Logarithmische Normalverteilung

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26.10.2009, 22:47	Knolli	Auf diesen Beitrag antworten »
Logarithmische Normalverteilung Versuche, die Bildungsverteilung innerhalb der Bevölkerung zu modellieren. Leider bin ich in der Statistik nicht allzu vertraut unterwegs. Die Logarithmische Verteilungsfunktion scheint aber gut zu passen, wird u.a. auch zur Beschreibung er Einkommensverteilung verwendet. Hier meine Fragen Ich habe Daten gesammelt zu: durschnittliche Schuldauer, Prozentzahl der Hochschulabsolventen etc.. Hat jemand ne Idee, wie ich damit grob die Parameter: Standardabweichung, u und Erwartungswert abschätzen kann? Edit (mY+): Titel geändert. Es wird jener antworten, der sich auch auskennt.
27.10.2009, 11:02	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Logarithmische Normalverteilung wer kennt sich aus? Der Umgang mit lognormal verteilten Größen ist recht einfach. Denn wenn eine Zufallsgröße $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ lognormal verteilt ist, dann ist $\begin{eqnarray} Y=ln(X) \end{eqnarray}$ normal verteilt. Man logarithmiert also seine Daten, und kann dann für die logarithmierten Daten die bekannten Rechnungen und Methoden der Normalverteilung anwenden. Danach muss man die Ergebnisse wieder auf $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ umrechnen. Seien $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ der Erwartungswert und die Standardabweichung von $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ . Dann berechnen sich Erwartungswert und Standardabweichung von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ so: $\begin{eqnarray} E(X)=e^{\mu+\sigma ^2/2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sigma _X=E(X)\sqrt{e^{\sigma ^2}-1} \end{eqnarray}$ Besonders einfach ist die Umrechnung von Anteilsbereichen. Hat $\begin{eqnarray} Y \leq c \end{eqnarray}$ die Wahrscheinlichkeit p, dann hat $\begin{eqnarray} X \leq e^c \end{eqnarray}$ ebenfalls die Wahrscheinlichkeit p.
27.10.2009, 14:41	Knolli	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Logarithmische Normalverteilung wer kennt sich aus? Danke schon mal @Huggy hab trotzdem noch folgene Fragen: Wie kann ich für Y=ln(x) denn die Standardabweichung bzw. den Erwartungswert bestimmen ? Beispiel zur Einkommensverteilung in einem Land mit 20 Personen X:Gehaltshöhe Anzahl der Personen, die das verdienen ln(x) 1 5 ln(1)=0 2 5 ln(2)=0,69 3 10 ln(3)=1,1 4 20 ln(4)=1,39 5 15 ln(5)=1,61 6 15 ln(6)=1,8 7 10 ln(7)=1,95 8 10 ln(8)=2,08 9 5 ln(9)=2,2 10 5 ln(10)=2,3
27.10.2009, 16:24	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Logarithmische Normalverteilung wer kennt sich aus? Wie man aus einer Stichprobe $\begin{eqnarray} y_i \end{eqnarray}$ (i =1, ..., n) aus einer Normalverteilung Schätzwerte für $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ bekommt, kannst du überall nachlesen. Ich schreibe es trotzdem noch mal hin: $\begin{eqnarray} \mu=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n~y_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sigma=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n~(y_i-\mu)^2} \end{eqnarray}$ Das sind die Formeln für den Mittelwert und die Standardabweichung einer jeden Stichprobe unabhängig von der Verteilung. Aber bei der Normalverteilung sind es gleichzeitig auch die Schätzwerte für die Parameter der Normalverteilung. Deine Tabelle verstehe ich nicht. Wenn die erste Spalte die Gehaltshöhe sein soll und die zweite Spalte die Anzahl der Personen, die dieses Gehalt haben, dann wäre doch die Anzahl der Personen deine Zufallsgröße. Du müsstest also die Logarithmen der zweiten Spalte bilden. Bei insgesamt 20 Personen sollte die Summe der zweiten Spalte 20 ergeben. Die Summe ist aber 100. Sollen das vielleicht Prozente sein und keine Anzahlen?
27.10.2009, 17:01	Knolli	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Logarithmische Normalverteilung sorry- mein Fehler- meinte natürlich 100 Personen. also: Einkommen in Höhe von 1 --> haben 5 Personen Einkommen in Höhe von 2 --> haben 5 Personen Einkommen in Höhe von 3 --> haben 10 Personen Einkommen in Höhe von 4 --> haben 20 Personen Einkommen in Höhe von 5 --> haben 15 Personen Einkommen in Höhe von 6 --> haben 15 Personen Einkommen in Höhe von 7 --> haben 10 Personen Einkommen in Höhe von 8 --> haben 10 Personen Einkommen in Höhe von 9 --> haben 5 Personen Einkommen in Höhe von 10 --> haben 5 Personen Wie ich bei einer Normalverteilung ERwatungswert und Standardabweichung ermittelln kann, ist mir schon bekannt, in Bezug auf auf die Lognormalverteilung habe ich es allerdings noch nichtganz verstanden. Meinst Du es so?: Einkommen in Höhe von 1 --> ln(5)=1,61 Einkommen in Höhe von 2 --> ln(5)=1,61 Einkommen in Höhe von 3 --> ln(10)=2,3 Einkommen in Höhe von 4 --> ln(20)=3 Einkommen in Höhe von 5 --> ln(15)=2,71 Einkommen in Höhe von 6 --> ln(15)=2,71 Einkommen in Höhe von 7 --> ln(10)=2,3 Einkommen in Höhe von 8 --> ln(10)=2,3 Einkommen in Höhe von 9 --> ln(5)=1,61 Einkommen in Höhe von 10 --> ln(5)=1,61 Hiervon jetzt Standardabweichung und Erwatungswert wie bei der Standardverteilung ermitteln: und dann in die von dir in der ersten erwähnten Formel eintragen?
