Beweis: Keine rationale Lösung der Gleichung

23.10.2009, 00:23

felixlein

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Beweis: Keine rationale Lösung der Gleichung

Hallo, ich (1.Semester) sitze schon Stunden an einem möglichen Beweis für...

Aufgabe: Beweisen Sie, dass es keine rationale Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} 63 x^5 + x = 36 \end{eqnarray*}$ gibt!

Mein aktueller Ansatz ist, dass ich eine rationale Lösung zeigen will, die dann zum Widerspruch führt.
Außerdem denke ich, man kann für $\begin{eqnarray*} x = \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ (p € Q, q € N) und dann damit was machen?
Ich freue mich über Hilfe :-)

23.10.2009, 00:37

baphomet

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RE: Beweis: Keine rationale Lösung der Gleichung
Probiers mal mit Ausklammern, so ist eine Lösung Null, diese ist rational, und das das Gegenteil beweisen werden sollte führt zum Widerspruch.
Die zweite Lösung aber ist nicht rational.

23.10.2009, 00:42

Broele

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Hi, der Ansatz ist ausbaufähig, ich würde an deiner Stelle aber
$\begin{eqnarray*} p\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ nehmen, statt $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ . Außerdem macht dir $\begin{eqnarray*} ggt(p,q)=1 \end{eqnarray*}$ das Leben leichter. Genrell kannst du p und q in die Gleichung einsetzen und dann mit dem Hauptnenner multiplizieren. Danach stehen auf beiden Seiten ganze Zahlen und für deinen Widerspruch musst du zeigen, dass beide Seiten nicht die gleiche Primfaktorzerlegung haben können.

23.10.2009, 00:45

Airblader

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RE: Beweis: Keine rationale Lösung der Gleichung

Zitat:

Original von baphomet
Probiers mal mit Ausklammern, so ist eine Lösung Null, diese ist rational, und das das Gegenteil beweisen werden sollte führt zum Widerspruch.
Die zweite Lösung aber ist nicht rational.

Da wünschst du dir rechts so sehr eine Null, doch leider steht da eine 36 - also nix mit Ausklammern Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

23.10.2009, 00:56

felixlein

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Zitat:

Original von Broele
Hi, der Ansatz ist ausbaufähig, ich würde an deiner Stelle aber
$\begin{eqnarray*} p\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ nehmen, statt $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ . Außerdem macht dir $\begin{eqnarray*} ggt(p,q)=1 \end{eqnarray*}$ das Leben leichter. Genrell kannst du p und q in die Gleichung einsetzen und dann mit dem Hauptnenner multiplizieren. Danach stehen auf beiden Seiten ganze Zahlen und für deinen Widerspruch musst du zeigen, dass beide Seiten nicht die gleiche Primfaktorzerlegung haben können.

Danke für deine Mühe aber ich steig da nicht durch. Ich bin mir auch nicht sicher, welche Teile des Terms ich getrennt von einander betrachten kann. Auch den Sinn von ggt(p,q)=1 versteh ich nicht. Könntest du das bitte weiter erläutern?

Andere Vorschläge?

23.10.2009, 01:09

Broele

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$\begin{eqnarray*} ggt(p,q) = 1 \end{eqnarray*}$ heißt, dass die beiden Zahlen teilerfremd sind.

Nachdem du mit dem Hauptnenner multipliziert hast, musst du auf beiden Seiten Produkte stehen haben, um dir dann Gedanken über Teilbarkeiten machen zu können. Das heißt: so viel Ausklammern, wie möglich. Als Beispiel für Teilbarkeitsüberlegungen:

Wenn du $\begin{eqnarray*} 2p(p-q) = 3q^2 \end{eqnarray*}$ rausbekommst (was bei deiner Aufgabe komisch wäre), dann weißt du, dass 2 entweder 3 oder $\begin{eqnarray*} q^2 \end{eqnarray*}$ teilt, das kann man dann weiter verfolgen, bis man zu einem Widerspruch kommt

Ihr habt bestimmt den Beweis gemacht, dass x^2 = 2 keine rationale Lösung hat. Schau dir den noch mal an, dann weißt du, was ich meine!

