injektiv, surjektiv, bejektiv - Bsp.

20.10.2009, 15:40

Mia9

injektiv, surjektiv, bejektiv - Bsp.

Hallo, ich sitz hier an einer, bzw. mehreren Aufgaben , an denen ich nicht wirklich weiter komme.

C1. Geben Sie je ein Beispiel für eine Abbildung phi: Z -> Z an, die folgende Eigenschaften besitzt:
(a) bijektiv und von I[Z] verschieden
(b) surjektiv, aber nicht injektiv
(c) injektiv, aber nicht surjektiv
(d) weder injektiv noch surjektiv .
Geben Sie für das Beispiel in (a) die zugehörige Umkehrabbildung an und bestimmen Sie für alle Beispiele
in (a) - (d) die Menge phi hoch minus ({1; 2; 3})

bei a) von I [Z] verschieden - was bedeutet das?

für B) habe ich folgenden Lösungsvorschlag:

x={a,b,c,d} y={k element von Z : 1kleiner gleich k kleiner gleich3}

phi (a)= 2, phi (b) =3, phi (c)= 1, phi (d)= 3

wegen R (phi) {1,2,3} =Z surjektiv
wegen phi (b) = 3 = phi (d) nicht injektiv.

könnte man das so schreiben, oder wie mache ich es richtig. Könntet ihr mir auch nen Lösungsansatz für die anderen teilaufgaben geben??

Danke.

20.10.2009, 15:47

Mazze

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Zitat:

bei a) von I [Z] verschieden - was bedeutet das?

Das bedeutet das Du die Identität auf Z nicht benutzen sollst. DIe Identität ist halt die einfachste Abbildung , nämlich $\begin{eqnarray*} I(x) = x \end{eqnarray*}$ . Die ist natürlich bijektiv.

Zitat:

könnte man das so schreiben, oder wie mache ich es richtig. Könntet ihr mir auch nen Lösungsansatz für die anderen Teilaufgaben geben??

Naja, deine Abbildung die Du konstruiert hast ist surjektiv und nicht injektiv, allerdings hast Du die Teilaufgabe trotzdem nicht erfüllt. Deine Abbildung soll auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ definiert sien und nach ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ abbilden. Ansonsten ist die Aufgabe wohl dazu gedacht sich an die Begriffe zu gewöhnen. Spiel ein wenig rum mit möglichen Abbildungen.

20.10.2009, 19:30

Mia9

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Ich hatte schon mit dieser Lösung so meine Probleme....

Wie beziehe ich denn das jetzt auf ganz Z, als wie mache ich das allgemeiner?

20.10.2009, 22:17

Mazze

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Hierbei ist wirklich ein wenig Kreativität gefragt. Es gibt viele Abbildungen die die geforderten Eigenschaften haben. Hier mal ein Paar Beispiele :

$\begin{eqnarray*} f_1(x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_2(x) = x + a \text{ für } a \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_3(x) = \begin{cases} x + 1 & x \text{ gerade } \\ x - 1 & x \text{ ungerade} \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_4(x) = x^2 \end{eqnarray*}$

Hierbei sind nicht alle Deine Fälle abgedeckt, aber Du hast schonmal eine Idee. Die f's sind alle auf den ganzen Zahlen definiert und bilden alle in die ganzen Zahlen ab.

22.10.2009, 12:40

Mia9

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ich hab folgende Ideen:

c) f (x) = 2x,
d) f (x) = x²

nun soll ich auch noch die Umkehrabbildung phi hoch -1 ({1; 2; 3}) bilden.

D.h. also für d) = {1, 1/4, 1/9}

c) ={1/2, 1/4, 1/6} ist das so richtig??

dennoch hab ich noch keine Idee wie das für a) und b) aussehen könnte.

22.10.2009, 13:01

Mazze

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Du solltest schon noch nachweisen das die Funktionen die Eigenschaften tatsächlich haben. Dein Beispiel für c) ist aber richtig. Dein Beispiel für d) ist auch richtig! Eine von meinen Funktionen die ich geschrieben habe ist ein Beispiel für a).

Zitat:

nun soll ich auch noch die Umkehrabbildung phi hoch -1 ({1; 2; 3}) bilden.

Für a) sollst Du eine Umkehrabbildung finden. Für die anderen nur die Urbilder der Menge $\begin{eqnarray*} \{1,2,3\} \end{eqnarray*}$

angeben.

Zitat:

c) ={1/2, 1/4, 1/6} ist das so richtig??

