Gruppennachweis

22.10.2009, 23:14

casa

Gruppennachweis

Hallo matheboardler!
ich wollte um Hilfe bei folgender Aufgabe bitten!

Zeigen Sie, dass die Menge der rellen Zahlen eine Gruppe bildet bezüglich der Zusammensetzungsvorschrift

$\begin{eqnarray*} a \circ b=(a^{n}+b^{n})^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

Hier sind a und b reelle Zahlen und n ist eine beliebige ungerade, natürliche Zahl.

Hinweis: Prüfen Sie, ob alle Gruppenaxiome erfüllt sind: Abgeschlossenheit, Kommutativgesetz, Assoziativgesetz.
Welches Element aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist bezüglich der oben angegebenen Verknüpfung das Einselement?
Welches das inverse Element?

Leider muss ich sagen, dass ich mit der Aufgabe wenig anfangen kann.
a und b sollen beliebige Zahlen außer 0 sein und n eine natürliche ungerade Zahl wie z.B. 1,3,5 usw...
Abgeschlossenheit bedeutet doch, dass a und b Elemente einer Menge sind, ebenso wie alle Ergebnisse der beiden, egal wie a und b verknüpft werden.
Aber wie ich dies oben nachweise, weiß ich leider nicht.
Das Kommutativgesetzt ist mir auch bekannt:
Für reelle Zahlen a,b∈R gilt : a + b = b + a und a*b = b*a
Aber auch hier versteh ich nicht wie man diese Aussage oben anwenden soll.
Dasselbe gilt leider auch für das Assoziativgesetzt a*(b*c) = (a*b)=c

Ich belasse es erst einmal bei diesen Fragen und hoffe ihr könnt mir einen Denkanstoß geben.

23.10.2009, 00:52

Broele

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gruppennachweis

Zitat:

Zeigen Sie, dass die Menge der rellen Zahlen eine Gruppe bildet

Da hast du dann auch gleich die Menge für die Angeschlossenheit. Du musst also zeigen, dass, wenn $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gilt, auch $\begin{eqnarray*} a\circ b\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ liegt. Wenn du für $\begin{eqnarray*} a\circ b \end{eqnarray*}$ deine Definition der Verknüpfung einsetzt, ergibt sich das ziemlich schnell.

Für das Kommutuativgesetz (wie auch für alle anderen) darfst du nicht $\begin{eqnarray*} a+b \end{eqnarray*}$ nehmen, sondern musst $\begin{eqnarray*} a\circ b \end{eqnarray*}$ nehmen. Da kannst du dann deine Definition einsetzen und dadurch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a\circ b = b\circ a \end{eqnarray*}$ gilt.

23.10.2009, 11:34

casa

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort!
Ist, wenn ich aus der Aufgabe die Aussage $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ habe, und somit auch a verknüpf t mit b ( $\begin{eqnarray*} a\circ b\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ) habe, es automatisch nachgewiesen, dass die rechte Seite der Gleichung auch $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist?
Also $\begin{eqnarray*} a\circ b\in\mathbb{R}\Rightarrow (a^{n}+b^{n})^{\frac{1}{n} } \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
Oder fehlt mir dann noch etwas?
Muss ich überhaupt mit der rechten Seite operieren oder reicht es wenn ich alle Nachweise auf der linken Seite durch führe?

23.10.2009, 12:04

casa

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie setzte ich denn die Bedingungen in die Verknüpfung ein?
Schreibt man dann $\begin{eqnarray*} (a\in \mathbb R ^{n} +b\in \mathbb R ^{n})^{\frac{1}{n}} ? \end{eqnarray*}$

23.10.2009, 12:31

Broele

Auf diesen Beitrag antworten »

Formal ist das so nicht ganz korrekt. Formal geht das dann eher:

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb{R}\Rightarrow a\circ b\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb{R}\Rightarrow a^n,b^n\in \mathbb{R} \Rightarrow a^n+b^n\in \mathbb{R} \Rightarrow (a^n+b^n)^\frac{1}{n} = a\circ b\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

So ähnlich kann man bei den anderen Teilen auch vorgehen. Man führt das, was man für $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ zeigen soll auf die normalen Rechnenregeln in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ zurück

Neue Frage »

Antworten »

Gruppennachweis

Verwandte Themen