Zeigen, dass G eine Gruppe ist

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hydendyden Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass G eine Gruppe ist
Hallo,
ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe: ich soll zeigen, dass wenn G eine nichtleere Menge mit der Verknüpfung
ist und sie das Assoziativgesetzt erfüllt, genau dann eine Gruppe ist, wenn die Gleichungen und mit Lösungen in G besitzen. Leider weiß ich überhaupt nicht wie ich vorgehen muss. Es wär nett wenn mit jemand einen Tipp geben könnte.

Gruß Matthias
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Geh dochmal systematisch an die Sache ran:

1. Welche Gruppenaxiome sind schon vorrausgesetzt?
2. Welche musst du noch zeigen?
hydendyden Auf diesen Beitrag antworten »

Also vorausgesetzt ist das Assoziativgesetz. Das heißt, ich muss noch zeigen. dass es ein neutrales Element gibt, für das gilt und ein inverses .
tmo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen, dass G eine Gruppe ist
Zitat:
Original von hydendyden
ich soll zeigen, dass wenn G eine nichtleere Menge mit der Verknüpfung
ist und sie das Assoziativgesetzt erfüllt, genau dann eine Gruppe ist, wenn die Gleichungen und mit Lösungen in G besitzen.


Sollte das nicht statt heißen?
hydendyden Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ist schon richtig.
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Das ergibt keinen Sinn, weil Du dann nur die Variablen umbenannt hättest.

Es muss jede Gleichung der Art



und jede der Art



lösbar sein.
 
 
hydendyden Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. Vielen Dank. Dann wird das wohl ein Tippfehler sein.
hydendyden Auf diesen Beitrag antworten »

Leider bringt mich das ganz auch nicht viel weiter. Vielleicht kann mir ja noch jemand einen Tipp geben, wie ich hier vorzugehen habe.
hydendyden Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendjemand, der mir vielleicht einen Tipp geben kann, wie genau ich an die Sache rangehen muss?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,



Sei (G, °) eine Halbgruppe, bei der für jedes a, b aus G die Gleichungen a°x = b und a°x = b lösbar sind.

Wenn man ein bestimmtes Element a betrachtet, dann hat dieses in jedem Fall ein „eigenes neutrales Element“, denn die Gleichung



hat ja nach Voraussetzung eine Lösung .

Man muss zeigen, dass dieses Objekt z sich tatsächlich bei allen Elementen von G (rechts-)neutral verhält. Sei b ein beliebiges Element von G. Dann gibt es für die Gleichung x°a = b eine Lösung x1, d. h., b kann durch x1 ° a ersetzt werden.

Also gilt



Damit ist dann die Existenz eines neutralen Elements gezeigt. Der Rest (die inversen Elemente) ist klar, oder?



Bei der Rückrichtung musst Du die Lösungen der Gleichungen a°x = b und x°a = b einfach konkret angeben.
hydendyden Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
vielen Dank für die Antwort. In der ersten Zeile deiner Antwort soll es bestimmt heißen, " dass die Gleichungen a°x=b und x°a=b lösbar sind".
Leider weiß ich nicht was der Unterschied zwischen einer Gruppe und einer Halbgruppe ist, da wir bis jetzt nur Gruppen definiert haben.

Jedenfalls würde ich das ? bei dir so ersetzen:

Wäre das so korrekt?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hydendyden

In der ersten Zeile deiner Antwort soll es bestimmt heißen, " dass die Gleichungen a°x=b und x°a=b lösbar sind".


Ja, sorry. Ups



Zitat:
Original von hydendyden

Leider weiß ich nicht was der Unterschied zwischen einer Gruppe und einer Halbgruppe ist, da wir bis jetzt nur Gruppen definiert haben.


Halbgruppe heißt, dass in der Struktur das Assoziativgesetz gilt. Das setzt man ja voraus.

Also eine Halbgruppe ist eine Struktur (G,°) aus einer nichtleeren Menge G, eine Abbildung °: GxG --> G und der Eigenschaft, dass a°(b°c) = a°(b°c) für alle a, b, c aus G gilt.