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23.10.2009, 01:31

felixlein

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Zitat:

Original von Broele
$\begin{eqnarray*} ggt(p,q) = 1 \end{eqnarray*}$ heißt, dass die beiden Zahlen teilerfremd sind.

Habe ich verstanden!

Zitat:

Original von Broele
Nachdem du mit dem Hauptnenner multipliziert hast, musst du auf beiden Seiten Produkte stehen haben, um dir dann Gedanken über Teilbarkeiten machen zu können. Das heißt: so viel Ausklammern, wie möglich.!

Ich zeige dir mal was ich hab:
Ausgangsgleichung:
$\begin{eqnarray*} 63 x^5 + x = 36 \end{eqnarray*}$

p/q einsetzen:
$\begin{eqnarray*} 63 \frac{p^5}{q^5} + \frac{p}{q} = 36 \end{eqnarray*}$

Hauptnenner bilden:
$\begin{eqnarray*} \frac{63 p^5 q + p q^5} {q^6} = 36 \Rightarrow | \cdot q^6 \end{eqnarray*}$

und Bruch töten:
$\begin{eqnarray*} 63 p^5 q^7 + p q^{11} = 36 q^6 \end{eqnarray*}$

... Sackgasse :-(

Zitat:

Original von Broele
Ihr habt bestimmt den Beweis gemacht, dass x^2 = 2 keine rationale Lösung hat. Schau dir den noch mal an, dann weißt du, was ich meine!

Nein haben wir nicht. Wir haben als erstes Hausaufgabe u.a. diese Aufgabe bekommen. Habs mir aber trotzdem mal angeschaut und sehe momentan noch keinen Zusammen hang, verstehe aber was da gezeigt wurde.

23.10.2009, 02:02

Airblader

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Also im HS-Bereich sollte es an elementaren Bruchumformungen eigentlich nicht mehr scheitern dürfen .... !

$\begin{eqnarray*} \frac{a - bq}{q} = x ~\not\Leftrightarrow~ aq-bq^2 = xq \end{eqnarray*}$

air

23.10.2009, 02:11

Broele

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mal davon abgesehen, dass der letzte Schritt falsch ist, kannst du auf der linken Seite noch etwas ausklammern und dann so ähnlich wie in dem Beweis zu $\begin{eqnarray*} x^2=2 \end{eqnarray*}$ verfahren.

23.10.2009, 02:28

felixlein

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Ich glaube mir fehlt das Verständnis auf was ich hinaus will / darf? Dazu fragen:

a) Beweise ich (durch Wiederspruch) an der kompletten Gleichung oder durch Betrachten eines einzelnen Teil eines Terms?

b) Wenn ich zwei irrationale Zahlen addiere, ist die Summe auch eine irrationale Zahl?

c) Wenn ich zwei irrationale Zahlen multipliziere, ist das Produkt auch eine irrationale Zahl?

Wenn b) und c) wahr wären, dann bräuchte ich den Widerspruch nur in einem Teilsummanden/Teilfaktor "suchen".

23.10.2009, 02:39

Broele

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Zitat:

a) Beweise ich (durch Wiederspruch) an der kompletten Gleichung oder durch Betrachten eines einzelnen Teil eines Terms?

Der Widerspruch muss für die ganze Gleichung gelten, entsteht aber bei der Betrachtung von Teilen

Zitat:

b) Wenn ich zwei irrationale Zahlen addiere, ist die Summe auch eine irrationale Zahl?

Das muss nicht sein. Beispiel: $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ sind irrational, die Summe aber nicht

Zitat:

c) Wenn ich zwei irrationale Zahlen multipliziere, ist das Produkt auch eine irrationale Zahl?

Das muss auch nicht so sein. Beispiel: $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ sind irrational, das Produkt (=1) aber nicht

23.10.2009, 11:54

felixlein

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Zitat:

Original von Broele
..., kannst du auf der linken Seite noch etwas ausklammern und dann so ähnlich wie in dem Beweis zu $\begin{eqnarray*} x^2=2 \end{eqnarray*}$ verfahren.

Ok ich versuchs weiter. Ich hab die einzelnen Schritte mal nummeriert damit du besser darauf eingehen kannst.

Als letzter (korrekter) Schritt war Hauptnenner bilden:
$\begin{eqnarray*} \frac{ 63 p^5 q + p q^5 }{q^6} = 36 \end{eqnarray*}$ (1)

Jetzt hab ich überlegt, dass in der Zählersumme jeweils p und q sind, mit je einem hoch 5 und der andere mit hoch 1. Ich klammer also $\begin{eqnarray*} p \cdot q \end{eqnarray*}$ aus:
$\begin{eqnarray*} \frac{ p q \cdot (63 p^4 + q^4) }{q^6} = 36 \end{eqnarray*}$ (2)

Jetzt könnte man noch $\begin{eqnarray*} q^1 \end{eqnarray*}$ kürzen im Bruch:
$\begin{eqnarray*} \frac{ p \cdot (63 p^4 + q^4) }{q^5} = 36 \end{eqnarray*}$ (3)

Das ganze etwas auseinandergezogen dargestellt:
$\begin{eqnarray*} p \cdot q^{-5} \cdot (63p^4 + q^4) = 36 \end{eqnarray*}$ (4)

Da sind mir die hoch-4 in der Summe aufgefallen. Also hab ich diese mehr in Richtung x²=2 dargestellt:
$\begin{eqnarray*} p \cdot q^{-5} \cdot (63 \cdot p^2 \cdot p^2 + q^2 \cdot q^2) = 36 \end{eqnarray*}$ (5)

Nun finde ich nichts mehr, was man sinnvoll ausklammern kann.

Meiner Überlegung nach und der Tatsache, dass du auf's ausklammern drengst, ist der Summen-Faktor $\begin{eqnarray*} (63 p^4 + q^4) \end{eqnarray*}$ relativ uninteressant, sondern eher die herausgezogenen Faktoren $\begin{eqnarray*} p \cdot q^{-5} = \frac{p}{q^5} \end{eqnarray*}$ .

Diese stehen ja jetzt in einem Verhältnis, wie beim x²=2 die p²/q²=2. Allerdings habe ich keinen konkreten Wert zum Vergleichen. Bitte helf mir :-)

23.10.2009, 12:24

Broele

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Sieht schon mal nicht so schlecht aus. Jetzt kannst du erst mal mit $\begin{eqnarray*} q^5 \end{eqnarray*}$ multiplizieren, um auf beiden seiten nur noch ganze Zahlen stehen zu haben:
$\begin{eqnarray*} p(63p^4+q^4) = 36q^5 \end{eqnarray*}$

Dann kommen die Teilbarkeitsüberlegungen ins Spiel:
p teilt 36q^5, also auch 36, weil p und q teilerfremd sind ...
q teilt p(63p^4+q^4), also auch (63p^4+q^4) ...
sowas in der Art bringt dich weiter

23.10.2009, 13:48

felixlein

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Okay. Das mit den Teilbarkeitsüberlegungen war mir auch neu. Nehme ich in mein Reportoir an neo-mathematischen Fähigkeiten auf ;-) Danke dafür!

Okay ich mach weiter:

Wir haben jetzt die Gleichung soweit:
$\begin{eqnarray*} p(63 p^4 + q^4) = 36 q^5 \end{eqnarray*}$

Auf Grund der Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} p,q \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ggT(p,q)=1 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} q \hspace{12px} | \hspace{12px} p \cdot (63p^4+q^4) \hspace{12px} \Rightarrow \hspace{12px} q\hspace{12px} |\hspace{12px} (63p^4+q^4) \end{eqnarray*}$

dann gilt auch:
$\begin{eqnarray*} q \hspace{12px} | \hspace{12px} p\cdot (63p^4+q^4) \hspace{12px} \Rightarrow \hspace{12px} q\hspace{12px} |\hspace{12px} p \end{eqnarray*}$

Und dann kommt der Widerspruch:
$\begin{eqnarray*} q\hspace{12px}|\hspace{12px}p \end{eqnarray*}$ widerspricht sich mit $\begin{eqnarray*} ggT(p,q)=1 \end{eqnarray*}$ , da laut Vorraussetzung p und q teilfremd sind.

