Äquivalentrelationen II.

27.10.2009, 13:45

RS

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Äquivalentrelationen II.

Welche dieser Relationen sind äquivalenzrelationen? (begr.)

a) $\begin{eqnarray*} X = \mathbb Z, xRy :\Leftrightarrow x-y \geq -1. \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} X = \mathbb Q, xRy :\Leftrightarrow x - y\in\mathbb Z. \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} X = \mathbb R \setminus \{0\}, xRy :\Leftrightarrow x/y \in\mathbb Q. \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} X = Abb(\mathbb R,\mathbb R), fRg :\Leftrightarrow \exists c\in\mathbb R : f=g+c (d.h.: \forall x \in X : f(x) = g(x)+c). \end{eqnarray*}$

a) Für erstere ist ja leicht zu zeigen, dass für x=5 und y=3 keine symmetrie besteht, da 5-3 größer gleich -1 aber 3-5 kleiner als -1.

b) Ich gehe von aus dass es eine äquivalentrelation ist da mir spontan kein gegenbeispiel eingefallen ist.

Also zeige ich reflexivität, symmetrie, trans. (wenn was von den dreien nicht gegeben ist ist es halt doch keine ÄR)

Refl. $\begin{eqnarray*} xRx\rightarrow x-x\in\mathbb Z\rightarrow 0\in\mathbb Z (stimmt) \end{eqnarray*}$

Wie zeige ich aber nun transitivität und symmetrie wenn ich hier nur x,y,z€Q und x-y€Z als relation gegeben habe? ich weis dass ich x,y,z jeweils als bruch ganzer teilerfremder zahlen angeben lassen. bringt mich das weiter?

27.10.2009, 13:53

Reksilat

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RE: Äquivalentrelationen II.

Zitat:

Refl. $\begin{eqnarray*} xRx\rightarrow x-x\in\mathbb Z\rightarrow 0\in\mathbb Z (stimmt) \end{eqnarray*}$

So zeigt man Reflexivität bestimmt nicht! unglücklich

unglücklich

Du darfst nicht von der Behauptung ausgehen, denn wenn diese falsch wäre, könntest Du trotzdem etwas richtiges daraus folgern.

Sei $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{Q}\Rightarrow x-x=0\in\mathbb{Z}\Rightarrow xRx \end{eqnarray*}$
So zeigt man das!

Symmetrie:
-Gegeben: $\begin{eqnarray*} xRy \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} yRz \end{eqnarray*}$ .
-Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} xRz \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x-z\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Transitivität:
-Gegeben: $\begin{eqnarray*} xRy \end{eqnarray*}$
-Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} yRx \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} y-x\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

27.10.2009, 14:15

RS

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ok danke wegen reflexivität.

was transitivität und symmetrie sind ist mitr schon klar. aber wie zeige ich das.

meine idee:

Sei $\begin{eqnarray*} x,y,z\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$

aus xRy folgt:

$\begin{eqnarray*} x-y\in\mathbb Z \rightarrow x-y=a ~~[a\in\mathbb Z] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-a=y \end{eqnarray*}$

aus yRz folgt:

$\begin{eqnarray*} y-z\in\mathbb Z \rightarrow y-z=b ~~[b\in\mathbb Z] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-a-z=b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-z=a+b \end{eqnarray*}$

Da a+b die Summe zweier ganzer zahlen ist, folgt a+b=c für c aus Z und xRz.

Bin ich so richtig?

EDIT:// Wenn die vorgehensweise korrekt sein sollte, dann ließe sich der nachweis für symmetrie doch fogendermaßen führen oder?

Aus xRy folgt:

$\begin{eqnarray*} x-y\in\mathbb Z, x-y=a ~~[a\in\mathbb Z] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y-x=-a \end{eqnarray*}$

Da a aus Z definiert ist, ist auch -a aus Z (bei a aus N wäre die Relation folglich nicht symmetrisch oder?)

27.10.2009, 14:45

Reksilat

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Korrekt!

27.10.2009, 15:07

RS

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Bei $\begin{eqnarray*} X = \mathbb R \setminus \{0\}, xRy :\Leftrightarrow x/y \in\mathbb Q. \end{eqnarray*}$ .

Refl.:

Sei $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \setminus \{0\}\rightarrow x/x=1\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$

Gezeigt.

