Beweis lineare Unabhängigkeit

Neue Frage »

kamuffel Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis lineare Unabhängigkeit
Hallo,

bin neu hier im Forum und habe gleich mal eine Frage zu einer Aufgabe bei der ich absolut nicht weiterkomme.

Es geht um folgende Aufgabe:

Seien und V := {f: -> }. Beweisen Sie, dass

S := {1,cos(nx),sin(nx)|n}

linear unabhängig ist. (Tipp: Integration)


Das Problem fängt hier eigentlich schon an. Was soll ich genau machen? verwirrt

Ich hab das so verstanden: es geht um den Körper der reellen Zahlen, die Menge V beinhaltet alle Funktionen, die eine reelle Zahl auf eine reelle Zahl abbildet. Jetzt soll ich beweisen, dass die lineare Unabhängigkeit für S stimmt. Doch was ist S genau? Und die Elemte die in S liegen? Kann mir das nur schwer vorstellen. Ich denke es geht hier um Vektoren, da man die lineare Unabhängigkeit beweisen soll.

Naja und wenn ich erstmal verstanden habe, um was es hier geht, soll ich zeigen, dass die Vektoren lin. unabhängig sind.

War das nicht so, dass bspw. die Vektoren v1, v2, v3 lin. unabhängig sind, wenn die einzige Linearkombination a*v1+b*v2+c*v3=0 ist und somit a=b=c=0?

Wäre sehr dankbar über eure Hilfe!

LG, Kamuffel
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis lineare Unabhängigkeit
Hallo kamuffel,

Die Menge V ist ein Vektorraum, das kann man leicht nachrechnen, denn die Summe zweier reellwertiger Funktionen ist natürlich wieder in V, ebenso Vielfache einer Funktion.
Das neutrale Element ist die Nullfunktion.

Die Menge ist nun offensichtlich eine Teilmenge von , denn sie besteht aus Funktionen von nach , und man muss nun die lineare Unabhängigkeit prüfen.

Die Menge ist zwar unendlich, aber nach der Definition von linearer Unabhängigkeit ist nur zu zeigen, dass keine endliche, nichttriviale Linearkombination das Nullelement (die Nullfunktion) ergibt.

Seien also verschiedene Funktionen gegeben, mit , . Folgere daraus

Was passiert denn zum Beispiel, wenn Du integrierst?

Gruß,
Reksilat.
kamuffel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis lineare Unabhängigkeit
Hallo Reksilat,

vielen Dank für die Antwort. Hab noch ein paar Fragen:

1. Hat man dadurch schon gezeigt, dass V ein Vektorraum ist?

2. Wie kann ich mir diese Menge S vorstellen? Was hat es mit dem cos(nx) und sin(nx) auf sich? Und woran erkenne ich, dass S aus Funktionen von nach besteht?

3. Das mit der linearen Unabhängigkeit habe ich soweit verstanden, aber wie integriere ich ?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis lineare Unabhängigkeit
1.: Nein, ich habe das nur sehr kurz skizziert, da Du ja auch nicht danach gefragt hattest.

2.:
ist eine Funktion, die jedem den Wert zuweist.

Die Integration von ist Schulstoff. Summen integriert man, indem man die einzelnen Summanden integriert und die Stammfunktion von sollte eigentlich jeder Abiturient bilden können.

Gute Nacht,
Reksilat.
kamuffel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis lineare Unabhängigkeit
kann man sagen, dass S die drei Funktionen f(x)=1, f(x)=sin(nx) und f(x)=cos(nx) beinhaltet? Wobei ja zwei davon Funktionenscharen sind.

aufgeleitet ist doch oder?

Das mit der Summe habe ich auch verstanden. Aber wieso integrieren?

Gute Nacht!
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis lineare Unabhängigkeit
In liegen unendlich viele Funktionen, ich habe doch auch oben schon hingeschrieben, wie das aussieht. Eine Funktionenschar ist keine Funktion, sondern eine Menge von Funktionen und ist für jedes feste eine eigene Funktion.

Die Stammfunktion von ist außerdem . Von "aufleiten" spricht man außerdem nicht mehr. Der Begriff wurde hier im Board sogar mal zensiert Big Laugh )
Ableiten funktioniert bei dieser Aufgabe aber genauso gut, wenn nicht sogar besser.

Weshalb integrieren/ableiten?:
Nun, Du hast eine lineare Gleichung in Funktionen aus , nämlich:
Wenn Du diese Gleichung integrierst oder ableitest, erhältst Du links einen weiteren lineare Ausdruck in den Funktionen aus und rechts bleibt die Null stehen. Mit diesen beiden Gleichungen kannst Du dann die lineare Unabhängigkeit zeigen.

Gruß,
Reksilat.
 
 
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »