injekt. surjektivität beweis

26.10.2009, 20:27

injekt. surjektivität beweis

Seien f : X--> Y und g : Y --> Z Abb. Zu zeigen:

1. $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ ist injektiv $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ f ist injektiv.
2. $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ ist surjektiv $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ g ist surjektiv.

zu 1.:

wenn $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ injektiv, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \forall x_1,x_2 \in X : g(f(x_1))=g(f(x_2))\rightarrow f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$

Zeige ich jetzt durch widerspruch dass f injektiv sein muss? oder wie?

26.10.2009, 20:31

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: injekt. surjektivität beweis

Zitat:

Original von RS
wenn $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ injektiv, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \forall x_1,x_2 \in X : g(f(x_1))=g(f(x_2))\rightarrow f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$

Nein es muss gelten:
$\begin{eqnarray*} \forall x_1,x_2 \in X : g(f(x_1))=g(f(x_2))\rightarrow x_1=x_2 \end{eqnarray*}$

Die Annahme dass f nicht injektiv ist, ist aber eine gute Idee.

26.10.2009, 20:36

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja das scheint mir ja dann rehct einfach.

Da gilt:

$\begin{eqnarray*} \forall x_1,x_2 \in X : g(f(x_1))=g(f(x_2))\rightarrow x_1=x_2 \end{eqnarray*}$

Wenn f nicht injektiv wäre würde ja gelten

$\begin{eqnarray*} \exists x_1,x_2 \in X : f(x_1)=f(x_2)\rightarrow x_1\neq x_2 \end{eqnarray*}$

Und das ist ja mit der obigen absoluten Bedingung an ALLE x1 und x2 nicht vereinbar. Schon fertig?

/EDIT:: hab mich verbessert^^

26.10.2009, 20:38

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Das hast du falsch verstanden. Du hast die Bedingung für injektiv falsch negiert.

Nicht injektiv heißt dass es x,y gibt mit x ungleich y und f(x)=f(y)

Jetzt begründe genau warum dass nicht geht.

26.10.2009, 20:41

Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen $\begin{eqnarray*} \exists x_1,x_2 \in X : f(x_1)=f(x_2)\rightarrow x_1\neq x_2 \end{eqnarray*}$

dann gäbe es auch $\begin{eqnarray*} \exists x_1,x_2 \in X : g(f(x_1))=g(f(x_2))\rightarrow x_1\neq x_2 \end{eqnarray*}$

Da die Komposition aber injektiv sein soll, widerspricht sich das oder?

26.10.2009, 20:47

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja im Prinzip stimmt das. In meinem Bezeichnungen:
Es ist g(f(y))= g(f(x)) => x=y Widerspruch da x ungleich y gewählt worden

26.10.2009, 20:57

Bakatan

Auf diesen Beitrag antworten »

( Nicht unmittelbar hilfreich zur Aufgabe )
Als kleinen Zusatz falls erwünscht: $\begin{eqnarray*} h:Z\to W \end{eqnarray*}$ und eine dritte Aufgabe

$\begin{eqnarray*} \text{3. Sind }g\circ f~\text{und }h\circ g~\text{bijektiv, so sind }f,~g~\text{und }h~\text{bijektiv.} \end{eqnarray*}$

War heute Stoff einer Zusatzvorlesung. Schon lustig, wie alle Unis so ziemlich das Gleiche machen.
Ich hoffe ich störe nicht Augenzwinkern

26.10.2009, 21:32

Auf diesen Beitrag antworten »

wegen surjektivität:

Ist g kringel f surjektiv dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \forall z\in Z\exists x\in X: g(f(x))=z \end{eqnarray*}$

Wäre g nicht surjektiv würde gelten:

$\begin{eqnarray*} \exists z\in Z\exists y\in Y: g(y)\neq z \end{eqnarray*}$

Da f(x) letztlich nichts anderes ist als y€Y. Folgt hier wieder der Widerspruch zwischen

$\begin{eqnarray*} \forall z\in Z\exists x\in X: g(f(x))=z \end{eqnarray*}$ und der Wahl von g(f(x)) ungleich z für bestimmte x.

stimmt?

Neue Frage »

Antworten »

injekt. surjektivität beweis

Verwandte Themen