Ordnungsrelation auf N mit Peano Axiomen

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RS Auf diesen Beitrag antworten »
Ordnungsrelation auf N mit Peano Axiomen
Zeige mit Hilfe der Peano-Axiome:
Es gibt nur eine partielle Ordnungsrelation R auf N, die die Bedingung

erfüllt, wobei f(n) den Nachfolger von n bezeichnet.

kleiner tipp zum ansetzen? Vielleicht annahme das es eine 2. Relation gibt und zeigen, dass sie entweder nicht reflexiv, transitiv oder antisymmetrisch bzw das gilt R*=R...??
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Vielleicht annahme das es eine 2. Relation gibt und zeigen, dass sie entweder nicht reflexiv, transitiv oder antisymmetrisch ist?


Naja, so ähnlich, Du nimmst an es gibt eine zweite und zeigst dann, das die zweite Relation genau die gleiche wie die erste ist. Das machst Du wie folgt. Sei R deine Relation, und sei eine zweite Relation mit den selben Eigenschaften, Du zeigst dann :



Relationen sind ja auch nur Mengen, daher zeigst Du Mengengleichheit.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

So also,

Sei R eine Relation auf N, und sei eine zweite Relation mit den selben Eigenschaften auf N.

Zu zeigen:



So wie ich eine Relation aus einer anderen auf eine andere Menge konstruiere weiß ich, wie is der unterschied, wenn ich auf nur einer Menge eine 2. konstruieren will?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zu zeigen:


Das ist falsch. Diese Eigenschaft gilt doch sowieso schon für beide Relationen. Das heisst das da ist sogar die Voraussetzung. Die Bewies Idee sieht so aus :

insbesondere lässt sich so jedes beliebige konstruieren.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

muss ich hier jetzt wieder mit der Urbildmenge von n und f(n) arbeiten um die 2. Relation zu definieren?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, Du musst 2 Dinge zeigen :

und


Dazu musst Du aber die Peanoaxiome nutzen.
 
 
RS Auf diesen Beitrag antworten »

ich muss also erstmal zeigen, dass



Laut Peanoaxiom folgt f(n)= oder?

Und damit ja

Bin ich da richtig?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn dann ist auch auch , wegen der Transitivität von R ist dann auch . Dieses Argument kann man weiterführen. Sobald du dann gezeigt hast dass es für

dann k,m,n , n < m gibt mit bist Du fertig.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

ich kann da grad gar nichts mit anfangen. is wahrscheinlich schon zu spät.

Ich wüsste nicht wie ich das argument mit der transitivität von R jetzt auf R* übertragen sollte oder anwenden sollte.

Wegen der Unendlichkeit von N bzw. lässt sich, dass mit dem ja beliebig lange weiterführen, also quasi bis , Daraus folgt ja aufgrund der transitivität ,

Was andres fällt mir jetzt nicht ein.?!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
also quasi bis , Daraus folgt ja aufgrund der transitivität ,


Ganz genau, das muss nur ordentlich aufgeschrieben werden. Weitere Überlegungen :

(nicht schwierig)

Insbesondere ist und . Dann ist



Genau das gleiche Argument gilt dann auch für die Rückrichtung. Das muss alles natürlich noch sortiert weden Augenzwinkern
RS Auf diesen Beitrag antworten »

deleten bitte...
RS Auf diesen Beitrag antworten »

so habe jetzt doch nochmal zeit für das proble gefunden:

Ich bezweifele aber, dass
Zitat:
Insbesondere ist und .
richtig ist. denn der 2. nachfolger f2(1) ist ja nicht 2 sondern 3?

wäre für mich schlüssig. aber mit a und a kmomt mir das spanisch vor.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

ich push, das mal damit mir vielleicht doch noch jemand hielfen kann.

hier nochmal meine weiterführenden ideen.

Das aus aufgrund des Axiomes, dass jede natürliche zahl n genau einen Nachfolger f(n) hat (ich verzichte jetzt hier auf die genau formale beschreibung), und aufgrund der Transivität von R folgt, dass ist ja nun klar.

Nun, folgt aus .

Es gibt so, dass aus obigen Überlegungen folgt
für

Daraus folgt:

.

Wäre damit richtig die "eine Richtung" gezeigt?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs nochmal kurz überdacht wenn Du

Zitat:
.


hast, musst Du nur noch zeigen, das es für ein k gibt mit . Dann erhälst Du
RS Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RS
Das aus aufgrund des Axiomes, dass jede natürliche zahl n genau einen Nachfolger f(n) hat (ich verzichte jetzt hier auf die genau formale beschreibung), und aufgrund der Transitivität von R folgt, dass ist ja nun klar.

Nun, folgt aus .

Es gibt so, dass aus obigen Überlegungen folgt
für

Daraus folgt:

.



