Beweis unter PrimFaktorZerl.

20.10.2009, 20:05

Beweis unter PrimFaktorZerl.

folgende angaben:

sei $\begin{eqnarray*} a, n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ sodass gilt $\begin{eqnarray*} n\neq a² \end{eqnarray*}$ , dann gibt es auch kein rationales x mit x²=n.

Mein ansatz.

Beweis durch widerspruch

Annahme es gibt x aus R sodass gilt:

$\begin{eqnarray*} x=p/q, x²=p²/q² n=p²/q² q²n=p² \end{eqnarray*}$

So jetzt muss ich ja aufgrund der eindeutigen Primfaktorzerlegung was ersetzen. Habe dass in unserer Vorlesung nicht so wirklich mitbekommen. Geht wohl um das ersetzen von q und p und n durch eine beliebige Primzahl kombiniert mit deren Häufigkeit...

Habe da ehrlich geasgt weder etwas mitgeschrieben noch zugehört. Wäre nett wenn mir da jemand auf die sprünge hilft.

Sieht für mich sehr nach Euklid aus nur halt irgendwie für wurzel n und nicht wurzel 2.

21.10.2009, 18:02

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis unter PrimFaktorZerl.
ich bin mir nicht ganz sicher, aber versuch doch mal folgendermassen weiter zu machen:
$\begin{eqnarray*} n=\frac{p^{2} }{q^{2} } \Rightarrow q^{2} *n=p^{2} \Rightarrow n| p^{2} \Rightarrow n| p \end{eqnarray*}$

nun substituieren:
$\begin{eqnarray*} p= n*k ;k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , denn wenn n ein teiler von p ist, so ist p ja als produkt von n und einer geeigneten natürlichen zahl darstellbar.
das mal einsetzten und widerspruch erzeugen.
als vorraussetzung ist vielleicht noch anzugeben, dass $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ vollständig gekürzt ist.

21.10.2009, 22:19

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis unter PrimFaktorZerl.

Zitat:

Original von lgrizu
ich bin mir nicht ganz sicher, aber versuch doch mal folgendermassen weiter zu machen:
$\begin{eqnarray*} n=\frac{p^{2} }{q^{2} } \Rightarrow q^{2} *n=p^{2} \Rightarrow n| p^{2} \Rightarrow n| p \end{eqnarray*}$

Der letzte Schluss ist klar falsch, z.B. gilt

$\begin{eqnarray*} 12|6^2, \textnormal{ aber nicht } 12|6 \end{eqnarray*}$

Nein, man muss mit Hilfe eines Primfaktors r von n argumentieren, der in der Primfaktorzerlegung von n in einer ungeraden Vielfachheit vorkommt und dann mit obigen Bezeichnungen die Paritäten der Vielfachheiten von r in der linken und rechten Seite der Gleichung

$\begin{eqnarray*} q^2*n =p^2 \end{eqnarray*}$

vergleichen...

Neue Frage »

Antworten »

Beweis unter PrimFaktorZerl.

Verwandte Themen