Konstruktion einer partiellen ordnung aus bestehender part. ordnung

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RS Auf diesen Beitrag antworten »
Konstruktion einer partiellen ordnung aus bestehender part. ordnung
Gegeben sei die Abbildung und auf M2 eine partielle
Ordnungsrelation R.
Konstruiere mit Hilfe von A auf M1 eine partielle Ordnungsrelation .

Wie habe ich sowas denn anzugehen?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Schau Dir mal die Urbilder von A an.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

Die Urbilder von A sind beschrieben durch oder?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Urbilder von A sind beschrieben durch oder?


Nein, das ist falsch. Urbilder sind immer Mengen. Sei und . Dann schreibt man



Man kann den Urbildbegriff auch auf Teilemengen des Bildes ausdehnen, aber obige Bezeichnung reicht für diese Aufgabe. Die Urbildmenge ist nicht mit der Umkehrfunktion zu verwechseln! Urbilder gibts immer.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

ok, der unterschied umkehrfunktion zu urbildern ist mir jetzt klar. aber wie konstruier ich nun eine partielle Ordnungsrelation auf M1? Ich kann da irgendwie überhaupt nix mit anfangen. ist mir irgendwie dann ne ecke zu theoretisch.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Du willst eine Relation auf definieren. Du willst also für eine Bedingung haben wann gilt. Was wir haben ist die Relation R auf und eine Abbildung . Nun betrachten wir . Wie könnte man mit diesen x,y jetzt eine Bedingung für die Zugehörigkeit von a,b zu formulieren?
 
 
RS Auf diesen Beitrag antworten »

kann in die richtige Richtung gehen?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, so ähnlich aber falsch formuliert. Der Grundgedanke stimmt schon. Was Du meinst ist




Damit definiert man sich dann die Relation

RS Auf diesen Beitrag antworten »

bei

muss ich aber in der Urbildformel für x, A(a) einsetzen und bei y, A(b) oder?

für die punkte muss ich doch jetzt quasi die relation bzw allgemein R* einsetzen oder?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
bei muss ich aber in der Urbildformel für x, A(a) einsetzen und bei y, A(b) oder?


Ne, ich war nur zu faul das auszuschreiben. Bei



sollst Du aber in der Tat die beiden richtigen Mengen wählen. Die Mengen haben irgendwas mit den x und y zu tun. Und die x und y haben irgendwas mit einander zu tun Augenzwinkern
RS Auf diesen Beitrag antworten »

ich meinte eigentlich nur, dass ich statt

so schreiben muss:




und dann



oder?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
oder?


Das ergibt doch keinen Sinn. a,b kommen doch aus , wie kannst Du da fordern das sie in liegen sollen?
RS Auf diesen Beitrag antworten »



so?

ich hab das prinzip, was eine partielle ordnung und wie das wo einzuordnen ist wohl noch nicht verstanden. werds mir mal nochmal zu gemüte führen^^
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ich hab das prinzip, was eine partielle ordnung und wie das wo einzuordnen ist wohl noch nicht verstanden. werds mir mal nochmal zu gemüte führen^^


Wir sind ja noch garnicht soweit zu überprüfen ob unsere Relation tatsächliche eine partielle Ordnung ist. Dieses hier



sagt garnichts aus. Es existieren x,y in M2 so dass a und b in M1 sind. Ergibt keinen Sinn. Eine korrekte Relation wäre :




Das Ding ist eine partielle Ordnung auf , was natürlich noch zu zeigen ist.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

Mal ein kurzer einwurf.

wäre die definition für die Relation R dann? :

Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, bei deiner Definition fehlt .
RS Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar. was ist jetzt noch zu zeigen?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Reflexivität, Transitivität und Antisymmetrie.

edit:

Wegen der Antisymmetrie , habt ihr noch irgendeine Bedingung an die Abbildung A? Wenn diese nicht injektiv ist reicht meine Definition für nicht aus.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

im wikipediaartikel werd ich nciht so recht schlau wie ich Transitivität, reflexivität und antisymmetrie zeige.

Hast du vielleicht ne vertändliche erklärung an unserem beispiel? (nicht zu ende nur die ansätze)

edit: steht nichts weiter da. bezüglich injektivität
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Reflexivität heisst :



Wissen tust Du das gilt, da R eine part. Ordnung ist.

Transitivität:

Auch hier verwendest Du R bereits eine Ordnung ist, es ist also

das wissen wir.

das brauchen wir.

Tja, was die Antisymmetrie angeht, wenn A nicht injektiv ist passiert folgendes :

Seien dann gibt es zwei Mengen mit . Dann ist, da R eine partielle Ordnung ist und damit . Das heisst a und b kommen aus der gleichen Menge, sind aber nicht notwendigerweise gleich. Wenn A injektiv wäre, dann schon.

