Dreieckgröße aus viertem Punkt

22.10.2009, 10:16

Selachoideus

Dreieckgröße aus viertem Punkt

Guten Tag!

Ich stehe vor folgender Aufgabe:

Gegeben sei ein gleichseitiges Dreieck mit den Punkten A, B, C und der Seitenlänge x.
Dazu gibt es einen Punkt D. Die Länge der Strecken a=AD, b=BD und c=CD sind bekannt:
a=700m
b=600m
c=350 m

Frage: Wie lang ist x?

Mein Problem ist das Verhältnis der drei Strecken zu den drei Winkeln um D. Kennt man diese, kann man einen der drei Winkel berechnen und damit dann auch x.

22.10.2009, 11:58

riwe

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RE: Dreieckgröße aus viertem Punkt
wenn du x berechnen sollst, würde ich es mit dem cosinussatz versuchen.
dann hast du 3 gleichungen für 3 unbekannte smile

allerdings wird das alles sehr häßlich

22.10.2009, 13:33

Selachoideus

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RE: Dreieckgröße aus viertem Punkt

Zitat:

Original von riwe
wenn du x berechnen sollst, würde ich es mit dem cosinussatz versuchen.
dann hast du 3 gleichungen für 3 unbekannte smile

allerdings wird das alles sehr häßlich

Danke für den Hinweis :-)

Winkel zwischen a und c heiße ALPHA3, zwischen a und b ALPHA1 und zwischen b und c ALPHA2.

I. x² = a²+b²-2ab * cos(360°- ALPHA2 - ALPHA3)
II. x² = b²+c²-2bc * cosALPHA2
III. x² = a²+c²-2ac * cosALPHA3

II. = III.:

b²-2bc * cosALPHA2 = a²-2ac * cosALPHA3 | -b², ^-1

2bc * cosALPHA2 = b²+2ac * cosALPHA3-a² | :2bc, arccos

ALPHA2 = arccos ((b²+2ac * cosALPHA3-a²)/2bc)

Einsetzung in I:

x² = a²+b²-2ab * cos(360°- arccos ((b²+2ac * cosALPHA3-a²)/2bc) - ALPHA3)

Damit und mit III. gibt es zwei Gleichungen für x und ALPHA3:

c²-2ac * cosALPHA3 = b²-2ab * cos(360°- arccos ((b²+2ac * cosALPHA3-a²)/2bc) - ALPHA3) | -b², +2ac * cosALPHA3

c²-b² = 2a(c * cosALPHA3-b * cos(360°- arccos ((b²+2ac * cosALPHA3-a²)/2bc) - ALPHA3) ) | :2a

(c²-b²)/2a = c * cosALPHA3 - b * cos (360° - ALPHA3 - arccos ((2ac * cos ALPHA3 + b² - a²)/2bc))

Jetzt müsse ich noch wissen, ob arccos(p+q)=arccos(p)+arccos(q) und cos(p+q)=cos(p)+cos(q) gilt oder ob man das anders auflösen muß.

22.10.2009, 15:09

riwe

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RE: Dreieckgröße aus viertem Punkt
das mußt du (leider) anders auflösen

nur am rande: cos(360 - x) = cos(x)

wenn es genau genug ist
da geht´s natürlich einfach smile

22.10.2009, 17:28

Selachoideus

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RE: Dreieckgröße aus viertem Punkt

Zitat:

Original von riwe
das mußt du (leider) anders auflösen

nur am rande: cos(360 - x) = cos(x)

wenn es genau genug ist
da geht´s natürlich einfach smile

Danke für das Bild, es entspricht meiner Skizze hier auf Papier. Leider soll das Ergebnis mindestens metergenau sein.

Mit cos (360° - WINKEL) = cos WINKEL kann ich obigen Term vereinfachen auf:

(c²-b²)/2a = c * cos ALPHA3 - b * cos (ALPHA3 + arccos (cos ALPHA3 * a/b + b/2c - a²/2bc))

Leider komme ich nicht so richtig weiter unglücklich

Gibt es irgendwo eine Erklärung, wie man Summen im Arcuskosinus und Kosinus auflöst, leider habe ich noch keine gefunden?

22.10.2009, 18:15

riwe

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RE: Dreieckgröße aus viertem Punkt

Zitat:

Original von Selachoideus

Zitat:

Original von riwe
das mußt du (leider) anders auflösen

nur am rande: cos(360 - x) = cos(x)

wenn es genau genug ist
da geht´s natürlich einfach smile

Gibt es irgendwo eine Erklärung, wie man Summen im Arcuskosinus und Kosinus auflöst, leider habe ich noch keine gefunden?

naja, das obige ergebnis ist auf 5 cm genau smile

$\begin{eqnarray*} cos(x+y)=cosx\cdot cosy -sinx\cdot siny \end{eqnarray*}$ viel spaß damit

und es sollte auch noch einen punkt außerhalb des 3ecks geben, der deine bedingung erfüllt Augenzwinkern

