Untergruppe aus Äquivalenzrelationen

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moinmoin Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppe aus Äquivalenzrelationen
Ein fröhliches Moinmoin!

entonces: Sei U eine Untergruppe der Gruppe aller Bijektionen einer Menge M auf sich. Eine relation sei wie folgt errklärt: genau dann, wenn es eine Abbildung mit gibt.

a) Es soll nun gezeigt werden, dass ~ Äquivalenzrelation ist:

Reflexiv:
... ist eine Bijektion, passt.

Symmetrisch:
... das sind aber nun keine Bijektionen mehr?!

Transitiv:
... ebenfalls keine?!

die weiteren Teilaufgaben:
b) für welche Untergruppe U ist die Gleichheitsrelation auf ... die Gleichheitsrelation ist doch in dem Fall genau . Also besteht die Untergruppe U nur aus dieser Abbildung.

c) Bestimme die Bahnen der Untergruppen einer Bijektion einer Ebene auf sich (Drehung, Translation etc.) ... Bahnen sind Äquivalenzklassen der Gruppe, wenn ich recht verstehe. Also sind Äquivalenzklassen beispielsweise Halbkreise in dieser Ebene?

Kann mir hier jemand weiterhelfen?

cheers

Edit: Tippfehler im Titel korrigiert. Gruß, Reksilat.
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppe aus Äquivalnezrelationen
Vielleicht als kleine Hilfe zum Verständnis:



Das heißt nicht, dass es immer die gleiche Abbildung sein soll.
Auffällig ist, dass du plötzlich von Begriff Abbildung zu Bijektion springst, was bei obiger Aufgabe sinnvoll erscheint, so aber nicht aus der von dir beschriebenen Aufgabenstellung hervorgeht.
moinmoin Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung, das war verwirrend. Teilaufgabe c) bezieht sich auf die vorherige Aufgabe, in der eine Gruppe aller Bijektionen einer Ebene auf sich gefragt war. Also Drehungen, Translationen etc... und hier in c) sollen dann die Bahnen dieser Äquivalenzklassen skizziert werden.

Nun zurück zum eigentlichen Beispiel: Die Bedingung ist mir klar, wie zeige ich aber, dass es eine derartige Abbildung gibt? Stimmt Teilaufgabe b) soweit?
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Ich schlage vor, eine Teilaufgabe nach der anderen zu lösen, zumal ich den Begriff der Bahn einer (Unter-)Gruppe zum ersten Mal höre.
Meine Verwirrung bzgl. Abbildung und Bijektion entstand dadurch, dass ich überlesen hatte, dass ja als Gruppe von Bijektionen definiert ist.

Zitat:

Symmetrisch:
... das sind aber nun keine Bijektionen mehr


Was genau willst du damit aussagen?

Bezüglich auf Reflexivität wäre eine saubere Art der Notatoin bspw.:

Sei die Identität, so gilt und wegen gilt folglich . Damit ist reflexiv


Übertrage doch mal dieses Muster auf den Symmetriebeweis!
Also als Anfang:
Es sei , demnach existiert eine Bijektion mit

Jetzt mach du weiter! Bedenke dabei, dass U eine Gruppenstruktur besitzt und nutze dies aus!

Bei Aufgabe b meinst du das Richtige, argumentierst allerdings sehr unsauber.
moinmoin Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann so:

also muss zu jedem ein geben. Also

Zur Transitivität:

Ist vielleicht ein wenig umständlich, aber ich habe mir das so gedacht:


Also:


Und zu teilaufgabe b: Die Untergruppe besteht nur aus einer Abbildung, und zwar der Identität, also

passt das so?
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von moinmoin
[...]also muss zu jedem ein geben. Also


Du meinst in jedem Fall das richtige, ich empfinde deine Notation aber als sehr unsauber.
bezeichnet die Umkehrfunktion
bezeichnet den Wert der Funktion an der Stelle
Du hast also geschrieben, dass die Umkehrfunktion von konstant ist und dem Wert von an der Stelle gleicht, welcher gleichzeitig identisch mit ist. Du wirst einsehen, dass das so nicht stimmig ist.
Ich dachte eher an:
Es sei
mit
da (Unter-)Gruppe



Siehst du den Unterschied? Es ist unabdingbar, dass du immer klar der Definitionsstruktur folgst, also x äquivalent zu y, also existiert eine Abbildung ...blablabla
Es ist dabei nie verboten oder verkehrt Implikationen zusätzlich verbal zu begründen, dies hilft auch dir beim besseren Verständnis, auch wenn es nervig ist, jeden Schritt zu kommentieren und zu erklären. Sauberes Argumentieren und Schlusfolgern ist vermutlich das Wichtigste, was du beim Studium der Mathematik lernen sollst.