27.10.2009, 18:18	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Logarithmische Normalverteilung Ich muss mich erst mal korrigieren. Zwar ist auch die Anzahl der Personen, die ein bestimmtes Gehalt haben, eine Zufallsgröße, aber dich interessiert doch das Gehalt selbst als Zufallsgröße. Dann bleibt es dabei, dass von der ersten Spalte die Logarihmen zu nehmen sind, wie du es ursprünglich gemacht hast. Diese Logarithmen sind dann in die Formel für $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ einzusetzen. Allerdings hast du gruppierte Daten. Du musst also die Formel für gruppierte Daten nehmen. Das so gewonnene $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ ist dann in die von mir genannten Formeln für Erwartungswert und Standardabweichung der Lognormalverteilung einzusetzen.
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27.10.2009, 19:30	Knolli	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Logarithmische Normalverteilung sorry muss doch nochmal schreiben, hoffe nicht zu fordernd oder so zu wirken, wäre nämlich nicht meine Absicht. Also ich will praktische meine Dichtefunktion so herleiten, dass die im Koordinatensystem folgendermaßen aussieht: auf der X-Achse des Koordinatensystem steht das Einkommen - und auf der Y-Achse die Anzahl der Personen (in Prozent) Unter Zufallsgröße verstehe ich eine Funktion, die den möglichen Ausprägungen (hier: Gehalt)Wahrscheinlichkeiten zuordnet. (Oder versteh ich das falsch? ) - deswegen bin ich jetzt grad ziemlich durcheinander, ob die Anzahl der Personen oder das gehalt die Zufallsgröße ist... Muss ich da jetzt die Gehaltwerte, also 1, 2, ..., 10 logarithmieren oder die Anzahl der Personen, also 5, 5, 10... ?
27.10.2009, 22:24	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Logarithmische Normalverteilung Das Gehalt ist zu logarithmieren.
28.10.2009, 14:19	Knolli	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Logarithmische Normalverteilung Vielen Danke Habs jetzt verstanden!
28.10.2009, 16:00	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Logarithmische Normalverteilung Rein interessehalber habe ich dein Beispiel mal ausgewertet. Es ergab sich: $\begin{eqnarray} \mu=1,56 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sigma=0,536 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E(X)=5,49 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sigma_X=3,17 \end{eqnarray}$ Die Dichtefunktion der angepassten Lognormalverteilung sieht so aus: [attach]11690[/attach] Die Anpassung sieht nicht besonders gut aus. Aber es ist ja wohl auch ein erfundenes Beispiel. Trotzdem schließe ich daraus, dass es vernünftig ist, das Gehalt in möglichst kleinen Stufen zu erfassen, im Idealfall sogar individuell für jede Person.
30.10.2009, 17:05	Knolli	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Logarithmische Normalverteilung super! allerdings hast du bei mir jetzt damit noch eine Frage aufgeworfen, da bei mir die Dichtefunktion bei mir in Matlab ziemlich anders aussieht, allerdings siehst bei mir auch falsch aus... Welche Werte setzt du denn nun in die "endgültige Dichtefunktion" ein? y1=(1./(sqrt(2pi)vx)).exp((-1)(((log(x)-n).^2)/(2v^2))); v: hier Standardabweichung n: hier ¼ Also braucht man überhaupt den Enwartungswert E(x)=5,4899 LG
30.10.2009, 20:46	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Logarithmische Normalverteilung Meine obige Anpassung ist so erfolgt, wie von mir beschrieben. Also Gehalt der Stichprobe logarithmieren und Mittelwert $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und Standardabweichung $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ der logarithmierten Stichprobe bestimmen. Das ergab: $\begin{eqnarray} \mu=1,56 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sigma=0,536 \end{eqnarray}$ Das wurde in die Dichte der Lognormalverteilung eingesetzt $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{\sigma x\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2\sigma ^2} (\ln x-\mu)^2} \end{eqnarray}$ und führte zu obigem Bild. Die Alternative ist, Mittelwer $\begin{eqnarray} \mu_X \end{eqnarray}$ und Standardabweichung $\begin{eqnarray} \sigma_X \end{eqnarray}$ der unlogarithmierten Stichprobe zu berechnen $\begin{eqnarray} \mu_X=5,35 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sigma_X=2,30 \end{eqnarray}$ und dies in die nach $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ aufgelösten Formeln für $\begin{eqnarray} \mu_X \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \sigma_X \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sigma =\sqrt{\ln{(\frac{\sigma_X^2}{\mu_X^2}+1)}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mu =\ln{\mu_x}-\frac{1}{2}\sigma^2 \end{eqnarray}$ einzusetzen, was $\begin{eqnarray} \mu=1,59 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sigma = 0,411 \end{eqnarray}$ ergibt. Diese Anpassung sieht ein wenig besser aus: [attach]11716[/attach] Da in der Stichprobe mehrfach aufeinanderfolgende Gehaltsniveaus dieselbe Häufigkeit haben, kann man nicht erwarten, dass eine wirklich gute Anpassung an die Lognormalverteilung möglich ist.

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