Die Urbilder sind eine Teilmenge der Urbildmenge, gilt denn $\begin{eqnarray*} \left\{\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{6}\right\} \subset \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ? Wohl nicht. Die Menge $\begin{eqnarray*} \phi^{-1}\left(\left\{1,2,3\right\}\right) \end{eqnarray*}$

ist so Definiert :

$\begin{eqnarray*} \phi^{-1}\left(\left\{1,2,3\right\}\right) = \left\{x \in \mathbb{Z} | \phi(x) \in \left\{1,2,3\right\}\right\} \end{eqnarray*}$

Als Beispiel: Die Menge $\begin{eqnarray*} \phi^{-1}\left(\left\{1,2,3\right\}\right) \end{eqnarray*}$ für die Aufgabe c) bei Deiner Funktion ist $\begin{eqnarray*} \{1\} \end{eqnarray*}$ .

22.10.2009, 14:14

Mia9

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also müssten die Urbilder der Menge {1,2,3} für d) = leere Menge sein.

zu a) f(x) = 0; die Urbilder der Menge {1,2,3} = eine leere Menge. und eine Umkehrabbildung existiert nicht.

Hab ich das jetzt richitg verstanden?

dann fehlt mir nur noch b)

22.10.2009, 14:38

Mazze

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Zitat:

also müssten die Urbilder der Menge {1,2,3} für d) = leere Menge sein.

Naja, $\begin{eqnarray*} 1^2 = 1 \end{eqnarray*}$ der Rest geht nicht, daher ist die Urbildmenge in d) die selbe wie in c).

Zitat:

zu a) f(x) = 0; die Urbilder der Menge {1,2,3} = eine leere Menge. und eine Umkehrabbildung existiert nicht.

Ich sagte eine meiner Funktionen ist bijektiv, nicht die erste Funktion. Die Funktion f(x) = 0 ist weder injektiv noch surjektiv.

Was die b) angeht fällt mir nur ein recht "schwieriges" (aber korrektes Beispiel ein). Die Mengen $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}, \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ sind gleichmächtig, d.h es gibt eine bijektive Funktion $\begin{eqnarray*} \psi : \mathbb{N} \to \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Dann setzen wir :

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} \psi(x) & x > 0 \\ 0 & x \leq 0\end{cases} \end{eqnarray*}$

Diese Funktion ist surjektiv aber nicht injektiv. Das psi muss man dann natürlich angeben.

22.10.2009, 15:04

Mia9

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Den Hinweis zu b) nehme ich zwar auf, jedoch verstehen tu ich ihn nicht wirklich. Darum weiß ich auch nicht die Urbilder der Menge...

zu a) ihre angegebene Funktion $\begin{eqnarray*} f 2 (x) \end{eqnarray*}$ kann nicht stimmen, ich hab mir das verbildlicht an $\begin{eqnarray*} f (x) = 2+ x \end{eqnarray*}$ . also stimmt dann ihr angegebene Funktion 3. also $\begin{eqnarray*} f (x) = x + 1 \end{eqnarray*}$ mit x=ungerade.

Die Urbilder der Menge sind dann: {1,4} und die Umkehrabbildung lautet: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+ x} \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe das ist jetzt so richtig!

22.10.2009, 15:18

Mazze

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Dir fehlt wirklich noch einiges an grundlegendem Verständnis für die Aufgabe. Die Funktion

$\begin{eqnarray*} f_2(x) = x + a \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ bijektiv, also ein perfektes Beispiel für a).

Injektiv :

Sei $\begin{eqnarray*} f_2(x) = f_2(y) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} x + a = y +a \Leftrightarrow x = y \end{eqnarray*}$ , damit ist die Funktion injektiv.

Surjektiv :

Sei $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} m - a \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} f_2(m - a) = m - a + a = m \end{eqnarray*}$

Damit ist die Funktion auch Surjektiv !

Allerdings hast Du recht, die Funktion nummer 3 ist ebenfalls ein Beispiel für a).

Zitat:

Die Urbilder der Menge sind dann: {1,4}

Das ist leider Falsch, die Urbilder sind $\begin{eqnarray*} \{0,2,3\} \end{eqnarray*}$ ,denn :

0 ist gerade : $\begin{eqnarray*} f_3(0) = 0 +1 = 1 \end{eqnarray*}$
2 ist gerade : $\begin{eqnarray*} f_3(2) = 2 + 1 = 3 \end{eqnarray*}$
3 ist ungerade : $\begin{eqnarray*} f_3(3) = 3 - 1 = 2 \end{eqnarray*}$

andere Urbilder gibts es nicht. Die Umkehrfunktion ist die Funktion selber. D.h

$\begin{eqnarray*} f_3(f_3(x)) = x \end{eqnarray*}$

Zitat:

Den Hinweis zu b) nehme ich zwar auf, jedoch verstehen tu ich ihn nicht wirklich.

