Beweis Untergruppe unendlich viele elemente

24.10.2009, 15:41

lgrizu

Beweis Untergruppe unendlich viele elemente

ich habe hier eine Aufgabe:

es sei $\begin{eqnarray*} G\subset GL_2\left(\mathbb Q \right) \end{eqnarray*}$

es sei $\begin{eqnarray*} G=\left\{ M\in GL_2\left(\mathbb Q \right): M=\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} ; det M=1 \right\} \end{eqnarray*}$

ich soll zeigen, dass diese untergruppe unendlich viele elemente enthält.
ich habe folgendermassen begonnen:

es ist $\begin{eqnarray*} detM=a^{2}+b^{2}=1 \end{eqnarray*}$ , und

$\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}=1 \end{eqnarray*}$ beschreibt ja den einheitskreis.

nun sind die lösungen alle elemente (a,b) aus Q, die auf dem einheitskreis liegen.
dass das unendlich viele sind ist mir irgendwie klar, aber wie zeige ich das?
schönen dank schon mal

24.10.2009, 16:00

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Untergruppe unendlich viele elemente
Wie man das zeigt? Man gibt einfach unendlich viele an. Augenzwinkern

Hier sind ja $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ . Woran erinnert Dich denn die Gleichung, wenn man mal mit dem Hauptnenner durchmultipliziert?

Gruß,
Reksilat.

24.10.2009, 16:44

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Untergruppe unendlich viele elemente
schönen dank erst mal für die schnelle antwort;
also setzte ich $\begin{eqnarray*} a=\frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=\frac{r}{s} \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} p,q,r,s \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$
dann komme ich auf

$\begin{eqnarray*} a^{2}+b^{2}=\frac{p^{2}}{q^{2}}+\frac{r^{2}}{s^{2}}=1 \end{eqnarray*}$

hauptnenner ist nun $\begin{eqnarray*} kgv(q^{2},s^{2}) \end{eqnarray*}$ , das kann ich nicht bestimmen, also nehme ich $\begin{eqnarray*} q^{2}*s^{2} \end{eqnarray*}$

das ergibt dann

$\begin{eqnarray*} \frac{p^{2}*s^{2}}{q^{2}*s^{2}}+\frac{r^{2}*q^{2}}{s^{2}*q^{2}}=1 \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \frac{p^{2}*s^{2}+r^{2}*q^{2}}{q^{2}*s^{2}}=1\Rightarrow p^{2}*s^{2}+r^{2}*q^{2}= q^{2}*s^{2}\Rightarrow p^{2}*s^{2}+r^{2}*q^{2}-q^{2}*s^{2}=0 \end{eqnarray*}$

aber ich weiß nicht an was mich das erinnern sollte;
man könnte jetzt noch sagen, dass $\begin{eqnarray*} p^{2}, q^{2}, s^{2}, t^{2} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} p^{2}*s^{2}=n, r^{2}*q^{2}=m, q^{2}*s^{2}=l \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m,n,l \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

das würde mich dann auf m+n-l=0 führen.

...aber ich glaube ich bin voll auf dem holzweg, oder?

24.10.2009, 18:10

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Untergruppe unendlich viele elemente

Zitat:

Original von lgrizu
man könnte jetzt noch sagen, dass $\begin{eqnarray*} p^{2}, q^{2}, s^{2}, t^{2} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} p^{2}*s^{2}=n, r^{2}*q^{2}=m, q^{2}*s^{2}=l \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m,n,l \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Man könnte aber auch $\begin{eqnarray*} n=p\cdot s \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} m=q\cdot r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} l=q\cdot s \end{eqnarray*}$ setzen. Dann hat man $\begin{eqnarray*} n^2+m^2=l^2 \end{eqnarray*}$ .

Für alle, bis auf Kürzung verschiedenen, Zahlentripel (sog. pythagoreische Zahlentripel) $\begin{eqnarray*} n,m,l \end{eqnarray*}$ erhältst Du dann einen neuen Punkt auf dem Kreis.

Gruß,
Reksilat.

24.10.2009, 18:13

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Untergruppe unendlich viele elemente
hm, dann war ich ja doch so weit gar nicht entfernt, danke schön und schönen gruß

Neue Frage »

Antworten »

Beweis Untergruppe unendlich viele elemente

Verwandte Themen