Ist das denn bis hierhin erstmal richtig?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Es gibt so, dass aus obigen Überlegungen folgt für


Dieses es gibt ist falsch. Du nimmst doch an. Und das hier

Zitat:


ergibt nicht mal sinn. Auf jeden Fall kann man a und b als m bzw. n-ten Nachfolger von 1 schreiben. Damit kriegt man

(Voraussetzung)

und mit dem selben Argument dann auch

(Das ist zu zeigen)
RS Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das aus aufgrund des Axiomes, dass jede natürliche zahl n genau einen Nachfolger f(n) hat (ich verzichte jetzt hier auf die genau formale beschreibung), und aufgrund der Transitivität von R folgt, dass ist ja nun klar.

Nun, folgt aus .


Also folgt aus dem ganzen direkt,

oder?

Daraus folgt:

.

Wie zeige ich jetzt, dass

.?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

wird als partielle Orndung angenommen. Daher ist , darüber hinaus gilt die Bedingung . Damit kannst doch , auf exakt gleicher Weise zeigen dass
RS Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, und wenn ich dann gezeigt habe, dass sowohl als auch (wie vorher ja gezeigt) gelten, ist damit gezeigt dass die relationen gleich sind.

sry ich hatte aus den augen verloren, dass ich ja die 2. relation als gesetzt mit den selben eigenschaften annehmen kann/muss.
ankasztaj Auf diesen Beitrag antworten »

ist es ok wenn ich auch paar fragen zu der aufgabe stelle? es handelt sich bei mir um genau die gleiche aufgabe und ich will nicht unbeingt ein neues thema aufmachen
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Thema passende Fragen gehören ins Thema Augenzwinkern
ankasztaj Auf diesen Beitrag antworten »

Dann fangen wir ganz von vorne an. Mein Problem ist dass ich mir noch den Begriff der Relation nicht veranschaulichen konnte. Daher wahrscheinlich meine Verständnisprobleme.
Der erste Ansatz ist verständlich. Zu zeigen dass es eine zweite gleiche Relation gibt.
Ist es aber normal dass ich selbst noch nicht darauf komme? verwirrt
Aber mit dem Begriff der Mengengleichheit kann ich wieder nichts anfangen.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber mit dem Begriff der Mengengleichheit kann ich wieder nichts anfangen.


Eine Relation ist auch nur eine Menge. Seien A,B beliebige Mengen, dann ist eine Relation wie folgt definiert :



Will man also überprüfen ob zwei Relationen gleich sind prüft man eigentlich ob zwei Mengen gleich sind. Das ist schon alles. Nun gibt es spezielle Relation, etwa eine partielle Ordnung. Eine partielle Ordnung auf einer Menge A ist



mit den Eigenschaften : Reflexivität, Transitivität und Antisymmetrie. Das alles muss man eigentlich verstanden haben um die Aufgabe überhaupt lösen zu können.
ankasztaj Auf diesen Beitrag antworten »

gleich eine weitere frage:


heißt das: es is zu zeigen dass es einen anderen nachfolger für n gibt der in beiden R und R* enthalten ist ?
also dass es einen element gibt was die beiden mengen gemeinsam haben?
und somit kann man dann später zeigen dass sie gleich sind?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Das eigentliche Ziel ist es zu zeigen



Was wir wissen ist das beides partielle Ordnungen sind und das für beide ebenfalls für jedes n in der Relation enthalten ist. Damit zeigt man schnell das



Jetzt zeigen wir die Inklusion , wir nehmen also an das . Das lässt sich auch schreiben als . Jetzt ist nur noch zu zeigen dass gilt. Und dafür lässt sich obiges benutzen.
ankasztaj Auf diesen Beitrag antworten »

Ich blicke gerade gar nicht durch.
dass das gilt muss ich erstmal zeigen oder? und zwar mittels transitivität


Aber das allerletzte verstehe ich nicht.

wie soll ich das denn bitteschön zeigen?

ich verstehe die ganzen zusammenhänge einfach nicht.

und wie kommt man auf sowas?

ich will es unbedingt verstehen. auch wenn es stunden dauert. tut mir leid wenn ich so nerve
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »





usw.

steht hier für die k-Fache Verkettung der Nachfolgerfunktion.

Zitat:
dass das gilt muss ich erstmal zeigen oder? und zwar mittels transitivität


Richtig.

Zitat:
wie soll ich das denn bitteschön zeigen?


Mit Hilfe von : partielle Ordnung, und . Es ist leicht einzusehen das auf jeden Fall




usw.

das kann man fortführen bis man bei b-1 ankommt.
ankasztaj Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze




usw.

steht hier für die k-Fache Verkettung der Nachfolgerfunktion.


ok das hab ich verstanden

aber
1. wo kommen die peano axiome ins spiel? ich müsste doch explizit und formal zeigen wo und wie ich sie benutze

2.mir ist noch nicht klar wie lange ich das letzte machen müsste um bei b-1 anzukommen
ankasztaj Auf diesen Beitrag antworten »

Mazze bist du da??
Hilfe!!!
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