Zitat:
Original von hydendyden

Jedenfalls würde ich das ? bei dir so ersetzen:

Wäre das so korrekt?


Alles richtig. Freude

Dann fehlt nur noch der Nachweis der inversen Elemente (und natürlich die Rückrichtung, dass in einer Gruppe die Gleichungen lösbar sind).
hydendyden Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank.
Zum neutralen Element: Man weiß, dass es für die Gleichung a°x=z nach Voraussetzung eine Lösung a^-1 gibt. Jetzt muss gezeigt werden, dass es zu jedem beliebigen Element b ein Inverses Element b^-1 gibt, für das gilt b°b^-1=z.
Ich hoffe soweit ist das richtig. Muss ich hier jetzt genauso vorgehen wie beim neutralen Element?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, denn bei den inversen Elementen geht es ja tatsächlich einzeln um die Objekte. Also aus der Lösbarkeit von



für alle a aus G folgt schon, dass jedes Element von a ein (rechts-)inverses Element hat.


Der Aufwand bei dem neutralen Element war nur deshalb nötig, weil es ja ein Objekt geben muss, dass sich bei allen Elementen neutral verhält.


Noch als Hinweis: Aktuell hast Du die „abgeschwächte“ Gruppendefinition gezeigt, wo nur die Existenz von mindestens einem einseitig neutralen Elements und die Existenz von einseitig inversen Elementen gefordert wird. Wenn ihr eine äquivalente stärkere Definition benutzt (es gibt genau ein beidseitig neutrales Element und jeweils genau ein inverses Element), musst Du noch weitermachen. Also z. B. zeigen, dass z wirklich das neutrale Element ist.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, Posting hat sich durch den Hinweis oben erübrigt...
hydendyden Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wir haben gezeigt, dass ein das linksneutrale Element auch rechtsneutral ist und das linksinverse auch rechtsinvers, sowie dass diese eindeutig sind.
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

OK, dann ist diese Richtung fertig. smile

Die Rückrichtung ist:

Wenn eine Gruppe ist, dann sind für alle die Gleichungen



und



lösbar.
hydendyden Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. Also habe ich nun gezigt, dass wenn die Gleichungen lösbar sind, G eine Gruppe ist. Jetzt muss ich zeigen, dass in eine Gruppe diese Gleichungen lösbar sind. Richtig?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau.

Und das kann man, wie gesagt, einfach durch Angabe dieser Lösungen nachweisen.
hydendyden Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab nun herausgefunden, dass a°x=b und c°x=d Druckfehler waren. In Wirklichkeit muss es heißen: a°x=b und y°c=d. mit a,b,c,d € G. Das birngt mich wieder ganz durcheinander. Jetzt kann ich ja gar nicht mehr auf die Art wie eben die Existenz des neutralen Elements nachweisen?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Da sind jetzt nur die Namen der Variablen anders. Ob man eine Variable „x“ oder „y“ nennt, spielt inhaltlich überhaupt keine Rolle.

Du brauchst also in dem obigen Beweis nicht einmal die Bezeichnungen zu ändern, sondern kannst alles so stehen lassen.
hydendyden Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank. Das ergibt Sinn.
Für die Rückrichtung würde ich folgendes Vorschlagen:
Zu zeigen ist, dass wenn G eine Gruppe ist, die Gleichungen a°x=b und y°c=d lösbar sind.

Da G eine Gruppe ist, gelten die folgenden Gruppenaxiome:
Assoziativgesetz, neutrales Element z und inverses Element a^-1
Die Lösung der Gleichung a°x=b wär dann x=(a^-1 °b), da
a°(a^-1 °b)=(a°a-1)°b=e°b=b

Analog wäre die Lösung für y°c=d y=d°c^-1.

Ich hoffe das ist jetzt nicht völliger Unsinn?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist alles richtig. Freude
hydendyden Auf diesen Beitrag antworten »

Da bin ich ja froh Tanzen Vielen Dank Jacques, dass du dir die Zeit genommen hast, mir zu helfen!
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