Geradengleichung, Parallele und Orthogonale erstellen

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Geek123 Auf diesen Beitrag antworten »
Geradengleichung, Parallele und Orthogonale erstellen
Hey,

also, ich habe 2 Aufgaben, an denen ich schlichtweg verzweifle und einfach nicht an die Lösung komme...

"Bestimme zu der vektoriellen Geradengleichung jeweils eine parallele und eine orthogonale Geradengleichung!"


Punkte sind: A(1|1,4) B(-1|6,2)

vektorielle Geradengleichung:

Vektor a + k * Vektor AB


"Bestimme eine analytische Geradengleichung durch A und B

a) zeichnerisch
b) rechnerisch


Lg, Geek - ich hoffe, ich habe beim Posten alles richtig gemacht smile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Analytische Geradengleichung erstellen + parallele und orthogonale Geradengleichung erstellen
Dazu solltest du dir die frage stellen, wann zwei geraden parrallel sind;
zwei geraden sind genau dann parallell zueinander, wenn ihre richtungsvektoren linear abhängig sind.
eine orthogonale gerade findest du entweder über die senkrechte projektion eines vektors entlang eines anderen vektors oder mit hilfe des cosinussatzes, denn wie sieht der cos bei einem winkel von aus?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Analytische Geradengleichung erstellen + parallele und orthogonale Geradengleichung erstellen
Ich konkretisiere das noch mal:
eine gerade ist gegeben durch:



wenn eine andere gerade parallel dazu ist so muss der vektor

linear abhängig zu dem Richtungsvektor der anderen geraden sein.

zu orthogonalität:

es ist das skalarprodukt zweier vektoren gegeben durch:



und es ist der winkel zwischen zwei vektoren:
bei orthogonalität ist der cos des winkels wie gross?
Geek123 Auf diesen Beitrag antworten »

vorweg danke für die Antworten, jedoch werd ich nicht wirklich schlau draus, ich muss anmerken, dass ich erst in der 11. Klasse bin und wir den Cosinus nur in der 10 behandelt haben, dass mir aber in dem Punkt nicht weiter hilft ( jedenfalls nicht mit meinem Vorwissen)

linear abhängig bedeutet gleich?

also bleibt gleich?

hatten bisher nur 2D..


und mit Winkeln haben wir uns dieses Jahr ebenfallskaum bis garnicht befasst, aber der Winkel bei Orthogonalität sollte dann 90° sein, wenn ichs richtig im Kopf hab.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

linear unabhängig bedeutet nicht gleich.
ich rechne dir mal ne aufgabe im dreidimensionalen vor;
gegeben sei die gerade



diese geht durch den punkt




und hat die Richtung




eine dazu parallele gerade hat dieselbe richtung, könnte also zum beispiel sein:



wobei die vektoren
und

linear abhängig ist, da der zweite das zweifache des ersten ist.

die linearkombination

hat für k und r nicht nur die trivialen lösungen k=r=0.

nun zum skalarprodukt zweier vektoren:



und das muss ja 0 sein, wenn die vektoren senkrecht aufeinander stehen sollen;
Geek123 Auf diesen Beitrag antworten »

Paralellität hab ich verstanden, danke dafür.

aber was bedeutet "trviale Lösungen"?

mit dem Orthogonalen ist auch einleuchtend, haben wir zwar anders gemacht, aber kommt das Gleiche raus smile

(haben das so gemacht, dass für Orthogonalität eben bei einer linearen Funktion die Steigung mx der negative Kehrwert davon ist, bei 2 z.B. wäre das orthogonale -1/2)


btw: Was bedeutet das "analytisch" im Begriff "analytische Geradengleichung"?
 
 
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

trivial heisst sowas wie altbekannt, ein Umstand, der als naheliegend, für jedermann ersichtlich oder leicht zu erfassen angesehen wird, in der mathematik benutzt man dieses wort ebenso, es ist für jedermann zu erfassen, dass wenn a*b+c*d=0 richtig ist, wenn a*b=0 und c*d=0.

analytische geometrie ist nach heutigem sprachgebrauch der teil der geometrie, der mit den mitteln der linearen algebra betrieben wird.
Geek123 Auf diesen Beitrag antworten »

also, beim Paralellen wärs dann (mit den Werten)



das mit dem Orthogonalen hab ich scheinbar doch nicht ganz verstanden, ändert sich der Stützvektor? und wie?

zudem bist du noch nicht auf die analytische Geradengleichung durch A und B zu sprechen gekommen, wäre nett, wenn du mir das erläutern könntest smile

