2009, 21:31

Quadratzahl-Jan

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Du kannst ruhig Wubas Vorschlag befolgen:

Nimm an, dass die zwei Zahlen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ verschieden sind. Sei ohne Einschränkung $\begin{eqnarray*} a>b \end{eqnarray*}$ . (warum man sich darauf beschränken kann, sieht man leicht.)

Es ist $\begin{eqnarray*} a^{3}=b^{3} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} a^{3}-b^{3}=0 \end{eqnarray*}$
Diese Gleichung kann man umformen zu $\begin{eqnarray*} (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=0 \end{eqnarray*}$ .
Außerdem ist ja $\begin{eqnarray*} aa^{2}=bb^{2} \end{eqnarray*}$ ...

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17.10.2009, 22:30

Tac

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Außerdem ist ja aa²=bb²???
muss das nicht auch erst bewiesen werden?
wie schaut denn nun ein gültiger beweis aus?

17.10.2009, 22:48

Quadratzahl-Jan

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Das muss man nicht beweisen, ist doch nur eine andere Schreibweise.
Aber man weiß, dass $\begin{eqnarray*} a^{2}>0 \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R\setminus0 \end{eqnarray*}$ .
Da die reellen Zahlen einen Körper bilden, wird das Produkt in obiger Gleichung
genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist.
Da $\begin{eqnarray*} a>b \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt ist, folgt, dass $\begin{eqnarray*} a^{2}+ab+b^{2}=0 \end{eqnarray*}$ gelten muss.
Was folgt dann?

17.10.2009, 22:50

Tac

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dass a=b sein muss, damit die gleichung stimmt und wir somit bewiesen haben, dass a³=b³?

17.10.2009, 22:59

Quadratzahl-Jan

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Nein. Wir wollen einen Widerspruch aufzeigen.
Wir nehmen die Ungleichheit von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ an und zeigen, dass da etwas schiefläuft. Es ist $\begin{eqnarray*} a^{2}+b^{2}=-(ab) \end{eqnarray*}$ .
Was können wir also über die Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ sagen?

17.10.2009, 23:06

Tac

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die linke seite ist immer positiv, das ist klar, aber ich frage mich gerade, ob die gleichung nicht dennoch erfüllt sein kann.. hmm

17.10.2009, 23:08

muntermacher

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seien a und b ungleich 0

da a³=aaa ungleich 0 existiert das inverse von a³, nämlich 1/a³ per def. also 1/aaa.

folgt aus der gleichung:
aaa=b³ <=> 1=b³/aaa <=> 1/a³ ist das inverse von b³ <=> 1=(b/a)(b/a)(b/a)
<=> 1=b/a <=> a=b

Man muss in diesem Beweis b = bbb setzen, sonst kann das nicht mit den axiomen nachgewisen werden.

greetz

17.10.2009, 23:11

kiste

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Das von muntermacher bitte schnell wieder vergessen. Die Argumentation ist falsch da sie auch so in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ funktionieren würde, in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist aber die Aussage falsch.

17.10.2009, 23:14

Tac

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hm.. also ich versuche schon lange an dieser aufgabe.. habe zufällig die selbe wie der threadersteller
habe auch schon viele tips bekommen aber ich krieg es einfach nicht hin..
kann mir jemand da helfen?

17.10.2009, 23:21

Quadratzahl-Jan

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Du hast Recht: die linke Seite der Gleichung muss positiv sein, also die rechte auch. Dann muss aber $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$ negativ sein, also
$\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b<0 \end{eqnarray*}$ , einverstanden?

Wirf jetzt noch mal einen Blick auf $\begin{eqnarray*} aa^{2}=bb^{2} \end{eqnarray*}$ .

17.10.2009, 23:27

Tac

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/edit:
eben dachte ich, dass ich es hab aber jetzt kommt ne frage auf
a>0 und b<0.. hmm woher wissen wir, dass das so sein muss? wir wissen doch nur, dass a>b ist, weil das so vorausgesetzt wurde?

