Anordnungsaxiome Restklassenkörper

Neue Frage »

lilithilli1210 Auf diesen Beitrag antworten »
Anordnungsaxiome Restklassenkörper
Hi hatte die Frage auch schon in nem anderen Beitrag gestellt, aber leider wird nicht darauf eingegangen, also dacht ich mir ich eröffne nochmal einen ganz neuen Thread:

Also die Aufgabe 2 ist nicht das Problem die habe ich soweit gelöst.
Mit einer Verknüpfungstafel.

Ich habe allerdings keinen Ansatz für die Aufgabe 3 die ja irgendwie an Aufgabe 2 anknüpft. Ich verstehe nicht wie ich da beginnen soll.
Die Anordnungsaxiome sind ja die mit den a<b bzw. b<a usw....
Bei Bedarf kann ich sie auch gerne nochmal anhängen.
Kann mir jmd einen Tip geben, wie ich das Problem angehen muss.

Hier die Aufgabenstellungen:

Aufgabe 2.
Für n Element aus {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} bezeichne ¯n die Menge der natürlichen Zahlen,
die bei Division durch 7 den Rest n lassen, also etwa ¯3 = {3, 10, 17, 24, 31, 38 . . .}.
Bezeichne K := {¯0, ¯1, ¯2, ¯3, ¯4, ¯5, ¯6}. Zu ¯n, ¯m Element aus K existiert eine eindeutig bestimmte Zahl k Element aus {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} mit n + m Element aus ¯k.

Wir definierenn ¯n + ¯m := ¯k. Analog sei ¯n · ¯m definiert durch ¯n · ¯m := L, falls n · m Element aus L. Zeigen Sie, dass K mit den so definierten Verknüpfungen + und · die Körperaxiome (1.1)–(1.9) (mit K anstelle von R) erfüllt.
(Das Rechnen mit ganzen Zahlen sei in dieser Aufgabe als bekannt vorausgesetzt.)

Aufgabe 3.
Zeigen Sie, dass auf dem Körper (K, +, ·) aus Aufgabe 2 keine Beziehung <
erklärt werden kann, so dass die Anordnungsaxiome (2.1)–(2.4) (mit K anstelle von R) erfüllt sind.

Vielen Dank schon mal im Voraus

Edit: Etwas übersichtlicher gestaltet. Außerdem: Vorraus->Voraus! Gruß, Reksilat.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Hi lilithilli,

Nimm einfach an, dass Du eine Ordnung auf dem Körper hast und führe das zum Widerspruch. Es ist ja , also oder . Kann man eines davon anhand der Axiome ausschließen?
Dann schau Dir das Element an. Ist das größer oder kleiner als 0?
Was ist mit ?

Gruß,
Reksilat.
lilithilli1210 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

zu also oder
würde mir jetzt nur einfallen, dass wohl nur in frage kommt,
weil ja eine Zahl mit Rest immer höher ist, als die zahl mit rest , die ja davor liegt,

außer man nimmt eine andere zahl mit rest die höher liegt,

also z.b. bei der restklasse 7: 8, hat rest 1, 14 hat rest 0, 14 ist aber >8.


aber rein nach den resten ist .
Aber ich kann nicht sehen,
wie ich das an irgendwelchen axiomen sehen kann.


ich gehe jetzt einfach ma davon aus dass nur stimmen kann.


dann ist auch

und dann ist eigentlich auch , aber wiederrum , somit läge hier der der Widerspruch und somit ist das Anordnungsaxiom 2.1 verletzt und somit besteht keine Beziehung


Liebe Grüße lili

P.S.: danke für die Überarbeitung und die Rechtschriebkontrolle Augenzwinkern Freude
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
zu also oder würde mir jetzt nur einfallen, dass wohl nur in frage kommt, weil ja eine Zahl mit Rest immer höher ist, als die zahl mit rest , die ja davor liegt,

Das ist nicht richtig, denn -13 hat zum Beispiel auch den Rest 1, ist aber kleiner als 0.

Die Begründungen haben ausschließlich anhand der Axiome zu erfolgen. Das ist hier entscheidend.

Auf Wikipedia findest Du auch ein paar Tipps.

Gruß,
Reksilat.
lilithilli1210 Auf diesen Beitrag antworten »

ah vielen Dank,
jetzt sehe ich was smile

Wir hatten in der VL nämlich auch irgendwo gezeigt,
dass ja gilt.

Und insbesondere gilt dann ja ,
wie auch auf Wikipedia behauptet wird.