Lg, Geek.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

ne,
also die gerade durch die punkte


und



ergibt sich doch durch den Vektor von 0 nach A und durch den Vektor von A nach B

also durch:



und das ist



Eine dazu paralelle gerade hat nun einen linear abhängigen richtungsvektor, wäre der stützvektor der gleiche, so hättest du die gleiche gerade.....
bei dir stimmt der richtungsvektor nicht, -1-1=-2 und nicht =0.
die gerade, die du beschrieben hast wäre, wenn denn der Richtungsvektor stimmt parallel zu deiner ausgangsgeraden, aber alle geraden der form

sind parallel zu deiner geraden, jedenfalls für alle



mal dir mal nen paar geraden auf, dann siehst du, dass es ganz egal ist, wie der stützvektor aussieht, prinzipiell ist es egal, an welchem punkt der geraden ich "beginne".
es ist zum beispiel
denn der punkt

liegt ja auch auf deiner geraden.
die stützvektoren müssen nicht linear abhängig sein, die richtungsvektoren aber.

auch bei der rthogonalen geraden kommt es haupsächlich auf den Richtungsvektor an, hier gilt das gleiche;
Die beiden Richtungsvektoren müssenorthogonal zueinander sein, welchen Stützvektor du nimmst ist einerlei.
ich bin schon darauf zu sprechen gekommen, ich habe gesagt, dass analytische geometrie die geometrie ist, die sich den mitteln der linearen algebra bedient, die lineare Algebra befasst sich mit linearen Gleichungen in verschiedenen Variablen, in deinem Fall sind es zwei, die beiden Einträge eines Vektors im zweidimensionalen sind ja nichts anderes als die Abschnitte auf den Achsen, also zwei variablen, x und y.
was du hier betreibst ist geometrie, geometrie mit den mitteln der linearen algebra.....
Geek123 Auf diesen Beitrag antworten »

also, die Geradengleichung durch die beiden Punkte soll ja analytisch - wie du netterweise bereits vorher erklärt hast - also wie einer lineare Funktion aussehen (f(x) = mx + b)

Orthogonal wäre also:



Parallel wäre :




und bei der Geraden durch die Punkte hätte ichs wohl genauso gemacht wie du, jedoch verwirrt mich das "analytisch" - da ich so eine noch nie aufgestellt haben bzw musste, halt bisher nur mit Vektoren..
Geek123 Auf diesen Beitrag antworten »

bzgl der analytischen Geradengleichung:

Könnte die so aussehen?

I 1,4 = m + b |
II 6,2 = -m + b |-

-4,8 = 2m | :2
-2,4=m

Einsetzen in I :

1,4 = m + b
1,4 = -2,4 + b |+2,4
3,8 = b

f (x) = -2,4x + 3,8


oder lieg ich da ganz falsch? verwirrt
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

das gleichungssystem sieht anders aus, die vektorielle darstellung ist richtig.
die Vektoren beschreiben ja den x und y-achsen abschnitt:
mit y=mx+b
suchst du die zwei Punkte auf der geraden liegen:

und hast das LGS

i)
Dazu überlegst du dir, welche punkte denn bereits auf der geraden liegen;
zum Beispiel liegt
auf der geraden, welcher punkt noch?
diese beiden Punkte in i) einsetzten, auflösen...


Edit, kleine Anmerkung: In der Punktdarstellung nicht ein und dasselbe Zeichen als Trennzeichen und Dezimalzeichen verwenden.
Die letzte LaTeX-Zeile ist ja so gemeint:
Gruß, Gualtiero
Geek123 Auf diesen Beitrag antworten »

also dann:

y = mx + b

1,4 = m * 1 + b


- da komm ich nicht weiter, wir hatten leider noch nicht das Gaußverfahren, welches du wohl hier benutzen willst, daher hätte ich jetzt (s.o.) das Subtraktionsverfahren angewandt, würde das denn so stimmen oder ist das komplett falsch?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Weil ich gerade da bin und Igrizu off ist.

Nachdem der Punkt B (-1; 6.2) auch auf der Geraden liegt, kannst Du damit die zweite Gleichung erstellen.
Geek123 Auf diesen Beitrag antworten »

danke Augenzwinkern

also wäre dann:



aber da bin ich doch genauso weit, wie ich oben auch war, also die Sache mit dem Subtraktionsverfahren?!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, dann bist du weiter. Subtrahiere die Gleichungen, b fällt heraus und du kannst nach m lösen. Oder addiere die Gleichungen, dann fällt m heraus und b ist zu ermitteln.

Wenn du beides nicht machen willst (dazu sehe ich allerdings keinen Grund), dann berechne eben b aus einer Gleichung und setze das in die andere ein und gut ist es!

mY+
Geek123 Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar, also ist

Zitat:

I 1,4 = m + b |
II 6,2 = -m + b |-

-4,8 = 2m | :2
-2,4=m

Einsetzen in I :

1,4 = m + b
1,4 = -2,4 + b |+2,4
3,8 = b

f (x) = -2,4x + 3,8


korrekt, danke smile

Echt tolles Board hier, so schnell und kompetent wie mir hier geholfen wurde ! smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

smile Fein!

mY+
Geek123 Auf diesen Beitrag antworten »

eine kleine Frage hätte ich da noch..

gegeben ist eine Gerade g:

g:

diese soll in Koordinatenform angegeben werden, sieht sie dann so aus?

also Koordinatenform ist ja ohne Vektoren, gemeint ist wohl eine Gleichung der Form f(x)= mx + b
jedoch stehe ich da gerade total auf dem Schlauch und mir will so Recht kein Lösungsweg einfallen, evtl so?

y1 = 5 + (-5) *k
y2 = -4 + 12 * k
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, auf der linken Seite aber statt y1, y2 besser x1, x2, denn diese sind ja die Koordinaten eines allgemeinen Punktes X auf der Geraden..

