Abb. die einer Matrix ihre transponierte zuordnet

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Ralf77 Auf diesen Beitrag antworten »
Abb. die einer Matrix ihre transponierte zuordnet
Hallo Zusammen,

ich bereite mich gerade auf meine Vordiplom-Prüfung vor und bin dabei in Prüfungsprotokollen auf eine Frage gestoßen, mit der ich nicht weiter komme:

Wie sieht die darstellende Matrix einer Abbildung aus, die einer n x n Matrix ihre transponierte zuordnet?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abb. die einer Matrix ihre transponierte zuordnet
Versuche dich doch mal an einer 2x2 Matrix. Es muss dann ja gelten:



Was wäre deine Idee? Wie könnte man das verallgemeinern? Wink
Ralf77 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abb. die einer Matrix ihre transponierte zuordnet
Mein Problem dabei ist folgendes:





hängt also nicht von ab, muss aber den Wert von annehmen. Ich bin mir daher nicht sicher, ob diese Aufgabe überhaupt allgemein lösbar ist.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abb. die einer Matrix ihre transponierte zuordnet
Du "übersiehst" schon einmal (zumindest ist der ersten Zeile), dass C ja die Transponierte von A ist. Also kommen da Bekannte Variablen rein.

Rein praktisch überlegt, kannst du doch, wenn ich dir eine Matrix nenne eindeutig ihre Transponierte angeben, oder?

Was man sich nun fragen kann, ist diese Abbildung linear (Axiome prüfen). Zwischen welchen Räumen bildet sie ab? Wie sieht dort ggf. eine schöne Basis aus?

Sie ist auf jeden Fall schon mal bijektiv. Was bedeutet, dass M den vollen Rang haben muss. Es ergeben sich n² Gleichungen für n² Variablen.
Ralf77 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abb. die einer Matrix ihre transponierte zuordnet
Ich könnte mir vorstellen die Matrix als Vector zu schreiben: und dann mit einer 4 x 4 Matrix zu multiplizieren:

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abb. die einer Matrix ihre transponierte zuordnet
Ist doch mal eine Idee. Man soll nun aber ja eine Abbildung angeben, die der Matrix eine Matrix zuordent. Also müßtest du deine "Idee" Matrix Vektor noch durch eine Lin. Abbildung. Quasi

Matrix -> Vektor -> Vektor -> Matrix
 
 
Ralf77 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abb. die einer Matrix ihre transponierte zuordnet
Kann man eigentlich als Basis für 2 x 2 Matrizen schreiben:



Bezüglich dieser Basis würde aus der 2 x 2 Matrix ja ein Vektor werden.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abb. die einer Matrix ihre transponierte zuordnet
Zitat:
Original von Ralf77

Korrekt! So sieht die Matrix bezüglich der von Dir angegebenen Basis aus. Freude
Die Anordnung der Matrix als Spaltenvektor ist dabei eben notwendig.

Gruß,
Reksilat.
Ralf77 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abb. die einer Matrix ihre transponierte zuordnet
Danke, jetzt bin ich wieder einen kleinen Schritt weiter!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abb. die einer Matrix ihre transponierte zuordnet
Dann haben wir es ja nun. Freude
outSchool Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abb. die einer Matrix ihre transponierte zuordnet
Zitat:
Original von Ralf77
Hallo Zusammen,

ich bereite mich gerade auf meine Vordiplom-Prüfung vor und bin dabei in Prüfungsprotokollen auf eine Frage gestoßen, mit der ich nicht weiter komme:

Wie sieht die darstellende Matrix einer Abbildung aus, die einer n x n Matrix ihre transponierte zuordnet?

Wenn du es so machst









hast du anschliessend noch mehr Zeit deinem Prof. auf andere Fragen zu antworten.
Augenzwinkern
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abb. die einer Matrix ihre transponierte zuordnet
@outSchool:
Sorry, aber da komme ich nicht mit. Was willst Du denn da zeigen und wieso soll für beliebige Matrizen sein? verwirrt
_______________________________________

Edit: Ach so, jetzt verstehe ich. Dann sollte man aber sagen: "Sei B eine beliebige Matrix" (dass B ja auch nicht invertierbar sein könnte, wollen wir mal weglassen) und dann erst Dein A definieren. So sieht man auch, dass Dein A von B abhängt, was hier ja eigentlich nicht sein soll.
Allgemein wird man keine 2x2 Matrix angeben können, die (egal ob von rechts oder links) an dranmultipliziert deren Transponierte ergibt.

Gruß,
Reksilat.
outSchool Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abb. die einer Matrix ihre transponierte zuordnet
Zitat:
Original von Reksilat
Allgemein wird man keine 2x2 Matrix angeben können, die (egal ob von rechts oder links) an dranmultipliziert deren Transponierte ergibt.
Das behaupte ich mal, denn ist nicht invertierbar, das ist aber bei meiner Ausführung Voraussetzung. Hier nochmal in einem Satz:

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abb. die einer Matrix ihre transponierte zuordnet
Was behauptest du? Dass es keine solche Matrix gibt? Kann man ja leicht zeigen, denn das Bild der 0 unter eine LinAb ist wieder eine 0. verwirrt
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abb. die einer Matrix ihre transponierte zuordnet
Es ging mir darum, dass man zu keine Matrix finden wird, mit oder .

Das eigentlich Problem wurde allerdings oben schon gelöst und es hilft auch nichts, hier irgendwelche Behauptungen zu besprechen, die mit der Aufgabenstellung nichts zu tun haben. Von invertierbar ist dort nämlich nirgendwo die Rede.

Die Aufgabenstellung ist allerdings auch etwas irritierend formuliert - klarer wäre:

Zitat:
Wie sieht die darstellende Matrix einer Abbildung aus, die jeder n x n Matrix ihre transponierte zuordnet?


Gruß,
Reksilat.
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