Also ist

stimmt meine Schlussfolgerung dann trotzdem??
also dass es ein Widerspruch gibt bei 6=-1 >0

LG Lili
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du mit den Axiomen nachweisen kannst, dass 6>0 und -1<0 ist, dann bist Du fertig.

Natürlich müssen hier auch überall die Querbalken stehen. Es ist schließlich nicht , aber
 
 
lilithilli1210 Auf diesen Beitrag antworten »

also 6 > 0 , weil 6>1>0 und somit 6>0

und es gilt immer -a<0<a oder -a>0>a, da 1>0 gilt: 1>0>-1

reicht das aus? oder muss das genauer gezeigt werden?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Und wieso ist dann 6>1? Aus welchem Axiom folgerst Du das? Wenn Du das zeigst, bist Du fertig.
lilithilli1210 Auf diesen Beitrag antworten »

aus dem Axiom, dass wenn a<b und b<c, dann folgt a<c.
bei uns is das Axiom 2.2.

achso, noch ne ganz kleine frage zur aufgabe 2: wenn ich da verknüpfungstafeln aufstelle, müssen diese auch mit querbalken stehen oder geht es auch ohne? und bei den axiomen, z.b. neutrales element der addition, muss ich da angeben oder

LG Lili
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
aus dem Axiom, dass wenn a<b und b<c, dann folgt a<c.
bei uns is das Axiom 2.2.

Damit zeigst Du, dass aus 0<1 und 1<6 auch 0<6 folgt. Die Frage die ich gestellt habe war aber, weshalb 6>1 ist. Eigentlich hast Du 6>0 aber auch schon in Beitrag #3 gezeigt. Du musst Dir nur sicher sein, welches Axiom Du jeweils verwendest. Ich kann nur nochmal wiederholen, dass Du hier jeden einzelnen Schritt mit einem Axiom begründen musst - das ist elementarer Bestandteil dieser Aufgabe.

Zitat:
achso, noch ne ganz kleine frage zur aufgabe 2: wenn ich da verknüpfungstafeln aufstelle, müssen diese auch mit querbalken stehen oder geht es auch ohne? und bei den axiomen, z.b. neutrales element der addition, muss ich da angeben oder

Da Du hier nur mit Restklassen rechnest, sollten die Querbalken auch überall dabeistehen. Mit den Zahlen hat das hier nichts mehr zu tun (deshalb ist ja auch 1>0 nicht trivial).
Wenn Du sie aus Schreibfaulheit (wie hier im Thread ;-)) weglassen willst, dann solltest Du das dazuschreiben. Ob der Korrektor das akzeptiert, kann ich aber beim besten Willen nicht beurteilen.

Gruß,
Reksilat.
lilithilli1210 Auf diesen Beitrag antworten »

könntest du nochmal ganz schnell drüber schaun, ob sich jetzt auch kein Fehler eingeschlichen hat:












und nach der selber Art die Verknüpfungstafel für Multiplikation ( ist jetzt echt zu mühsam das in latex zu schreiben^^)

achso, dann habe ich aufm Blatt jetzt noch überall nen Querbalken hin

dann:

neutrales Element der Addition ist die denn es gilt wie man an der Tabelle sieht:

genauso für neutrales Element der Multiplikation mit

dann es gilt wie man an der Symmetrie der Verknüpfungstafel 1 sehen kann.

genauso für

dann Inverse: Addition: jeweils die Elemente die zusammen ergeben: also jeweils

fehlt noch: Assoziativ und Distributivgesetz:

da bin ich zur Zeit noch dran, für jeden Tip bin ich natürlich dankbar Augenzwinkern

so dann Aufgabe 3

ich nehme an es sei ein geordneter Körper

dann gilt also oder

aus und insbesondere

jetzt dein beispiel:

ich kann zeigen dass da gilt
bzw.
somit also :

so jetzt muss ich noch zeigen, dass

da
ist auch
somit ist der Wiederspruch dass

natürlich muss ich über alle Zahlen wie du angemerkt hast einen Querbalken machen, nur mit Latex ist das sehr mühsam. Augenzwinkern

liegt jetzt noch ein großer Fehler oder eine große Lücke vor, oder ist das soweit richtig und schlüssig?

Danke für deine Hilfe bis jetzt, habe jetzt nicht nur eine Lösung sondern auch alles sehr gut verstanden, vielen vielen Dank!! Freude Wink

LG Lili
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »