Teilbarkeit beweisen

20.10.2009, 23:08	Lioceria	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeit beweisen Hallo zusammen Ich versuche hier grade eine Aufgabe per Widerspruchsbeweis zu lösen komme aber nicht wirklich vom Fleck. Bei $\begin{eqnarray} x \in \mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x^{2} \end{eqnarray}$ teilbar durch 5 soll bewiesen werden das x ebenfalls durch 5 teilbar ist. Vorweg mal verstehe ich das richtig dass ich bei einem Widerspruchsbeweis eine Annahme machen muss mit der ich dann eine wahre Vorraussetzung (hier $\begin{eqnarray} x \in \mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x^{2} \end{eqnarray}$ teilbar durch 5 ) widerlegen soll ? Als Ansätze hab ich $\begin{eqnarray} \frac{x^{2}}{5} = a \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a \in \mathbb N \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \frac{x}{5} = b \end{eqnarray}$ nur was mach ich jetzt mit b ? $\begin{eqnarray} b \notin \mathbb N \end{eqnarray}$ bringt mich irgendwie nicht weiter. Das ganze ist leider mein erster Versuch in Sachen Beweisführung überhaupt also wahrscheinlich geh ich das irgendwie falsch an. Für Tipps in die richtige Richtung wäre ich sehr dankbar
21.10.2009, 10:07	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilbarkeit beweisen Also ich würde das vielleicht direkt beweisen, ist nicht schwer, $\begin{eqnarray} 5\| x^{2} \Leftrightarrow 5\| \left(xx\right) \Leftrightarrow 5\| x \end{eqnarray}$ denn wenn $\begin{eqnarray} a\| \left(bc\right)\Leftrightarrow a\| b \vee a\| c \end{eqnarray}$
21.10.2009, 10:09	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht kennt er diese Eigenschaft von Primzahlen noch nicht oder darf sie nicht verwenden. Die Annahme dass x nicht durch 5 teilbar ist, ist immer gut. Also ist dann x=5k+i mit 0<i<5. Bringe dies zum Widerspruch mit 5 \| x^2
26.10.2009, 21:54	Andi853	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man irgendwie mit diesem Term weiterarbeiten oder ist das eine Sackgasse? $\begin{eqnarray} x = \frac{a}{b} \end{eqnarray}$ Ich hab mal $\begin{eqnarray} \frac{x}{5} = b \end{eqnarray}$ nach 5 aufgelöst und in das hier $\begin{eqnarray} \frac{x^{2}}{5} = a \end{eqnarray}$ eingesetzt...
26.10.2009, 22:18	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
du benutzt die teilbarkeit: wenn x nicht durch 5 teilbar ist, so entsteht ein rest, wenn man x durch 5 dividiert also x=5k+r, 0<r<5. jetzt wird das ganze quadriert führt zu $\begin{eqnarray} x^{2}=\left(5k+r\right) ^{2}=25k^{2}+10rk+r^2 \end{eqnarray}$ es gilt ja $\begin{eqnarray} 5\| x^{2} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} 5\| \left(5k+r\right) ^{2}\Rightarrow 5\| \left(25k^{2}+10rk+r^2\right) \end{eqnarray}$ nun ist sicherlich klar, dass gilt $\begin{eqnarray} 5\| \left(25k^{2}\right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 5\| \left(10rk\right) \end{eqnarray}$ denn: $\begin{eqnarray} a\| b\Rightarrow a\| \left(bz\right) \forall z\in \mathbb Z \end{eqnarray}$ was bedeutet das für $\begin{eqnarray} r^{2} \end{eqnarray*}$ bzw. für r ? überlege jetzt, ob eine Zahl eine Summe teilen kann, wenn sie genau einen der summanden nicht teilt.
27.10.2009, 00:08	Andi853	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Ich hab gerade einen anderen Weg gefunden(denke ich jedenfalls), nämlich über die Teilbarkeitsregeln; also ohne Rest: Vorausgesetzt: Ist $\begin{eqnarray} a\|b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a\|c \end{eqnarray}$ so folgt: $\begin{eqnarray} a\|(kb+cl) \end{eqnarray}$ Auf dieses Problem angewandt heisst das: Ist $\begin{eqnarray} 5\|x^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 5\|x \end{eqnarray}$ so folgt: $\begin{eqnarray} 5\|(x^2k+xl) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ kann man auch schreiben als: $\begin{eqnarray} x^2=q5 \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} x=r5 \end{eqnarray}$ In die obere Relation eingesetzt heisst das: $\begin{eqnarray} 5\|(5qk+5rl) \end{eqnarray}$ 5 ausklammern: $\begin{eqnarray} 5\|(qk+rl)5 \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} (qk+rl) \end{eqnarray*}$ durch 5 teilbar (Hoffe mal das ist richtig ^^)
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27.10.2009, 00:26	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Weiß nicht, denn du nimmst die zu beweisende Behauptung als Voraussetzung. Warum soll man x als 5r schreiben können, wenn es noch nicht einmal bewiesen ist? Also der Beweis von lgrizu gefällt mir gut. Den kann man verwenden. Eine Verdeutlichung von mir: Du schaust dir x mod 5 und x^2 mod 5 an, also die Reste. Dann hätten wir: Rest (x mod 5) : 0 1 2 3 4 Quadratrest (x^2 mod 5) : 0 1 4 4 1 Zum Rest 0 gehört der Quadratrest 0, zum Rest 1 der Quadratrest 1, zum Rest 2 der Quadratrest 4, zum Rest 3 der Quadratrest 4, zum Rest 4 der Quadratrest 1. Dann siehst du, dass, wenn der Quadratrest 0 ist, auch der Rest 0 ist.

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