Vereinfachung von Ausdrücken mit dem Summen-/Produktzeichen

22.10.2009, 19:22

Sandra0305

Vereinfachung von Ausdrücken mit dem Summen-/Produktzeichen

könnte mir vllt jemand bei dem vereinfachen von diesem Ausdruck helfen??

$\begin{eqnarray*} sum from k=2 to n k^k-2 prod from j=1 to k-1 (j+1)/kj \end{eqnarray*}$

leider happert es schon beim Anfang...hab leider keinen Ansatz oder so... unglücklich

ich hoffe jemand kann mir vielleicht auf die Sprünge helfen...wär supernett

22.10.2009, 19:40

Elvis

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RE: Vereinfachung von Ausdrücken mit dem Summen-/Produktzeichen

Zitat:

Original von Sandra0305

$\begin{eqnarray*} sum from k=2 to n k^k-2 prod from j=1 to k-1 (j+1)/kj \end{eqnarray*}$

Noch nicht einfacher, aber eleganter : $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n~ k^k - 2 \prod_{j=1}^{k-1} \frac {j+1} {kj} \end{eqnarray*}$

22.10.2009, 21:22

Sandra0305

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okay danke, des latexding versteh ich iwie noch nicht so ganz...sorry!mir is aber grad aufgefalln, dass ich nen fehler in der angabe hab, und zwar muss das -2 mit rauf zum k, also der exponent lautet nicht nur k sonder k-2...

23.10.2009, 17:45

Elvis

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RE: Vereinfachung von Ausdrücken mit dem Summen-/Produktzeichen
Also so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n~ k^{k - 2} \prod_{j=1}^{k-1} \frac {j+1} {kj} \end{eqnarray*}$

Das macht ja auch schon etwas mehr Sinn, denn nun haben wir unter der "Summe über k" ein Produkt, dessen Faktoren von k abhängen.

Wenn du jetzt noch das k im Nenner vor das Produktzeichen bringst, sieht das Produkt schon richtig schön einfach aus.

Wie immer gilt auch hier : sauber schreiben erhöht die Übersicht und erleichtert das Rechnen.

23.10.2009, 17:50

Elvis

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Latex ist einfach aus anderen Beiträgen zu lernen und der "Formeleditor" rechts auf dieser Seite hilft dabei . Dann kann man üben und die "Vorschau" benutzen.

23.10.2009, 18:14

Sandra0305

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okay danke Augenzwinkern

ich werd mich auf jeden fall damit befassen....
und die Erklärung versteh ich leider immer noch nicht...wir haben unter der Summe über k ein Produkt, dessen faktoren von k abhängen?!?!könntest du mir vllt noch ne kleine starthilfe geben??

23.10.2009, 18:15

Sandra0305

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oder kann ich da einfach für k, k=2 und für j, j=1 in die gleichung einsetzen??nicht oder??

23.10.2009, 18:41

Sandra0305

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ich weiß leider nicht mal, ob man hier mit der Summe oder dem Produkt zuerst anfangen muss....gibts es hier eine Regel?also muss man immer erst innen beginnen und sich nach außer vorarbeiten??oder andersrum?
also, wenn man das k vor das Produkt zieht sieht da s ganze also so aus
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n~k^{k-2}\prod_{j=1}^{k-1}~k\frac{j+1}{j} \end{eqnarray*}$
oder??und wie gehts dann weiter?

23.10.2009, 19:01

Elvis

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RE: Vereinfachung von Ausdrücken mit dem Summen-/Produktzeichen
Man arbeitet immer nach den üblichen Regeln, daß ein Produkt oder eine Summe sich so weit erstreckt wie eben möglich. Von innen nach außen ist eine sinnvolle Faustregel.
Wenn du k aus dem Nenner vor das Produktzeichen ziehen willst, bleibt es dort natürlich als 1/k und nicht als k stehen. Das geht, weil das Produkt nicht von k sondern von j als Laufvariable abhängt.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n~ k^{k - 2} \prod_{j=1}^{k-1} \frac {j+1} {kj}=\sum_{k=2}^n~ k^{k - 3} \prod_{j=1}^{k-1} \frac {j+1} {j}=\sum_{k=2}^n~( k^{k - 3} \prod_{j=1}^{k-1} (\frac {j+1} {j})) \end{eqnarray*}$

Die Klammern () sind ein bißchen überflüssig, ich habe sie hingeschrieben, weil du gefragt hast, in welcher Reihenfolge was zu berechnen ist.