17.10.2009, 23:40

Quadratzahl-Jan

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Bitte auf den letzten Metern nicht mehr ungenau werden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wir hatten $\begin{eqnarray*} a>b \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt. Wäre $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$ , so wäre wegen $\begin{eqnarray*} b<a \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} b<0 \end{eqnarray*}$ . Wir hätten dann $\begin{eqnarray*} ab>bb>0 \end{eqnarray*}$ . Das kann nicht sein, wie wir oben gesehen haben.
Also muss $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ sein, sowie $\begin{eqnarray*} b<0 \end{eqnarray*}$ .
Den Widerspruch hast du gefunden.
Wie ich oben schrieb, brauchst du den Fall $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ nicht gesondert zu betrachten, da die Gleichung $\begin{eqnarray*} a^{3}=b^{3} \end{eqnarray*}$ ja symmetrisch ist.
Alles klar soweit?

Edit: für die Zukunft wäre es besser, du würdest deine Beiträge nicht mehr löschen, meine weiteren Kommentare wirken zum Beispiel jetzt etwas seltsam
Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.10.2009, 23:47

Tac

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Habe gehofft ich wäre schneller :P ich merks mir smile

smile

also jetzt hab ichs! der beweis wäre jetzt soweit fertig?

17.10.2009, 23:55

Quadratzahl-Jan

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Ja genau.
$\begin{eqnarray*} aa^{2}=bb^{2} \end{eqnarray*}$ kann nicht gelten, da sonst links etwas Positives und rechts etwas Negatives stehen würde. Aus dem Widerspruch folgt nun
$\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ .
(habe es noch mal hingeschrieben, weil dieser Schritt gelöscht wurde)

17.10.2009, 23:59

Tac

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hehe ja

Augenzwinkern

ich bedanke mich für die tolle Erklärung Augenzwinkern

Augenzwinkern

mein erster Beweis.. juhu!

18.10.2009, 16:42

Quadratzahl-Jan

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Mist, mir ist noch ein Fehler unterlaufen unglücklich

unglücklich

:
$\begin{eqnarray*} ab>bb>0 \end{eqnarray*}$ ist hier falsch, wenn dann $\begin{eqnarray*} ab>aa>0 \end{eqnarray*}$ .
Das Produkt zweier negativer Zahlen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$
ist positiv, wie man aus den Axiomen folgern kann.

18.10.2009, 16:53

Tac

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Jan, bitte auf den letzten Metern nicht mehr ungenau werden smile

smile

das ist mir ja auch nicht aufgefallen.. hihi

18.10.2009, 21:30

apfelBaum

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Ich habe auch die gleiche Aufgabe komischerweise ...
Naja, jedenfalls hatte ich einen anderen Ansatz, wollte fragen, ob der so richtig ist.

$\begin{eqnarray*} a \cdot a \cdot a = b \cdot b \cdot b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a \cdot a \cdot a) \cdot (a \cdot a \cdot a)^-1= (b \cdot b \cdot b) \cdot (a \cdot a \cdot a)^-1 \end{eqnarray*}$

Da wir definierten $\begin{eqnarray*} a^3 = b^3 \end{eqnarray*}$ bzw. davon ausgehen, setze ich es wieder ein.

$\begin{eqnarray*} 1=(b \cdot b \cdot b) \cdot (a \cdot a \cdot a)^-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 = (b \cdot b \cdot b) \cdot (b \cdot b \cdot b)^-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1=1 \end{eqnarray*}$

19.10.2009, 14:06

apfelBaum

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Ist denn dieser Ansatz so brutal falsch und unzulässig, dass mir keiner darauf antworten will? unglücklich

unglücklich

Sry für Doppelbeitrag.

19.10.2009, 18:08

kiste

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Alles richtig, aber es sind nur Umformungen. Wo genau schließt du daraus dass a=b sein soll?!

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