Man kanns auch direkt machen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} 0 & x \leq 0 \\ - \frac{x}{2} & \text{ x gerade und } x > 0 \\ \frac{x - 1}{2} & \text{ x ungerade und } x > 0\end{cases} \end{eqnarray*}$

Das ist ein Beispiel für b).

22.10.2009, 15:55

Mia9

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Es tut mir ja leid wenn ich es nicht verstehe aber ich versuche schon mein bestes!

also zusammengefasst kann ich zu a) schreiben: $\begin{eqnarray*} f (x) = x + a, a \in Z \end{eqnarray*}$ mit dem direkten Bsp: $\begin{eqnarray*} x+ 1 \end{eqnarray*}$ . damit müsste dann die Menge der Urbilder {2,3,4} sein.

denn 1 + 1 = 2
2+ 1= 3
3+1 = 4.

Und die Umkehrabbildung ist die Funktion selbst: $\begin{eqnarray*} x+a \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe das ist jetzt richitg und die Aufgabe geschafft.

Vielen Dank für ihre Bemühungen.

22.10.2009, 16:02

Mazze

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Zitat:

Es tut mir ja leid wenn ich es nicht verstehe aber ich versuche schon mein bestes!

Ich hab dich dafür nicht kritisiert, ich habs nur festgestellt Augenzwinkern

. Erklärung :

Sei $\begin{eqnarray*} f:A \to B \end{eqnarray*}$ eine Funktion, dann heisst A Urbildmenge und B Bildmenge. Das bedeutet, wenn Du $\begin{eqnarray*} b \in B, a \in A \text{ mit } f(a) = b \end{eqnarray*}$ hast, dann heisst a Urbild und b Bild. Das heisst, wenn Du die Funktion

$\begin{eqnarray*} f_2(x) = x + 1 \end{eqnarray*}$

betrachtest, dann schaust Du nach für $\begin{eqnarray*} \{1,2,3\} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} x + 1 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x + 1 = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x + 1 = 3 \end{eqnarray*}$

Jede Lösung einer dieser Gleichungen ist ein Urbild. Du wirst feststellen das die Urbilder gerade $\begin{eqnarray*} \{0,1,2\} \end{eqnarray*}$ sind.

Zitat:

Und die Umkehrabbildung ist die Funktion selbst: $\begin{eqnarray*} x+a \end{eqnarray*}$ .

Du solltest mal Deine eigenen Aussage überprüfen. Wenn x + a die Umkehrabbildung von x + a wäre, dann müsste $\begin{eqnarray*} f_2(f_2(x)) = x \end{eqnarray*}$ sein. Es ist aber $\begin{eqnarray*} f_2(f_2(x)) = x + 2a \end{eqnarray*}$ . Ich habe gesagt dass $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ die Umkehrfunktion von sich selbst ist, nicht $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ . Die Umkehrabbildung von $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f^{-1}_2 (x) = x - a \end{eqnarray*}$ .

22.10.2009, 16:20

Mia9

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Könnten sie mir da nochmal erklären wie ich die Umkehrabbildung ermittel?

ich dacht so : x+a = x -a
x= x-a so hab ich die Umkehrfunktion erhalten , mach ich das immer so? oder wie erhalte ich es ?

22.10.2009, 16:22

Mazze

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Zitat:

Könnten sie mir da nochmal erklären wie ich die Umkehrabbildung ermittel?

Das kommt entschieden auf die Funktion an. Bei manchen ist es einfach, bei anderen wiederum nicht. In diesem Fall ist es einfach, wir haben :

$\begin{eqnarray*} f_2(x) = x + a \end{eqnarray*}$ dafür schreiben wir

$\begin{eqnarray*} y = x + a \end{eqnarray*}$ und stellen das Ganze nach x um

$\begin{eqnarray*} y - a = x \end{eqnarray*}$ dann tauschen wir y und x

$\begin{eqnarray*} y = x - a \end{eqnarray*}$ und erhalten die Umkehrfunktion :

$\begin{eqnarray*} f^{-1}_2(x) = x - a \end{eqnarray*}$ Wir überprüfen das Ergebnis :

$\begin{eqnarray*} f_2(f_2^{-1}(x)) = f_2(x - a) = x - a + a = x \end{eqnarray*}$

Damit haben wir die Umkehrfunktion gefunden. Es geht nicht immer so, aber oft.

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