23.10.2009, 21:48

kiste

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Vorsicht, k steht in einem Produkt, wenn man es rauszieht steht also nicht einfach 1/k da, sondern was?

24.10.2009, 11:11

Elvis

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RE: Vereinfachung von Ausdrücken mit dem Summen-/Produktzeichen
Danke, dass du aufgepasst hast.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n~ k^{k - 2} \prod_{j=1}^{k-1} \frac {j+1} {kj}=\sum_{k=2}^n~ \frac {k^{k - 2}} {k^{k-1}} \prod_{j=1}^{k-1} \frac {j+1} {j}=\sum_{k=2}^n~ {\frac 1 k} \prod_{j=1}^{k-1} \frac {j+1} {j} \end{eqnarray*}$

Jetzt darf Sandra0305 weitermachen.

24.10.2009, 15:50

Pawian

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hi,
wieso ist denn $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{k-1}~\frac{j+1}{k*j}=\frac{1}{k^{k-1}}* \sum_{j=1}^{k-1}~\frac{j+1}{j} \end{eqnarray*}$ . Warum ist es denn nicht wie anfangs gesagt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ ?

24.10.2009, 17:05

kiste

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Weil da ein Produkt steht.
Bei ner Summe ist es natürlich nur 1/k

24.10.2009, 17:50

zebit

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puh, könnt ihr einen tipp geben, wie es in etwa weitergeht?

24.10.2009, 18:53

Elvis

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... Tipp ... k=7 wählen, Produkt hinschreiben, angucken, "ach ist das einfach, das hätte ich auch selbst gekonnt" sagen, Lösung im Matheboard posten Augenzwinkern

25.10.2009, 11:55

Sandra0305

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okay...wahrscheinlich hält mich jetz jeder hier drin für a bissl doof...aber ich kriegs leider echt niat raus...steh voll aufm schlauch...warum denn für k=7 einsetzen??

25.10.2009, 12:03

Elvis

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k=7 ist ein Beispiel. Es darf auch k=5, k= 8 oder k=1024 sein. Für k=8464631024 dauert nur das Aufschreiben so lange, das ist dann langweilig.

25.10.2009, 12:04

MLRS

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Zitat:

Original von Sandra0305
okay...wahrscheinlich hält mich jetz jeder hier drin für a bissl doof...aber ich kriegs leider echt niat raus...steh voll aufm schlauch...warum denn für k=7 einsetzen??

du könntest auch k=12 oder 110 einsetzen...

Wenn du es so nicht siehst musst es auprobieren..dann wirst du es sehen Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n~ {\frac 1 k} \prod_{j=1}^{k-1} \frac {j+1} {j} \end{eqnarray*}$

setzte k gleich irgendeine kleine Zahl und schreib jeden Faktor auf...

edit: da war jemand schneller Hammer

25.10.2009, 12:23

Sandra0305

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okay....sieht des dann in etwa so aus??aber was sollt ich dann daraus erkennen??
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}\cdot2\cdot\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot ...\cdot \frac{j+1}{j} \end{eqnarray*}$

25.10.2009, 12:24

Elvis

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... das PRODUKT ausrechnen !

25.10.2009, 12:35

Sandra0305

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okay, also ist das dann j+1??

25.10.2009, 12:58

MLRS

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Du hast also erkannt, dass man alle Zähler und Nenner bis auf $\begin{eqnarray*} \frac{(k-1)+1}{1} \end{eqnarray*}$ [(k-1)+1 ist der letzte Zähler] kürzen kann.

Es bleibt ist also $\begin{eqnarray*} \prod_{j=1}^{k-1} \frac {j+1} {j} = k \end{eqnarray*}$

und das kannst du jetzt oben einsetzen Augenzwinkern

25.10.2009, 13:07

Sandra0305

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okay...kommt dann
\sum_{k=2}^n~1 raus??