Man könnte aber die Relationsdefinition noch einmal modifizieren. Wenn man noch den Ausdruck mit einem logischen und hinzufügt.Das müsste dann hinhauen.

edit:

Das mit der Antisymmetrie geht so auch nicht. Reflexiv und Transitiv ist die Relation aber jedenfalls schonmal. Vielleicht kann man die Relation ja noch retten.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

ich danke dir bis hierhin. ich melde mich morgen nochmal dazu und lese mir im Rudin nochmal alels dazu durch...

Bis dahin!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst ja mal die Aufgabe im original Wortlaut wiedergeben und mal sagen wie ihr die partielle Ordnung definiert habt.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

So wie ichs geschrieben habe, ist die aufgabe angegeben. Nichts sonjst. auch keine vorherige aufgabe die anschließen könnte.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Reflexivität heisst :





Das heißt es muss a aus M1 so geben, dass a in beiden Urbildmengen von x und y ist und x,y element R sind oder?

??
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Man soll mit Hilfe von A und der partiellen Ordnungsrelation R auf eine partielle Ordnung auf definieren. Das heisst wir müssen uns die Urbilder von A anschauen, und ohne das A injektiv ist wird es schiwerig.

Man kann das Ganze für eine strenge schwache Ordnung leicht Beweisen, Für eine partielle Ordnung kommen sich Antisymmetrie und Reflexivität ins Gehege. Vielleicht sieht ja jemand anderes eine Möglichkeit eine Relation zu definieren. Ich werd auch nochmal drüber nachdenken.

Zitat:
Das heißt es muss a aus M1 so geben, dass a in beiden Urbildmengen von x und y ist und x,y element R sind oder?


Das ist viel einfacher. Sei und dann gibt es ein . Wegen der Reflexivität von R gilt , damit folgt sofort .
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe das gleiche Problem bei der Antisymmetrie.

Abgesehen davon finde ich die Formulierung mit den Urbildern aber sehr umständlich. Wie wäre es einfach mit

.

Das ist exakt die gleiche Relation, einfach weil nichts anderes bedeutet als .
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
.


Hammer

Hätte man auch drauf kommen können. Aber das eigentliche Problem besteht weiterhin, daher vermute ich irgendwo noch fehlende Information.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Transitivität:

Auch hier verwendest Du R bereits eine Ordnung ist, es ist also

das wissen wir.

das brauchen wir.


Sei a,b,c in M1 und x,y,z in M2 und und und

Dann folgt aus





Ist damit transitivität gezeigt?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

So wie Du es aufgeschrieben hast ist es ungenau. Bis hierhin

Zitat:
Sei a,b,c in M1 und x,y,z in M2 und und und


ok. Als zusätzliche Annahme würde ich noch schreiben. Daraus folgt , wegen der der Definition von dass . Daraus folgt, da R eine partielle Ordnung ist, dass . Es gibt also für




daraus folgt wegen der Definition von dass auch , damit ist die Relation transitiv. Du kannst auch die äquivalente Fomrulierung von Mathespezialschüler verwenden. Diese beschreibt exakt die gleiche Relation wie meine, nur einfacher Augenzwinkern .

Was bei Deinem Beweis gefehlt hat war die Begründung warum



Der Rest ist aber in Ordnung.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

ah alles klar. vielelicht noch eins:

Zitat:
Daraus folgt , wegen der der Definition von dass .


Das folgt da und oder?

Dann folgt aus . .


Ich begründe also zuerst mit der zugehörigkeit von c zur urbildmenge von z, dass (x,y) und (y,z) element R und dann folgt (x,z) element R. und dann zeige ich mit der Zugehörigkeit von c zur urbildmenge von z, dass (a,c) element R* ist.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

und was ist jetzt wegen der Antisymmetrie?

Es gibt keine anderen Informationen so leid es mir tut^^. Ich schreibe einfach drüber, dass die Abb injektiv ist. Ansonsten scheint sie ja nicht sooo einfach zu lösen zu sein.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich begründe also zuerst mit der zugehörigkeit von c zur urbildmenge von z, dass (x,y) und (y,z) element R und dann folgt (x,z) element R. und dann zeige ich mit der Zugehörigkeit von c zur urbildmenge von z, dass (a,c) element R* ist.


Ja, so gehts. Bis darauf das Du den ersten Teilsatz

Zitat:
Ich begründe also zuerst mit der zugehörigkeit von c zur urbildmenge von z


streichen kannst. Die Begründung warum gilt, ist weil wir annehmen das .

Zitat:
und was ist jetzt wegen der Antisymmetrie?


Wenn Du noch Zeit hast kannst Du ja mal den Übungsleiter oder Tutor diesbezüglich fragen.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

ja hab morgen noch ein seminar vor der abgabe. Da die aufgabe ja heißt ich soll aus einer bestehenden partiellen ordnung eine partielle ordnung auf einer anderen Menge konstruieren, gehe ich stark davon aus, dass es bei den gegebenen vorraussetzungen möglich sein soll eine partielle ordnung zu etablieren. Sprich ich muss davon ausgehen, dass die abbildung injektiv ist. sonst wäre ja wie gesagt a,b aus der gleichen menge (der urbildmenge von x oder y für x=y) aber nicht notwendigerweise a=b.
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