Lineare Abbildung

22.10.2009, 15:45

rosario

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Lineare Abbildung

Hallo, kann mir einer auf die Sprünge helfen? smile

smile

komme bei dieser Aufgabe nicht weiter:

Prüfen sie ob die durch $\begin{eqnarray*} f:R^4 --->R^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x1; x2; x3; x4) = 3x1-x2+x4, 2x2-x3+3x4) \end{eqnarray*}$ gegebene Abbildung linear ist.

Die Definitionenf(x + y) = f(x) + f(y)
f(\alpha x) = \alpha f(x)
f(0) = 0

helfen mir nicht wirklich weiter. Wie soll ich die Aufgabe am besten anfangen?

22.10.2009, 15:59

klarsoweit

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RE: Lineare Abbildung

Zitat:

Original von rosario
Die Definitionenf(x + y) = f(x) + f(y)
f(\alpha x) = \alpha f(x)

Genau das hilft weiter, weil du eben nachweisen mußt, daß genau dieses gilt.

22.10.2009, 16:10

rosario

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RE: Lineare Abbildung
mh aber wie mach ich das den? hat es irgendwas mit der "Spur" oder Eigenwertproblem zu tun?

22.10.2009, 16:28

Mazze

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Zitat:

hat es irgendwas mit der "Spur" oder Eigenwertproblem zu tun?

Nein, nicht im Geringsten. Linearität ist eine Eigenschaft die eine Funktion haben kann oder auch nicht. Damit eine Funktion linear ist müssen die zwei genannten Eigenschaften gelten. Eine Funktion ist nicht linear wenn eine der beiden Eigenschaften nicht gilt. Du musst für deine Funktion also zeigen :

$\begin{eqnarray*} f\left(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix}\right) = f\left(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}\right) + f\left(\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f\left(\alpha \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}\right) = \alpha f\left(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$

22.10.2009, 16:56

rosario

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also ich verstehe irgendwie den Sinn nicht.. unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} f[\begin{pmatrix} 3x1 \\-1x2 \\ 0x3 \\1x4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0y1 \\2y2 \\ -y3 \\3y\end{pmatrix}]=f\begin{pmatrix} 3x1 \\-1x2 \\ 0x3 \\1x4\end{pmatrix}+f\begin{pmatrix} 0y1 \\2y2 \\ -y3 \\3y\end{pmatrix}] \end{eqnarray*}$

würde hierbei nicht IMMER dasselbe bei rauskommen?

22.10.2009, 17:09

Mazze

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Der Sinn ist zu zeigen das die Eigenschaften gelten oder nicht gelten. Ich zeigs Dir mal für die Skalarmultiplikation :

$\begin{eqnarray*} f\left(\alpha \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}\right) =\begin{pmatrix} 3\alpha x_1 - \alpha x_2 + \alpha x_4 \\ 2 \alpha x_2 - \alpha x_3 + 3 \alpha x_4 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 3 x_1 - x_2 + x_4 \\ 2 x_2 - x_3 + 3 x_4 \end{pmatrix} = \alpha f\left( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$

Damit gilt die erste Linearitätseigenschaft. Die zweite machst Du !

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22.10.2009, 17:28

rosario

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etwa so?

$\begin{eqnarray*} f=\begin{pmatrix} 3x1+y1 & -x2+y2 & 0+y3& x4+y4 \\ 0+y1 & 2x2+y2 & -x3+y3 & 3x4+y4 \\ \end{pmatrix} =<br /> <br /> f\begin{pmatrix} 3x1&-x2&0&x4 \\ 0&2x2&-x3&3x4 \\ \end{pmatrix} +f\begin{pmatrix} y1&y2&y3&y4 \\ y1&y2&y3&y4 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

23.10.2009, 08:28

klarsoweit

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Was ist denn das für ein formales Chaos? unglücklich

unglücklich

Genau das ist zu tun:

Zitat:

Original von Mazze
$\begin{eqnarray*} f\left(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix}\right) = f\left(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}\right) + f\left(\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$

Und jetzt schreibst du mal hin, was $\begin{eqnarray*} f\left(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f\left(\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$ sind.

23.10.2009, 10:28

rosario

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mh ich versuchs mal

$\begin{eqnarray*} f= (\begin{pmatrix} 3x1 \\ -x2 \\ 0 \\x4\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0 \\ 2x2 \\ -x3 \\3x4\end{pmatrix})=f\begin{pmatrix} 3x1 \\ -x2 \\ 0 \\x4\end{pmatrix}+f\begin{pmatrix} 0 \\ 2x2 \\ -x3 \\3x4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

23.10.2009, 10:44

klarsoweit

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Unfug, obwohl es rein mathematisch stimmt. Ebenso hättest du 3 * 4 = 12 schreiben können. Doch damit ist nichts bewiesen. Und jetzt machst du bitte genau das, was ich geschrieben habe. Was sind $\begin{eqnarray*} f\left(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f\left(\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$ gemäß der Definition der Abbildung f.