Zitat:
Original von moinmoin
Zur Transitivität:

Ist vielleicht ein wenig umständlich, aber ich habe mir das so gedacht:


Also:



Hier hast du dich schon ein wenig besser ausgedrückt, aber es fehlt noch ein bischen was:


mit
Es ist und damit gilt



Im letzten Teil schreibst du Unsinn:
Zitat:
Original von moinmoin


Wenn überhaupt, dann mit

Zitat:
Original von moinmoin
Und zu teilaufgabe b: Die Untergruppe besteht nur aus einer Abbildung, und zwar der Identität, also

passt das so?


Nein, dass passt nicht so. Scheinbar meintest du doch nicht das richtige, ich dachte, du drückst dich nur unglücklich aus.
Kann eine (nichttriviale) Gruppe wirklich nur ein Element enthalten?
Der Knackpunkt dieser Aufgabe liegt hier auch wieder in dem, was ich dir in meiner ersten Antwort mitgeteilt habe.

Grüße!
 
 
moinmoin Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Mühe und Geduld.

Ich glaube ich habe zumindest diese Argumentation jetzt verstanden. Mir ist klar, dass ich noch viel lernen muss.

Aber mit Verlaub, was Du schreibst ist hier nicht richtig
Zitat:
Wenn überhaupt, dann mit


Wenn die Mengen gemeint sind muss es heißen. Ich verstehe nicht was an falsch sein soll, denn im Grunde ist doch genau durch gegeben. Und wenn und darstellen, dann müsste es doch so stimmen?!

Wie ich b) angehen soll, weiß ich nicht...

Danke nochmal
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Du hast Recht, ich habe den falschen Pfeil gewählt, danke für den Hinweis, was ich aber meinte, war folgendes:

Entweder Notation der Art bzw allgemein oder . Wobei eigentlich nur eine abkürzende Schreibweise für mit ist.

Was aber gar nicht geht, ist , denn x und z sind im vorliegenden Fall (zwar beliebig gewählte, aber) feste Punkte. Im Fall ist x die Variable.

Vielleicht kann dir jemand anderes den Unterschied besser erklären. Aber ich denke, es ist tatsächlich nicht nur Korinthenkackerei, sondern schon wichtig. Ich lasse mich hier aber auch gern vom Gegenteil überzeugen. Hammer

Nun aber zu b)

Gleichheitsrelation bedeutet, dass ja nur gilt. Oder anders ausgedrückt: Aus folgt sofort .
Jetzt überleg doch mal, aus der Defintion der gegebenen Relation folgt:


Besondere Betonung liegt eben auf dem Existensquantor. Es heißt nicht, dass es eine Funktion geben muss, so dass , das wäre tatsächlich nur die Identität.
Wenn ich jetzt noch einen weiteren Hinweis gebe, könnte ich dir auch gleich die Lösung hinschreiben. Augenzwinkern

Gruß
moinmoin Auf diesen Beitrag antworten »

AAhh, Ich komm einfach nicht drauf...
Manus Auf diesen Beitrag antworten »

@Schmonk: Bist du dir sicher, dass die Untergruppe nicht doch nur aus der Identität besteht?

Angenommen enthielte eine von der Identität auf verschiedene Funktion . Das bedeutet, aber:



Damit steht aber nach der Definition der Relation x in Relation zu y, was bei der Gleichheitsrelation nicht der Fall ist.
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

@ Manus: Uiuiuiu, da bin ich aber einem ganz bösen Denkfehler aufgesessen. Vielen Dank für den Hinweis, du hast natürlich recht.

@moinmoin: Bitte entschuldige, dass ich dich verwirrt habe. Manus hat dir auch gleich die stichhaltige Begründung für die Antwort geliefert.
moinmoin Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Thema, jeder kann sich mal irren! Bin froh, dass ich die Aufgabe jetzt verstanden und gelöst habe.

Danke Euch beiden!
Manus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Schmonk
@ Manus: Uiuiuiu, da bin ich aber einem ganz bösen Denkfehler aufgesessen. Vielen Dank für den Hinweis, du hast natürlich recht.

@moinmoin: Bitte entschuldige, dass ich dich verwirrt habe. Manus hat dir auch gleich die stichhaltige Begründung für die Antwort geliefert.


Keine Ursache. Zwar ärgerlich, dass damit auch die Begründung jetzt vorweggenommen wurde, aber ich glaube, das wäre nicht anders gegangen.
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