Trans.

seien $\begin{eqnarray*} x,y,z\in \mathbb R \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ . Aus xRy folgt:

$\begin{eqnarray*} <br /> x/y\in\mathbb Q<br /> x/y=a~~[a\in\mathbb Q, a=p/q ~\forall p,q \in\mathbb Z, ggT(p,q)=1] \end{eqnarray*}$

Es folgt:

$\begin{eqnarray*} x/y=p/q<br /> y=x\cdot q/p \end{eqnarray*}$

Aus yRz folgt:

$\begin{eqnarray*} y/z=b~~[b\in\mathbb Q] \end{eqnarray*}$

Es folgt:

$\begin{eqnarray*} y/z=b<br /> \frac{x\frac{q}{p}}{z}=b<br /> \frac{x\frac{1}{a}}{z}=b<br /> x/z=ba \end{eqnarray*}$

Das produkt zweier Rationalen zahlen ist wieder rational oder? Wenn ja folgt daraus b*a=g und g aus Q und damit xRz.

Symmetrie:

aus xRy folgt:

$\begin{eqnarray*} x/y=p/q=a/1 \end{eqnarray*}$
Reziproke gebildet und es folgt:
$\begin{eqnarray*} y/x=q/p=1/a \end{eqnarray*}$

Der quotient zweier rationaler zahlen (1 und a) ist wieder rational?

27.10.2009, 15:11

Reksilat

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Im großen und ganzen richtig!

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x/y=a~~[a\in\mathbb Q, a=p/q ~\forall p,q \in\mathbb Z, ggT(p,q)=1] \end{eqnarray*}$

Das ist furchtbar aufgeschrieben, der Quantor hat dort überhaupt nix zu suchen!
Schreibe stattdessen: "für geeignete"

Gruß,
Reksilat.

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27.10.2009, 15:24

RS

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ja ich wollte das jhetzt nur schnell hinkritzeln^^. ich nehm dann schon ne extra zeile für die bedingungen an a,b usw.

Wie gehe ich bei der letzten vor? ist ja nun ein anderes "kaliber"...

27.10.2009, 15:33

Reksilat

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Einfach ohne Ängste vorgehen ist das beste. Nimm Dir eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R\to\mathbb{R}} \end{eqnarray*}$ und zeige, dass sie zu sich selbst in Relation steht u.s.w.

Die Aufgabe guckt nur böse und ist eigentlich ganz brav.

Gruß,
Reksilat.

27.10.2009, 15:48

RS

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1. Problem wie zeige ich, dass sie zu sich selbst in relation steht? Nehme ich mir einfach zwei elemente x,y aus R.

Brauche hier glaube ich nen ansatz, weil ich gar nicht weis wo ich anfangen soll wenn es sich um die Menge aller Abb.(R nach R handelt.

27.10.2009, 15:50

Reksilat

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Du zeigst, dass es ein c gibt, mit f(x)=f(x)+c für alle x€R.

27.10.2009, 16:06

RS

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ah ok cih war glaube falsch. ich wollte jetzt die reflexivität in der form von xRx zeigen, muss ja aber f(x)Rf(x) zeigen...

Refl.

Sei $\begin{eqnarray*} x\in X\rightarrow f(x)=f(x)+c \end{eqnarray*}$ . Es folgt $\begin{eqnarray*} f(x)-f(x)=c\rightarrow c=0 \end{eqnarray*}$ .

Das wäre ja nun gezeigt...

Trans.

Sei $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ .

Dann folgt aus fRg es gibt c so, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=g(x)+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=f(x)-c \end{eqnarray*}$

aus gRh folgt, $\begin{eqnarray*} g(x)=h(x)+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)-c=h(x)+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=h(x)+2c \end{eqnarray*}$

das scheint mir sehr komisch hier mit dem 2c. ist das gerechtfertigt?

oder is die relation schlicht und einfach nicht transitiv?

27.10.2009, 16:10

Reksilat

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Zitat:

Refl.

Sei $\begin{eqnarray*} x\in X\rightarrow f(x)=f(x)+c \end{eqnarray*}$ . Es folgt $\begin{eqnarray*} f(x)-f(x)=c\rightarrow c=0 \end{eqnarray*}$ .