q.e.d ??? Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.10.2009, 18:10

Reksilat

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Zitat:

Wir haben jetzt die Gleichung soweit:
$\begin{eqnarray*} p(63 p^4 + q^4) = 36 q^5 \end{eqnarray*}$

Auf Grund der Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} p,q \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ggT(p,q)=1 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} q \hspace{12px} | \hspace{12px} p \cdot (63p^4+q^4) \hspace{12px} \Rightarrow \hspace{12px} q\hspace{12px} |\hspace{12px} (63p^4+q^4) \end{eqnarray*}$

Das ist richtig.

Zitat:

dann gilt auch:
$\begin{eqnarray*} q \hspace{12px} | \hspace{12px} p\cdot (63p^4+q^4) \hspace{12px} \Rightarrow \hspace{12px} q\hspace{12px} |\hspace{12px} p \end{eqnarray*}$

Das ist Unfug!

Du hast hier zwei Faktoren, nämlich $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (36p^4+q^4) \end{eqnarray*}$ . Man weiß, dass $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ dieses Produkt teilt, aber zum ersten Faktor teilerfremd ist. Also muss $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ den zweiten Faktor teilen.

Bevor Du diesen Schritt nicht verstehst, lohnt es sich auch nicht weiterzurechnen.

Gruß,
Reksilat.

23.10.2009, 20:56

Broele

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Der letzte Schritt ist in der Tat falsch.
Beispiel:
5 teilt 70 = 10 * 7, weil 5 und 7 teilerfremd sind, muss 5 die 10 teilen, jetzt zu schließen, dass 5 auch 7 teilen muss, ist einfach falsch.

und selbst dieser Schritt klappt nur, weil 5 und 7 teilerfremd sind.
Beispiel:
10 teilt 70 = 5 * 14. Hier teilt 10 weder 5 noch 14, nur die Primfaktoren von 10 (2, 5) sind auch in 5 und 14 zu finden

Aber wenn du dich auf $\begin{eqnarray*} q | (63p^4+q^4) \end{eqnarray*}$ besinnst, kannst du daraus noch mehr folgern.

24.10.2009, 18:00

felixlein

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Danke für eurer Feedback... und aufs neue:

Ausgangslage:
$\begin{eqnarray*} p(63p^4+q^4) = 36 q^5 \end{eqnarray*}$

Daraus lässt sich ableiten:

a) q teilt ...

$\begin{eqnarray*} q|p(63p^4+q^4) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q|(63p^4+q^4) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q|(63p^4) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q|63 \end{eqnarray*}$

b) p teilt ...

$\begin{eqnarray*} p|36q^5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p|36 \end{eqnarray*}$

Widerspruch

Da $\begin{eqnarray*} q|63 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p|36 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ggT(p,q)=1 \end{eqnarray*}$ gilt, haben $\begin{eqnarray*} 63 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 36 \end{eqnarray*}$ keinen gemeinsamen Primteiler.

$\begin{eqnarray*} 36 = 2 \cdot 2\cdot 3\cdot 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 63 = 3 \cdot 3\cdot 7 \end{eqnarray*}$

36 und 63 haben gemeinsame Teiler => WIDERSPRUCH.

24.10.2009, 18:18

Reksilat

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Also bis $\begin{eqnarray*} p|36 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q|63 \end{eqnarray*}$ stimmt das.

Dein Widerspruch ist allerdings nicht mehr richtig, da ja zum Beispiel $\begin{eqnarray*} p=9 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q=7 \end{eqnarray*}$ diese Bedingung erfüllen. Allerdings gibt es jetzt davon nur noch endlich viele Zahlenpaare, bei denen man einfach durchprobieren könnte, ob sie die Ausgangsgleichung erfüllen.

24.10.2009, 19:12

felixlein

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Zitat:

Original von Reksilat
Also bis $\begin{eqnarray*} p|36 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q|63 \end{eqnarray*}$ stimmt das. Dein Widerspruch ist allerdings nicht mehr richtig...