22.10.2009, 21:18

Leopold

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Ich habe das Dreieck in ein kartesisches Koordinatensystem gelegt, so daß

$\begin{eqnarray*} A=(0,0), \ B=(x,0), \ C= \left( \frac{1}{2} x , \frac{\sqrt{3}}{2} x \right) \end{eqnarray*}$

gilt. Weiter habe ich $\begin{eqnarray*} D=(u,v) \end{eqnarray*}$ gesetzt. Aus den Entfernungen von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ bekommt man mittels Pythagoras drei Gleichungen in drei Unbekannten $\begin{eqnarray*} u,v,x \end{eqnarray*}$ . Lösungen für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sind

$\begin{eqnarray*} x = 25 \sqrt{778 + 18 \sqrt{1045}} \ \ \text{oder} \ \ x = 25 \sqrt{778 - 18 \sqrt{1045}} \end{eqnarray*}$

[attach]11584[/attach]

22.10.2009, 22:17

Selachoideus

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Ah, danke für den ersten Teil der Lösung. Natürlich ist laut der vollständigen Aufgabenstelle nur die erste Variante richtig. Schnelle Rechner finden dann den Schatz http://www.geocaching.com/seek/cache_details.aspx?wp=GC1Q3DK noch vor mir auf http://maps.geocaching.de/gm/index.php?l...6845703&zoom=15

22.10.2009, 23:04

riwe

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$\begin{eqnarray*} 100\cdot\sqrt{85}-25\sqrt{778+18\sqrt{1045}}<0.05 \end{eqnarray*}$

wie oben schon angeführt smile

23.10.2009, 12:11

mathe760

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@Leopold:

Wie hast du denn die Koordinaten der Fußpunkte der Lote von P auf die Seiten BC bzw. AC ausgerechnet? Hast du etwa für die Seite BC die Gerade durch B und C bestimmt, dann einen Normalenvektor für die Gerade bestimmt und dann die Gerade durch P mit dem Normalenvektor als Richhtungsvektor mit der Geraden BC zum Schnitt gebracht? Oder hast du es ganz anders gemacht? Augenzwinkern

Bis denn mathe760 Wink

23.10.2009, 15:35

riwe

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wie leopold oben geschrieben hat, lauten die 3 gleichungen:

$\begin{eqnarray*} a^2=u^2+v^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b^2=(x-u)^2+v^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c^2=(\frac{x}{2}-u)^2+(\frac{x}{2}\sqrt{3}-v)^2 \end{eqnarray*}$

denke ich zumindest smile

a, b und c sind beliebig vertauschbar Augenzwinkern

23.10.2009, 15:57

Leopold

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Zitat:

Original von mathe760
@Leopold:

Wie hast du denn die Koordinaten der Fußpunkte der Lote von P auf die Seiten BC bzw. AC ausgerechnet?

Diese Lote braucht man nicht. Es geht nicht um den Abstand des Punktes D (P?) von den Seiten des Dreiecks, sondern um den Abstand von D zu den Ecken des Dreiecks (siehe Werners letzten Beitrag). So habe ich zumindest die Aufgabe verstanden.

Ich habe die Sache einmal allgemein gerechnet. Es gilt

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 \pm 4 \sqrt{3} \, F} \end{eqnarray*}$

Hierbei ist

$\begin{eqnarray*} F = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} \end{eqnarray*}$

der Flächeninhalt des Dreiecks aus den Strecken $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ (Heron).

16.11.2009, 20:21

Selachoideus

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Guten Tag!

Heron setzt x und F in Beziehung. x ist die gesuchte Seitenlänge.

Das würde mir nur etwas bringen, wenn ich von a = AD, b = BD und c = CD auf F schließen könnte. Ich kann zwar mit Heron und a, b, c über die Summe der Teildreiecke x und F nochmal in Beziehung setzen, allerdings ergibt das dann

x² = (4/sqrt(3))*(F1+F2+F3)

wobei in jedem Teil-F x noch 5mal drinsteckt.

16.11.2009, 20:45

riwe

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Zitat:

Original von Selachoideus
Guten Tag!

Heron setzt x und F in Beziehung. x ist die gesuchte Seitenlänge.

Das würde mir nur etwas bringen, wenn ich von a = AD, b = BD und c = CD auf F schließen könnte. Ich kann zwar mit Heron und a, b, c über die Summe der Teildreiecke x und F nochmal in Beziehung setzen, allerdings ergibt das dann

x² = (4/sqrt(3))*(F1+F2+F3)

wobei in jedem Teil-F x noch 5mal drinsteckt.

das ist unsinn, du brauchst doch nur die formel von Leopold selbst abzuleiten.
a, b und c sind die von dir angegebenen strecken. dass diese in form von heron in die formel von Leopold eingehen, finde ich besonders schön und überraschend smile

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