Das ist schon wieder falsch argumentiert. $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ ist Quatsch, da in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ Funktionen liegen. "Sei $\begin{eqnarray*} f\in X \end{eqnarray*}$ " muss es heißen.

$\begin{eqnarray*} f(x)=f(x)+c \end{eqnarray*}$ folgt auch nicht daraus, sondern Du musst ein $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ angeben, so dass das gilt. Also genau andersrum aufschreiben. "Sei c=0, dann ist..."

Die Transitivit ist fast in Ordnung, nur dass das $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ jeweils verschieden ist. Verwende besser $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_2 \end{eqnarray*}$ .

Gruß,
Reksilat.

27.10.2009, 16:48

RS

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Refl.

Sei $\begin{eqnarray*} f\in X, c=0\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Es folgt $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ .

Stimmt.

Trans.

Seien $\begin{eqnarray*} f,g,h\in X \end{eqnarray*}$ .

Dann folgt aus fRg es gibt c so, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=g(x)+c_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=f(x)-c_1 \end{eqnarray*}$

aus gRh folgt, $\begin{eqnarray*} g(x)=h(x)+c_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)-c_1=h(x)+c_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=h(x)+c_1+c_2 \end{eqnarray*}$

Und die Summe zweier Reeler zahlen ist wieder reell so, dass gilt c1+c2=c3 aus R und $\begin{eqnarray*} f(x)=h(x)+c_3 \end{eqnarray*}$ und damit fRh.

Symmetrie

aus fRg folgt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=g(x)+c_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=f(x)-c_1 \end{eqnarray*}$

So jetzt frage. Ist hier symmetrie also nicht vorhanden, weil gRf ja nur für negative c1 aus R und nicht für alle c1 aus R äquivalent zu fRg wäre oder?

27.10.2009, 17:04

Reksilat

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Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} f\in X, c=0\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Es folgt $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ gilt sowieso immer. Es ist $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x)+0 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} fRf \end{eqnarray*}$ .

Zur Symmetrie:
Der Wahrheitsgehalt der Aussage $\begin{eqnarray*} gRf \end{eqnarray*}$ ist nicht an ein $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ gekoppelt. Der Satz

Zitat:

weil gRf ja nur für negative c1 aus R und nicht für alle c1 aus R äquivalent zu fRg wäre

ergibt also keinen Sinn.

Es gibt ein $\begin{eqnarray*} c_2\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g=f+c_2 \end{eqnarray*}$ , nämlich $\begin{eqnarray*} c_2:=-c_1 \end{eqnarray*}$ . Und deshalb ist $\begin{eqnarray*} gRf \end{eqnarray*}$ , fertig! Ob irgendein $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ positiv oder negatv ist, spielt hier keine Rolle.

27.10.2009, 17:11

RS

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ok danke dir. also nochmal zur kontrolle (das ich auch ncihts falsches ausfschreib)...

Refl.

Sei $\begin{eqnarray*} f\in X, c=0\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Es folgt $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x)+0 \end{eqnarray*}$ . Es folgt fRf.

Stimmt.

Trans.

Seien $\begin{eqnarray*} f,g,h\in X \end{eqnarray*}$ .

Dann folgt aus fRg es gibt c so, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=g(x)+c_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=f(x)-c_1 \end{eqnarray*}$

aus gRh folgt, $\begin{eqnarray*} g(x)=h(x)+c_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)-c_1=h(x)+c_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=h(x)+c_1+c_2 \end{eqnarray*}$

Und die Summe zweier Reeler zahlen ist wieder reell so, dass gilt c1+c2=c3 aus R und $\begin{eqnarray*} f(x)=h(x)+c_3 \end{eqnarray*}$ und damit fRh.

Symmetrie

aus fRg folgt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=g(x)+c_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=f(x)-c_1 \end{eqnarray*}$

Also gibt es ein c2 aus R, nämlich c2:=-c1.

$\begin{eqnarray*} g(x)=f(x)+c_2 \end{eqnarray*}$ und gRf.

so richtig alles?

27.10.2009, 17:17

Reksilat

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Stimmt im großen und ganzen, wobei man an manchen Formulierungen noch feilen kann. Aber das ist auch Übungssache und ich hab für heute genug.

Ciao,
Reksilat. Wink

Wink

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