Soll ich mit den Informationen $\begin{eqnarray*} p|36 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q|63 \end{eqnarray*}$ weitermachen? Oder ist das schon zu weit? Wo soll ich weiter einsteigen?

24.10.2009, 20:04

Reksilat

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Du sollst das doch auch verstehen, was Du da machst. Ich habe Dir gezeigt, wo Dein Fehler lag, wieso stellst Du jetzt auf einmal andere Teile Deiner Argumentation in Frage?

Solange Du Deine eigenen Schritte nicht verstehst, ist es sinnlos weiterzurechnen. Schau Dir Deine Beweisschritte an und überlege, was Du verstehst und wo Du noch Probleme hast. Es geht hier im Board nicht darum, am Ende einen fertigen Beweis stehen zu haben, sondern es soll verstanden werden.

Gruß,
Reksilat.

24.10.2009, 20:45

felixlein

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Zitat:

Original von Reksilat
Du sollst das doch auch verstehen, was Du da machst. Ich habe Dir gezeigt, wo Dein Fehler lag, wieso stellst Du jetzt auf einmal andere Teile Deiner Argumentation in Frage?

Solange Du Deine eigenen Schritte nicht verstehst, ist es sinnlos weiterzurechnen. Schau Dir Deine Beweisschritte an und überlege, was Du verstehst und wo Du noch Probleme hast. Es geht hier im Board nicht darum, am Ende einen fertigen Beweis stehen zu haben, sondern es soll verstanden werden.

Ich verstehe meine Fehler ja und die Ansätze präzisieren sich im Verlauf. Nun, ich mache das hier zum ersten Mal und es fällt mir sehr schwer das Ziel zu finden, zumal noch nie ein Beispiel in diese Richtung gerechnet wurde.

Ich zweifel meine Ausführungen auch nicht an bis zum q|63 und p|36, nur frage ich ob es sinnvoll ist damit weiterzuargumentieren. Ich will ja nicht die Lösung, sondern nur einen Ansatz für den nächsten Schritt. Momentan weiß ich nunmal nicht wie ich weiter machen kann, also frage ich wo ich meinen Fokus drauf werfen soll und mit welcher Methodik ich das ganze analyisieren soll.

24.10.2009, 23:15

Reksilat

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Wenn Du auf einem vollkommen falschen Dampfer wärst, hätten wir Dich schon zurückgepfiffen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie bereits oben geschrieben, gibt es nur endlich viele Teiler von 36 bzw. 63. Man kann also für alle p|36 und q|63 ausprobieren, ob ggT(p,q)=1 ist und x=p/q die Ausgangsgleichung erfüllt.

Gruß,
Reksilat.

24.10.2009, 23:47

felixlein

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Oh entschuldige bitte... ich habe deinen Beitrag nur ungenügend gelesen, dass du mir weiter am Ende den nächsten Schritt verraten hast :-)

Ok auf ein neues:

Da gilt $\begin{eqnarray*} p|36 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q|63 \end{eqnarray*}$ setze ich den Teiler $\begin{eqnarray*} p=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q=3 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x = \frac{p}{q} = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wiederum in die Ausgangsgleichung $\begin{eqnarray*} 63x^5 +x=36 \end{eqnarray*}$ ein:

$\begin{eqnarray*} 63 (\frac{2}{3})^5 + \frac{2}{3} = 36 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8,962... \neq 36 \end{eqnarray*}$ => WIDERSPRUCH

Richtig? Falsch? Fehlt was?

25.10.2009, 12:02

Broele

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Du musst natürlich nicht nur eine Kombination ausprobiern. Was ist mit p = 1, 2, 3, 4, ..., q = 1, 3, 7, ...

25.10.2009, 12:26

felixlein

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OK, alle endlichen Teiler für ggT(p,q)=1 aussprobieren. Und wenn es dann keine Lösung gibt, ist das nen Widerspruch?

25.10.2009, 13:15

Broele

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Ja

25.10.2009, 13:36

felixlein

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Super! Danke für eure Hilfe... hab viel dazugelernt :-)

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