Mengenlehre

18.10.2009, 23:10

wiwi-student

Mengenlehre

hallo, ich hab folgendes problem
Menge A:={x:x e R und 1<x<10}

nun soll ich prüfen und begründen ob z.b. {x e R: x^3=8} eine teilmenge von A ist.
Ich weiß ja auch das x=2 ist. und somit teilmenge von A. aber wie soll ich das darstellen bzw. beweisen?

mfg im vorraus

18.10.2009, 23:35

mYthos

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Es gibt noch zwei andere Lösungen der Gleichung. Auch diese müssen hinsichtlich ihrer Zugehörigkeit zu R überprüft werden.

mY+

18.10.2009, 23:36

Mathespezialschüler

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Hallo!
Du musst zeigen, dass aus $\begin{eqnarray*} x^3=8 \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} 1<x<10 \end{eqnarray*}$ gilt. Wenn du begründen kannst, warum aus $\begin{eqnarray*} x^3=8 \end{eqnarray*}$ direkt $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ folgt, dann bist du doch schon fertig.

18.10.2009, 23:41

mYthos

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Ahh, ich hatte übersehen, dass x ohnehin Element von R sein muss. Dann vergesst bitte meinen Vorpost.

Vielleicht ist noch zu sagen, dass x = 2 die einzige relle Lösung der Gleichung ist.

mY+

18.10.2009, 23:43

wiwi-student

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und wie soll ich das begründen? bzw. wie zeigen ? danke für den tipp mit den 2 anderen lösungen an die hab ich gar nicht mehr gedacht wegen dem Intervall.

18.10.2009, 23:47

mYthos

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Aus

$\begin{eqnarray*} 1 < x < 10 \end{eqnarray*}$ folgt (für relle x) auch

$\begin{eqnarray*} 1 < x^3 < 1000 \end{eqnarray*}$

und in letzterem Intervall liegt 8.

@MSS: Ist das stichhaltig? Ich denke schon.

mY+

19.10.2009, 00:01

wiwi-student

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die 8 liegt doch auch im ersten intervall? ich versteh jetzt nicht den grund warum das intervall vergrößert wird? laut mss muss ich ja nur die nullstellen berechnen dann seh ich ja das nur die 2 in dem Intervall von A liegt

19.10.2009, 00:15

mYthos

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Das ist mehr oder weniger Zufall, dass 8 auch im ersten Intervall liegt. Dieser Fall muss nicht immer eintreten. Das Intervall für x wurde deswegen vergrößert, weil x die dritte Wurzel aus 8 ist. Man muss also den Zahlenwert für x nicht kennen, wenn man statt dessen mit dessen dritter Potenz rechnet. Daher sind von den Randpunkten des Intervalls ebenfalls die dritten Potenzen zu nehmen.

Aber das ist meine Interpretation. Vielleicht äussert sich ja MSS auch noch dazu.

mY+

19.10.2009, 08:23

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Geh einfach ma davon aus das A anders definiert wäre: $\begin{eqnarray*} A:=\left\{x:x \in\mathbb R, 1<x<7\right\} \end{eqnarray*}$ . Jetzt wirst du leider mit der "8 ist doch schon im ersten intervall" nicht weit kommen. 2 ist aber dennoch eine lösung!

19.10.2009, 09:04

wiwi-student

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ich kapier jetzt nicht was ihr mir damit sagen wollt? ich soll doch prüfen und begründen das es eine Teilmenge von A ist, wieso muss ich da das Intervall vergrößern wenn doch das Intervall von A so gegeben ist.
Da ich ja weiß das 2 eine Teilmenge ist, wie soll ich das darstellen?

19.10.2009, 09:24

Mystic

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2 ist keine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , ja nicht einmal eine Menge. Wenn du aber meinst, dass für die Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x^3 =8 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} L=\{2\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ daher eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist, hast du natürlich recht...

Der von mYthos vorgeschlagene Weg ist natürlich auch gangbar, dass man die Definition von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein wenig umformt, nämlich zu

$\begin{eqnarray*} A=\{x \in \mathbb R | 1<x^3<1000\} \end{eqnarray*}$

sodass man sofort sieht, dass $\begin{eqnarray*} L \subseteq A \end{eqnarray*}$ gilt, ohne die reelle Lösung von

$\begin{eqnarray*} x^3=8 \end{eqnarray*}$

überhaupt auszurechnen!

19.10.2009, 09:39

wiwi-student

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mir geht ein licht auf. erstmal danke für eure antworten. ich war natürlich auf die lösungsmenge aus, obwohl der weg von mythos einfacher ist thx

also kann man auch aus {x e R: x^2=4},

A:={x: x e R: 1<x^2<100} machen

19.10.2009, 18:09

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von mYthos
Aus

$\begin{eqnarray*} 1 < x < 10 \end{eqnarray*}$ folgt (für relle x) auch

$\begin{eqnarray*} 1 < x^3 < 1000 \end{eqnarray*}$

und in letzterem Intervall liegt 8.

@MSS: Ist das stichhaltig? Ich denke schon.

Hm, in dieser Art und Weise nicht, denke ich. Man braucht ja gerade die andere Richtung. Nur weil aus $\begin{eqnarray*} 1<1,5<10 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} 1<1,5^3<1000 \end{eqnarray*}$ folgt, sagt das ja noch nichts über $\begin{eqnarray*} x^3=8 \end{eqnarray*}$ aus. Man braucht ja hier die andere Richtung (in der allgemeinen Form):

Aus $\begin{eqnarray*} 1<x^3<1000 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} 1<x<10 \end{eqnarray*}$ .

Mystic hat einfach beide Richtungen genommen und mit der Äquivalenz die andere Mengendarstellung erhalten.

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