So, und nun k eliminieren (1. Gl. mit 12, 2. Gl. mit 5 multiplizieren, addieren, und da steht sie dann, die Koordinatenform.

mY+
Geek123 Auf diesen Beitrag antworten »

x1 = 5 + (-5) *k | *12
x2 = -4 + 12 * k | *5

12x = 60 - 60k |
5x = -20 + 60k |+


17x = 40 | :17





richtig? smile
Geek123 Auf diesen Beitrag antworten »

hm habe eine Aufgabe, die lautet:

"Wie weit sind C und D vom Koordinatenmittelpunkt entfernt?"
C (-1|1) D(1|-1)

habe hier mal als "Zeichnung" alle Funktionen reingeschrieben, falls es hilft.

Edit (mY+): Du kannst den Plot auch hier im Beitrag direkt einfügen.



ein Bekannter hat mir folgende Lösung vorgeschlagen, jedoch versteh ich da garnichts und hab es so auch noch nie gemacht, zudem steht unten auf dem Arbeitsblatt mit den Aufgaben, dass es für die Aufgabe nur einen Punkt gibt, daher kann ich mir auch nicht vorstellen, dass sie so umfangreich ist, ich hoffe, dass jmd eine einfache(re) Lösung hat smile

Zitat:
Geradenform:
y = m1 * x + t1

Dreiecks-Umreis-Mittelpunkt:
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten.

Mittelsenkrechte einer Gerade:
y = 1/m1 * x + t2

t2: unbekannt - Lösung:
Schnittpunkt von Gerade und deren Mittelsenkrechte benötigt, da die Mittelsenkrechte durch diesen Punkt geht, wodurch man ihn in die Form einsetzen kann. Dieser Punkt liegt genau in der Mitte zwischen den jeweiligen Dreieckspunkten, in diesem Fall Eckpunkt A und B

SOMIT:

Schnittpunkt = 0.5 * [Vektor AB]
Vektor AB =
(Schnittpunkt Gerade 1 mit Gerade 2 | X) * (Schnittpunkt Gerade 2 mit Gerade 3 | X)
(Schnittpunkt Gerade 1 mit Gerade 2 | Y) * (Schnittpunkt Gerade 2 mit Gerade 3 | Y)

Es Folgt:
(VEKTOR.AB X)
(VEKTOR.AB Y)

entspricht
Mittelpunkt mAB (VEKTOR.AB X / VEKTOR.AB Y)

Mittelsenkrechte der Gerade durch die Punkte A, B:
y = 1/m1 * x + t2 einsetzen

VEKTOR.AB Y = (1/m1 * VEKTOR.AB X) + t2

t2 = (VEKTOR.AB Y) / (1/m1 * VEKTOR.AB X)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Geek123
x1 = 5 + (-5) *k | *12
x2 = -4 + 12 * k | *5

12x = 60 - 60k |
5x = -20 + 60k |+

...
richtig? smile

Nein. Denn x1 und x2 bezeichnen verschiedene Variablen! Man kann sie auch mit x und y bezeichnen, tun wir das mal; aber zu 17 .. zusammenzählen darf man das nicht.
Also

12x + 5y = 40

fertig ist die Koordinatenform! Wenn das noch in die Form y = mx + b gebracht werden soll, na dann


_______________________________

Zur anderen Frage: Kennst du die Distanzformel? Mit dieser wird die Länge einer Strecke, d.i. der Abstand der beiden Streckenendpunkte, kurz: Die Distanz zweier Punkte berechnet.
Denke dir die beiden Punkte mittels eines Vektors verbunden und errechne dessen Betrag.

mY+
Geek123 Auf diesen Beitrag antworten »

ah, das hab ich natürlich nicht bedacht, danke.

habe noch nie etwas von einer derartigen Distanzformel gehört, kenne halt nur die Art z.B.

zu errechnen, nämlich

ansonsten wüsste ich nicht, was du damit meinst.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, und nun den Betrag dieses Vektors bestimmen! Wie geht das?
Rechne dies mit den beiden Punkten deiner Aufgabe O(0;0) und C(-1;1)

mY+
Geek123 Auf diesen Beitrag antworten »

ach Koordinatenmittelpunkt ist (0|0)?

dann ist die Sache ja simpel - hätte ich auch drauf kommen können, danke.

also einfach:




hm, klingt alles logisch hört sich aber irgendwie zu einfach an..

ah, wohl noch in LE errechnen, also die Länge ?



selbiges für
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so ist es richtig.

mY+
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