25.10.2009, 13:07

Sandra0305

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sorry,
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n~1 \end{eqnarray*}$

25.10.2009, 13:08

Elvis

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ja, und was ist das ?

25.10.2009, 13:12

Sandra0305

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25.10.2009, 13:13

Elvis

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nein, nächster Versuch

25.10.2009, 13:15

Sandra0305

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n oder??

25.10.2009, 13:15

Elvis

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gaaanz knapp daneben

25.10.2009, 13:17

Sandra0305

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?????
sorry,es gibt bestimmt ne formel dafür....kannst du mir die vllt geben?

25.10.2009, 13:19

Elvis

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n-1 ( weil k erst bei 2 anfängt, haben wir einen Summanden 1 weniger als bei der Summe über k=1,...,n)

25.10.2009, 13:22

Sandra0305

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DANKESCHÖN!!!! ...des war ja jetz echt ne schwere geburt...aber so ganz verstehn tu ichs ehrlichgesagt noch nicht, also wenn k bei 1 angehn würde, wäre die lösung n oder??aber weil k erst bei 2 losgeht und 1 nach dem Summenzeichen steht muss ma n-1 nehmen, weil 1 ja um 1 kleiner ist als 2 oder wie???

25.10.2009, 13:26

MLRS

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Zitat:

Original von Sandra0305
DANKESCHÖN!!!! ...des war ja jetz echt ne schwere geburt...aber so ganz verstehn tu ichs ehrlichgesagt noch nicht, also wenn k bei 1 angehn würde, wäre die lösung n oder??aber weil k erst bei 2 losgeht und 1 nach dem Summenzeichen steht muss ma n-1 nehmen, weil 1 ja um 1 kleiner ist als 2 oder wie???

nein

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n~1 \end{eqnarray*}$ heißt ja nichts anderes als 1+1+1+...+1

Für jede Zahl zwischen (k=)2 und n kommt ein 1er dazu.

wäre es $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~1 \end{eqnarray*}$ , dann ist die summe natürlich n - wenn wir einen 1er weniger haben, dann ist es (n-1)

25.10.2009, 13:28

Sandra0305

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okay...dankeschön!!!!!jetz hab ichs kapiert!!vielen dank für deine Hilfe und deine Geduld!!

25.10.2009, 13:34

Sandra0305

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und ich hätt noch eine Aufgabe, zu der ich schon einen kleinen Ansatz hab, aber auh nicht recht weiter weiß...und zwar:
\prod_{i=1}^n\sum_{j=0}^{n-1}~(\frac{1}{i+j}-\frac{1}{i+j+1} )
es geht auch wieder darum, den Ausdruck zu vereinfachen, ich hab die Klammer schon mal auf einen Nenner gebracht, aber weiß eigentlich gar nicht, ob das wirklich hilft unglücklich

und wies danach weitergeht....keinen plan...kann mir da vllt auch jemand nen tipp geben??

25.10.2009, 13:34

Sandra0305

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$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n\sum_{j=0}^{n-1}~(\frac{1}{i+j}-\frac{1}{i+j+1} ) \end{eqnarray*}$

25.10.2009, 13:40

Sandra0305

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auf einen Nenner gebracht schauts dann so aus:
$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n\sum_{j=0}^{n-1}~ \frac{1}{(i+j)^2+i+j} \end{eqnarray*}$
stimmts bis hierher??

25.10.2009, 18:22

Elvis

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Das sieht so aus, als ob es stimmt, aber auch wenn es stimmt, dann nützt es nichts. Im deiner ersten Aufgabe hättest du irgendwann merken müssen, dass es darum geht, nachzudenken und einfache Beispiele sauber aufzuschreiben, an denen man das Wesentliche erkennt. Mit unsinnigen Berechnungen und lästigen Fragen kommst du nicht weiter. Ich mache das nicht mehr mit, und ich wünsche dir mehr Fleiß und Erfolg. Das erste (Fleiß) ist notwendig für das zweite (Erfolg). Wir sind doch an der Hochschule und nicht im Kindergarten. böse

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