23.10.2009, 10:57

rosario

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RE: Lineare Abbildung
Ich hab in der Aufgabenstellung kein $\begin{eqnarray*} f(y1,y2,y3,y4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \\x4\end{pmatrix}) =\begin{pmatrix} 3x1 \\ -x2 \\ 0\\x4\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 2x2 \\ -x3 \\3x4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

23.10.2009, 11:24

klarsoweit

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RE: Lineare Abbildung
Du tust dich wirklich schwer damit. Was soll das auf der rechten Seite denn jetzt sein? Wie du an der Definition der Abbildung leicht erkennst, liegen die Bildelemente in R². Und was ist mit deinem Ergebnis?

Schreiben wir das mal so, daß es paßt:

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 3x_1 - x_2 + x_4 \\ 2x_2 - x_3 + 3x_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So und jetzt schreibst du, was $\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$ ist.

23.10.2009, 11:47

rosario

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Also mein $\begin{eqnarray*} f(y1,y2,y3,y4) \end{eqnarray*}$ ist ja im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ müsste es dann nicht so aussehen? $\begin{eqnarray*} f=\begin{pmatrix} y1 \\ y2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ... ach das sieht doch total falsch aus verwirrt

verwirrt

ich könnte doch so nicht addieren

23.10.2009, 11:56

klarsoweit

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unglücklich

Heidinei. Was ist denn so schwer daran, aus jedem x ein y zu machen? verwirrt

verwirrt

23.10.2009, 12:02

rosario

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unmöglich für mich Forum Kloppe

Forum Kloppe

$\begin{eqnarray*} f\begin{pmatrix} y1 \\ y2 \\ y3 \\ y4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3y1 & -y2 & 0&y4 \\ 0 & 2y2 & -y3&3y4 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

23.10.2009, 12:13

klarsoweit

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Nein, das ist falsch. Denn jetzt hast du eine 2x4-Matrix als Ergebnis. Etwas zu kopieren, ist offensichtlich doch nicht so einfach. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.10.2009, 12:53

rosario

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was ist das den für ne Aufgabe .. traurig

traurig

$\begin{eqnarray*} f\begin{pmatrix} y1 \\ y2 \\ y3 \\ y4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3y1 & -y2 &y4 \\ 2y2 & -y3 & 3y4 \ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

23.10.2009, 13:03

klarsoweit

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Wenn man sich den Latexcode anschaut, machst du rechts eine 2x3-Matrix, was dann auch falsch wäre. Wohlwollend könnte man auch annehmen, daß du dieses meintest:

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 3y_1 - y_2 + y_4 \\ 2y_2 - y_3 + 3y_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(Du brauchtest ja auch nur meinen Beitrag zitieren und alle x durch y ersetzen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Jetzt brauchen wir noch $\begin{eqnarray*} f \left( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$ .

Dazu faßt du erstmal $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zu einem Vektor zusammen. Das ergibt was?

23.10.2009, 13:16

rosario

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mh einfach alles addieren?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5x1 \\ -x_2 \\-x_3 \\4 x_4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5y_1 \\ -y_2 \\ -y_3 \\ 4y_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

23.10.2009, 13:25

klarsoweit

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unglücklich

Dann machen wir das mal mit:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

23.10.2009, 13:32

rosario

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 10 \\ 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

23.10.2009, 13:37

rosario

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \\x4\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} y1 \\ y2 \\ y3 \\y4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} 3x1+3y_1 - x2-y_2 + x4+y_4 \\ 2x2+2y_2 - x3-y_3 + 3x4+3y_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

23.10.2009, 13:50

klarsoweit

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Da bist du etwas voreilig. Richtig wäre:

$\begin{eqnarray*} f \left( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix} \right) = f \left( \begin{pmatrix} x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2 \\ x_3 + y_3 \\ x_4 + y_4 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 3x_1 + 3y_1 - x_2 - y_2 + x_4 + y_4 \\ 2x_2 + 2y_2 - x_3 - y_3 + 3x_4 + 3y_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

OK. Jetzt muß das dasselbe sein, wie $\begin{eqnarray*} f \left( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \right) + f \left( \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$

23.10.2009, 14:00

rosario

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mh ok.. Vielen dank für deine Hilfe smile

smile

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