Warum wird das so negiert?

18.10.2009, 21:24	belllaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum wird das so negiert? $\begin{eqnarray} \forall \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x < 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \exists \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} : \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} < \epsilon \end{eqnarray}$ die Negation sieht so aus : $\begin{eqnarray} \exists \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} < 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \exists \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} : x^{n} \geq \epsilon \end{eqnarray}$ meine Frage jetzt : Warum wird dann nach dem Doppelpunkt aus einem kleiner als ein größer gleich $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ ? Hat es nach dem Doppelpunkt etwas zu bedeuten ?
18.10.2009, 21:31	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt : $\begin{eqnarray} \neg \forall \phi = \exists \neg \phi \end{eqnarray}$ und analog auch $\begin{eqnarray} \neg \exists \end{eqnarray}$ . Damit ergibt sich : $\begin{eqnarray} \neg(\forall ~ 0 \leq x < 1 \forall ~ \varepsilon > 0 \exists n \in \mathbb{N} : x^n < \varepsilon) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \exists ~ 0 \leq x < 1 \neg ( \forall ~ \varepsilon > 0 \exists n \in \mathbb{N} : x^n < \varepsilon ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \exists ~ 0 \leq x < 1 ~ \exists ~ \varepsilon > 0 \neg ( \exists n \in \mathbb{N} : x^n < \varepsilon ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \exists ~ 0 \leq x < 1 ~ \exists ~ \varepsilon > 0 ~ \forall n \in \mathbb{N} :\neg ( x^n < \varepsilon ) \end{eqnarray}$ Naja, und $\begin{eqnarray} \neg (x^n < \varepsilon) \Leftrightarrow x^n \geq \varepsilon \end{eqnarray}$ , klar oder?
18.10.2009, 22:19	belllaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Jaa soweit verstehe ich das,aber wenn alles negiert wird warum werden die anderen kleiner und größer Zeichen nicht geändert bzw. negiert?
18.10.2009, 23:34	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Stell dir die Aussage in Worten vor, vielleicht verstehst du es dann besser: "Für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} [0,1) \end{eqnarray}$ und alle $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ gibt es ein $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x^n<\varepsilon \end{eqnarray}$ ." Die Negation ist natürlich, dass es ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ aus dem gleichen Bereich und ein $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ gibt, sodass für alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ diese Ungleichung gerade nicht gilt. Die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Werte, die nicht in diesem Bereich liegen, haben ja mit der Aussage überhaupt nichts zu tun.
19.10.2009, 13:29	belllaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Also hat es eigentlich was mit dem $\begin{eqnarray} x^{n} \end{eqnarray}$ zu tun oder...
19.10.2009, 15:00	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kanns auch genauer aufschreiben, sei $\begin{eqnarray} \phi(x) \end{eqnarray}$ eine logische Aussage über x aus einer Menge M, dann ist : $\begin{eqnarray} \neg ( \forall x \in M.\phi(x)) \Leftrightarrow \exists x \in M. \neg \phi(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \neg( \exists x \in M.\phi(x)) \Leftrightarrow \forall x \in M. \neg \phi(x) \end{eqnarray}$ Diese Bedingungen wie $\begin{eqnarray} \varepsilon > 0 \end{eqnarray}$ sind ja nur Umschreibungen dafür, aus welcher Menge die einzelnen Variablen kommen. Die haben primär nichts mit der Aussage selber zu schaffen. (Wie MSS schon sagte )
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19.10.2009, 15:33	papahuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann es auch anders herleiten. "Uneigentliche" Allquantoren der Form $\begin{eqnarray} \forall x\in M:\phi(x) \end{eqnarray}$ sind eine Abkürzung für $\begin{eqnarray} \forall x:x \in M \rightarrow \phi(x) \end{eqnarray}$ . Daher ist $\begin{eqnarray} \neg(\forall x \in M: \phi(x)) \end{eqnarray}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray} \neg(\forall x:x \in M \rightarrow \phi(x)) \equiv \neg(\forall x:x \notin M \vee \phi(x)) \equiv \exists x: \neg(x \notin M \vee \phi(x)) \equiv \exists x: x \in M \wedge \neg\phi(x) \equiv \exists x \in M: \neg\phi(x) \end{eqnarray}$

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