Betragsaufgabe

27.10.2009, 02:18	kamuffel	Auf diesen Beitrag antworten »
Betragsaufgabe Hallo, könntet ihr mir bitte sagen, ob meine Lösung richtig ist? Aufgabe: Skizzieren Sie alle Punkte (x,y), für die gilt: $\begin{eqnarray} \sqrt{\|x+1\|}+\sqrt{\|y-1\|}=\sqrt{2} \end{eqnarray}$ Fall 1: x $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ -1 und y $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 1 $\begin{eqnarray} \sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}=sqrt{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{y-1}=\sqrt{2}-\sqrt{x+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{y-1}=\sqrt{2}-\sqrt{x+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y-1=2-2\sqrt{2(x+1)}+x+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=x-2\sqrt{2x+2)}+4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L1=\left\{(x,x-2\sqrt{2x+2}+4)\|-1\leq x\right\} \end{eqnarray}$ Fall 2: $\begin{eqnarray} x< -1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y\geq 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{-(x+1)}+\sqrt{y-1}=sqrt{2} \end{eqnarray*}$ L2={} => da man nicht die Wurzel aus einer neg. Zahl ziehen kann Fall 3 und 4 ähnlich wie Fall 2.
27.10.2009, 14:55	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dem kann ich nicht so ganz folgen. x kann durchaus auch kleiner als -1 sein, den unter der Wurzel steht ja immer noch der Betrag und der ist in jedem Fall positiv. Es ist daher bei x < -1 entsprechend \|x + 1\| = - x - 1 zu setzen, denn \|a\| = -a, wenn a < 0 ist. Also auch im Fall x < -1 existiert diese Funktion ( $\begin{eqnarray} y = - x - 2 \sqrt{-2x-2} + 2 \end{eqnarray}$ ). Die Verhältnisse sind besser ersichtlich, wenn du dir die zu den beiden Fällen gehörenden Graphen ansiehst. Dabei erkennt man auch den eingeschränkten Wertebereich. Die Kurven stellen Parabeln dar, welche den Randpunkt (-1; 3) und bei y = 1 ihr Minimum besitzen. Noch besser sieht man den Randpunkt im u.s. Graphen. [attach]11659[/attach] mY+
28.10.2009, 00:08	kamuffel	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort! Ich denke jetzt hab ich's richtig. Und zwar liegen die Punkte der Lösungsmenge auf den grün markierten Graphen, oder? [attach]11680[/attach]
28.10.2009, 00:33	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
So sieht es gut aus! mY+

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